ecuaciones de londres

Ecuaciones electromagnéticas que describen superconductores.

Cuando un material cae por debajo de su temperatura crítica superconductora, los campos magnéticos dentro del material se expulsan mediante el efecto Meissner . Las ecuaciones de Londres dan una explicación cuantitativa de este efecto.

Las ecuaciones de London, desarrolladas por los hermanos Fritz y Heinz London en 1935, ^[1] son ​​relaciones constitutivas de un superconductor que relaciona su corriente superconductora con los campos electromagnéticos que se encuentran dentro y alrededor de él. Mientras que la ley de Ohm es la relación constitutiva más simple para un conductor ordinario , las ecuaciones de Londres son la descripción significativa más simple de los fenómenos superconductores y forman la génesis de casi cualquier texto introductorio moderno sobre el tema. ^{[2] [3] [4]} Un triunfo importante de las ecuaciones es su capacidad para explicar el efecto Meissner , ^[5] en el que un material expulsa exponencialmente todos los campos magnéticos internos cuando cruza el umbral superconductor.

Descripción

Hay dos ecuaciones de London cuando se expresan en términos de campos medibles:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{\rm {s}}}{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

Aquí está la densidad de corriente (superconductora) , E y B son respectivamente los campos eléctrico y magnético dentro del superconductor, es la carga de un electrón o protón, es la masa del electrón y es una constante fenomenológica vagamente asociada con una densidad numérica de portadores superconductores. . ^[6] ${\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {s}}}$ ${\displaystyle e\,}$ ${\displaystyle m\,}$ ${\displaystyle n_{\rm {s}}\,}$

Las dos ecuaciones se pueden combinar en una sola "Ecuación de Londres" ^{[6] [7]} en términos de un potencial vectorial específico que se ha fijado al "calibrador de Londres", dando: ^[8] ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}.}$

En el ancho de Londres, el potencial vectorial obedece a los siguientes requisitos, asegurando que pueda interpretarse como una densidad de corriente: ^[9]

• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} _{\rm {s}}=0,}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=0}$en la masa superconductora,
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0,}$¿Dónde está el vector normal en la superficie del superconductor? ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

El primer requisito, también conocido como condición de calibre de Coulomb , conduce a una densidad de electrones superconductores constante como se espera de la ecuación de continuidad. El segundo requisito es consistente con el hecho de que la supercorriente fluye cerca de la superficie. El tercer requisito garantiza que no se acumulen electrones superconductores en la superficie. Estos requisitos eliminan toda libertad de calibre y determinan de forma única el potencial del vector. También se puede escribir la ecuación de Londres en términos de un calibre arbitrario ^[10] simplemente definiendo , donde es una función escalar y es el cambio de calibre que desplaza el calibre arbitrario al calibre de Londres. La expresión del potencial vectorial es válida para campos magnéticos que varían lentamente en el espacio. ^[4] ${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {s}}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=(\mathbf {A} +\nabla \phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nabla \phi }$

Profundidad de penetración de Londres

Si se manipula la segunda de las ecuaciones de London aplicando la ley de Ampere , ^[11]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} }$,

entonces se puede convertir en la ecuación de Helmholtz para el campo magnético:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

donde el inverso del valor propio laplaciano :

${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}\equiv {\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$

es la escala de longitud característica, sobre la cual los campos magnéticos externos se suprimen exponencialmente: se llama profundidad de penetración de London : los valores típicos son de 50 a 500 nm . ${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}}$

Por ejemplo, considere un superconductor dentro del espacio libre donde el campo magnético fuera del superconductor es un valor constante apuntado paralelo al plano límite superconductor en la dirección z . Si x es perpendicular al límite, entonces se puede demostrar que la solución dentro del superconductor es

${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

A partir de aquí quizás se pueda discernir más fácilmente el significado físico de la profundidad de penetración de Londres.

Razón fundamental

Argumentos originales

Si bien es importante señalar que las ecuaciones anteriores no pueden derivarse formalmente, ^[12] los London siguieron una cierta lógica intuitiva en la formulación de su teoría. Las sustancias de una gama asombrosamente amplia de composición se comportan aproximadamente según la ley de Ohm , que establece que la corriente es proporcional al campo eléctrico. Sin embargo, tal relación lineal es imposible en un superconductor porque, casi por definición, los electrones en un superconductor fluyen sin resistencia alguna. Para ello, los hermanos London imaginaron los electrones como si fueran electrones libres bajo la influencia de un campo eléctrico externo uniforme. Según la ley de fuerzas de Lorentz

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\dot {\mathbf {v} }}=-e\mathbf {E} +e\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

estos electrones deberían encontrar una fuerza uniforme y, por lo tanto, deberían acelerar uniformemente. Supongamos que los electrones en el superconductor ahora son impulsados ​​por un campo eléctrico, entonces, de acuerdo con la definición de densidad de corriente, deberíamos tener ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}=-n_{\rm {s}}e{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} }$

Esta es la primera ecuación de Londres. Para obtener la segunda ecuación, toma el rizo de la primera ecuación de London y aplica la ley de Faraday ,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$,

para obtener

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} \right)=0.}$

Tal como está actualmente, esta ecuación permite soluciones tanto constantes como exponencialmente decrecientes. Los London reconocieron a partir del efecto Meissner que las soluciones constantes distintas de cero no eran físicas y, por lo tanto, postularon que no sólo la derivada temporal de la expresión anterior era igual a cero, sino también que la expresión entre paréntesis debía ser idénticamente cero:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$

Esto da como resultado la segunda ecuación de Londres y (hasta una transformación de calibre que se fija eligiendo "calibrador de Londres") ya que el campo magnético se define mediante ${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle B=\nabla \times A_{\rm {s}}.}$

Además, según la ley de Ampere , se puede derivar que: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \times \mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

Por otro lado, dado que tenemos , lo que conduce a que la distribución espacial del campo magnético obedece a: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

con profundidad de penetración . En una dimensión, dicha ecuación de Helmholtz tiene la forma solución ${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}={\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$ ${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

Dentro del superconductor , el campo magnético decae exponencialmente, lo que explica bien el efecto Meissner. Con la distribución del campo magnético, podemos usar la ley de Ampere nuevamente para ver que la supercorriente también fluye cerca de la superficie del superconductor, como se esperaba del requisito de interpretarlo como corriente física. ${\displaystyle (x>0)}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$

Si bien el razonamiento anterior es válido para el superconductor, también se puede argumentar de la misma manera para un conductor perfecto. Sin embargo, un hecho importante que distingue al superconductor del conductor perfecto es que el conductor perfecto no presenta el efecto Meissner . De hecho, el postulado no es válido para un director de orquesta perfecto. En cambio, la derivada temporal debe mantenerse y no puede eliminarse simplemente. Esto da como resultado el hecho de que la derivada temporal del campo (en lugar del campo) obedece: ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Porque en el fondo tenemos un conductor perfecto y no un superconductor. En consecuencia, el hecho de que el flujo magnético dentro de un conductor perfecto desaparezca depende de la condición inicial (si está enfriado por campo cero o no). ${\displaystyle T<T_{c}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =0}$

Argumentos de impulso canónico

También es posible justificar las ecuaciones de Londres por otros medios. ^{[13] [14]} La densidad de corriente se define según la ecuación

${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}.}$

Llevando esta expresión de una descripción clásica a una de mecánica cuántica, debemos reemplazar los valores y por los valores esperados de sus operadores. El operador de velocidad ${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} +e\mathbf {A} _{\rm {s}}\right)}$

se define dividiendo el operador de momento cinemático invariante de calibre por la masa de la partícula m . ^[15] Tenga en cuenta que estamos utilizando como carga del electrón. Luego podemos hacer este reemplazo en la ecuación anterior. Sin embargo, una suposición importante de la teoría microscópica de la superconductividad es que el estado superconductor de un sistema es el estado fundamental y, según un teorema de Bloch, ^[16] en tal estado el momento canónico p es cero. Esto deja ${\displaystyle -e}$

${\displaystyle \mathbf {j} =-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}},}$

que es la ecuación de Londres según la segunda formulación anterior.

Referencias

1. Londres, F .; Londres, H. (1935). "Las ecuaciones electromagnéticas del supraconductor". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 149 (866): 71. Código bibliográfico : 1935RSPSA.149...71L. doi : 10.1098/rspa.1935.0048 .
2. Michael Tinkham (1996). Introducción a la Superconductividad . McGraw-Hill. ISBN 0-07-064878-6.
3. Neil Ashcroft ; David Mermín (1976). Física del Estado Sólido . Colegio Saunders. pag. 738.ISBN​ 0-03-083993-9.
4. Charles Kittel (2005). Introducción a la Física del Estado Sólido (8ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-41526-X.
5. Meissner, W.; R. Ochsenfeld (1933). "Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit". Naturwissenschaften . 21 (44): 787. Código bibliográfico : 1933NW.....21..787M. doi :10.1007/BF01504252. S2CID  37842752.
6. James F. Annett (2004). Superconductividad, Superfluidos y Condensados . Oxford. pag. 58.ISBN​ 0-19-850756-9.
7. John David Jackson (1999). Electrodinámica clásica . John Wiley e hijos. pag. 604.ISBN​ 0-19-850756-9.
8. Londres, F. (1 de septiembre de 1948). "Sobre el problema de la teoría molecular de la superconductividad". Revisión física . 74 (5): 562–573. Código bibliográfico : 1948PhRv...74..562L. doi : 10.1103/PhysRev.74.562.
9. Michael Tinkham (1996). Introducción a la Superconductividad . McGraw-Hill. pag. 6.ISBN​ 0-07-064878-6.
10. Bardeen, J. (1 de febrero de 1951). "Elección del calibre en el enfoque de Londres de la teoría de la superconductividad". Revisión física . 81 (3): 469–470. Código bibliográfico : 1951PhRv...81..469B. doi : 10.1103/PhysRev.81.469.2.
11. (El desplazamiento se ignora porque se supone que el campo eléctrico solo varía lentamente con respecto al tiempo y el término ya está suprimido por un factor de c ).
12. Michael Tinkham (1996). Introducción a la Superconductividad . McGraw-Hill. pag. 5.ISBN​ 0-07-064878-6.
13. John David Jackson (1999). Electrodinámica clásica . John Wiley e hijos. págs. 603–604. ISBN 0-19-850756-9.
14. Michael Tinkham (1996). Introducción a la Superconductividad . McGraw-Hill. págs. 5–6. ISBN 0-07-064878-6.
15. LD Landau y EM Lifshitz (1977). Mecánica Cuántica- Teoría No Relativista . Butterworth-Heinemann. págs. 455–458. ISBN 0-7506-3539-8.
16. Tinkham p.5: "Este teorema aparentemente no está publicado, aunque es famoso".