Deformación (física)

Transformación de un cuerpo desde una configuración de referencia a una configuración actual

En física y mecánica de medios continuos , la deformación es el cambio en la forma o tamaño de un objeto. Tiene dimensión de longitud con unidad SI de metro (m). Se cuantifica como el desplazamiento residual de partículas en un cuerpo no rígido , desde una configuración inicial a una configuración final , excluyendo la traslación y rotación promedio del cuerpo (su transformación rígida ). ^[1] Una configuración es un conjunto que contiene las posiciones de todas las partículas del cuerpo.

Una deformación puede ocurrir debido a cargas externas , ^[2] actividad intrínseca (por ejemplo, contracción muscular ), fuerzas corporales (como la gravedad o fuerzas electromagnéticas ) o cambios de temperatura, contenido de humedad o reacciones químicas, etc.

En un cuerpo continuo , un campo de deformación resulta de un campo de tensión debido a las fuerzas aplicadas o debido a algunos cambios en las condiciones del cuerpo. La relación entre la tensión y la deformación (deformación relativa) se expresa mediante ecuaciones constitutivas , por ejemplo, la ley de Hooke para materiales elásticos lineales .

Las deformaciones que dejan de existir después de que se elimina el campo de tensión se denominan deformación elástica . En este caso, el continuo recupera completamente su configuración original. Por otro lado, pueden permanecer deformaciones irreversibles, y estas existen incluso después de que se hayan eliminado las tensiones. Un tipo de deformación irreversible es la deformación plástica , que se produce en los cuerpos materiales después de que las tensiones han alcanzado un cierto valor umbral conocido como límite elástico o tensión de fluencia , y son el resultado de mecanismos de deslizamiento o dislocación a nivel atómico. Otro tipo de deformación irreversible es la deformación viscosa , que es la parte irreversible de la deformación viscoelástica . En el caso de las deformaciones elásticas, la función de respuesta que vincula la deformación a la tensión deformante es el tensor de flexibilidad del material.

Definición y formulación

La deformación es el cambio en las propiedades métricas de un cuerpo continuo, es decir, una curva dibujada en la posición inicial del cuerpo cambia su longitud al ser desplazada a una curva en la posición final. Si ninguna de las curvas cambia de longitud, se dice que se produjo un desplazamiento del cuerpo rígido .

Es conveniente identificar una configuración de referencia o estado geométrico inicial del cuerpo continuo desde el cual se hagan referencia a todas las configuraciones subsiguientes. La configuración de referencia no necesita ser una que el cuerpo realmente ocupará alguna vez. A menudo, la configuración en t = 0 se considera la configuración de referencia, κ ₀ ( B ) . La configuración en el momento actual t es la configuración actual .

Para el análisis de la deformación, la configuración de referencia se identifica como configuración no deformada y la configuración actual como configuración deformada . Además, no se considera el tiempo al analizar la deformación, por lo que la secuencia de configuraciones entre las configuraciones no deformadas y deformadas no tiene interés.

Las componentes Xi del vector de posición X de una partícula en la configuración de referencia, tomadas con respecto al sistema de coordenadas de referencia, se denominan _coordenadas materiales o de referencia . Por otra parte, las componentes _Xi del vector de posición x de una partícula en la configuración deformada, tomadas con respecto al sistema de coordenadas espaciales de referencia, se denominan coordenadas espaciales.

Existen dos métodos para analizar la deformación de un continuo. Una descripción se realiza en términos de las coordenadas materiales o referenciales, llamada descripción material o descripción lagrangiana . Una segunda descripción de la deformación se realiza en términos de las coordenadas espaciales, llamada descripción espacial o descripción euleriana .

Hay continuidad durante la deformación de un cuerpo continuo en el sentido de que:

• Los puntos materiales que forman una curva cerrada en cualquier instante siempre formarán una curva cerrada en cualquier momento posterior.
• Los puntos materiales que forman una superficie cerrada en cualquier instante siempre formarán una superficie cerrada en cualquier momento posterior y la materia dentro de la superficie cerrada siempre permanecerá dentro.

Deformación afín

Una deformación afín es una deformación que puede describirse completamente mediante una transformación afín . Dicha transformación se compone de una transformación lineal (como rotación, cizallamiento, extensión y compresión) y una traslación de cuerpo rígido. Las deformaciones afines también se denominan deformaciones homogéneas . ^[3]

Por lo tanto, una deformación afín tiene la forma donde x es la posición de un punto en la configuración deformada, X es la posición en una configuración de referencia, t es un parámetro temporal, F es el transformador lineal y c es la traslación. En forma matricial, donde los componentes son con respecto a una base ortonormal, $${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

La deformación anterior se vuelve no afín o no homogénea si F = F ( X , t ) o c = c ( X , t ) .

Movimiento de cuerpo rígido

Un movimiento de cuerpo rígido es una deformación afín especial que no implica esfuerzo cortante, extensión ni compresión. La matriz de transformación F es ortogonal a la propia para permitir rotaciones pero no reflexiones .

Un movimiento de cuerpo rígido se puede describir mediante donde En forma matricial, $${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

Antecedentes: desplazamiento

Figura 1. Movimiento de un cuerpo continuo.

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo da como resultado un desplazamiento . El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación. Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. La deformación implica el cambio en la forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada κ ₀ ( B ) a una configuración actual o deformada κ _t ( B ) (Figura 1).

Si después de un desplazamiento del continuo se produce un desplazamiento relativo entre partículas, se ha producido una deformación. Por el contrario, si después del desplazamiento del continuo el desplazamiento relativo entre partículas en la configuración actual es cero, entonces no hay deformación y se dice que se ha producido un desplazamiento de cuerpo rígido.

El vector que une las posiciones de una partícula P en la configuración no deformada y la configuración deformada se llama vector de desplazamiento u ( X , t ) = u _i e _i en la descripción lagrangiana, o U ( x , t ) = U _J E _J en la descripción euleriana.

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento para todas las partículas en el cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente hacer el análisis de la deformación o el movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas materiales como o en términos de las coordenadas espaciales como donde α _Ji son los cosenos directores entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales con vectores unitarios E _J y e _i , respectivamente. Por lo tanto , y la relación entre u _i y U _J viene dada por $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$ $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$ $${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

Sabiendo eso entonces $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones no deformadas y deformadas, lo que da como resultado b = 0 , y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker : $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

Por lo tanto, tenemos o en términos de las coordenadas espaciales como $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}$$

Tensor de gradiente de desplazamiento

La diferenciación parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas del material produce el tensor de gradiente de desplazamiento del material ∇ _X u . Por lo tanto, tenemos: o donde F es el tensor de gradiente de deformación . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

De manera similar, la diferenciación parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas espaciales produce el tensor de gradiente de desplazamiento espacial ∇ _x U . Por lo tanto, tenemos, o $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}}$$

Ejemplos

Las deformaciones homogéneas (o afines) son útiles para dilucidar el comportamiento de los materiales. Algunas deformaciones homogéneas de interés son

• extensión uniforme
• dilatación pura
• tensión equibiaxial
• cizalla simple
• cizallamiento puro

Las deformaciones lineales o longitudinales de objetos largos, como vigas y fibras, se denominan alargamiento o acortamiento ; las magnitudes derivadas son el alargamiento relativo y la relación de estiramiento .

Las deformaciones planas también son de interés, particularmente en el contexto experimental.

La deformación del volumen es una escala uniforme debido a la compresión isótropa ; la deformación relativa del volumen se denomina deformación volumétrica .

Deformación plana

Una deformación plana, también llamada deformación plana , es aquella en la que la deformación está restringida a uno de los planos en la configuración de referencia. Si la deformación está restringida al plano descrito por los vectores base e ₁ , e ₂ , el gradiente de deformación tiene la forma En forma matricial, Del teorema de descomposición polar , el gradiente de deformación, hasta un cambio de coordenadas, se puede descomponer en un estiramiento y una rotación. Como toda la deformación está en un plano, podemos escribir ^[3] donde θ es el ángulo de rotación y λ ₁ , λ ₂ son los estiramientos principales . $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Deformación del plano isocórico

Si la deformación es isocórica (preserva el volumen) entonces det( F ) = 1 y tenemos Alternativamente, $${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1}$$ $${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=1}$$

Tijeras simples

Una deformación cortante simple se define como una deformación plana isocórica en la que hay un conjunto de elementos de línea con una orientación de referencia dada que no cambian de longitud ni de orientación durante la deformación. ^[3]

Si e ₁ es la orientación de referencia fija en la que los elementos de línea no se deforman durante la deformación, entonces λ ₁ = 1 y F · e ₁ = e ₁ . Por lo tanto, Dado que la deformación es isocórica, Definir Entonces, el gradiente de deformación en cizallamiento simple se puede expresar como Ahora, Dado que también podemos escribir el gradiente de deformación como $${\displaystyle F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0}$$ $${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1}$$ $${\displaystyle \gamma :=F_{12}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$

Véase también

• La deformación de elementos largos como vigas o montantes debido a fuerzas de flexión se conoce como deflexión .
• Teoría de vigas de Euler-Bernoulli
• Deformación (ingeniería)
• Teoría de la deformación finita
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Patrón muaré
• Módulo de corte
• Esfuerzo cortante
• Resistencia al corte
• Deformación (mecánica)
• Estrés (mecánica)
• Medidas de estrés

Referencias

1. Truesdell, C.; Noll, W. (2004). Las teorías de campo no lineales de la mecánica (3.ª ed.). Springer. pág. 48.
2. Wu, H.-C. (2005). Mecánica del medio continuo y plasticidad . CRC Press. ISBN 1-58488-363-4.
3. Ogden, RW (1984). Deformaciones elásticas no lineales . Dover.

Lectura adicional

• Bazant, Zdenek P.; Cedolin, Luigi (2010). Inestabilidades del continuo tridimensional y efectos del tensor de deformación finita, capítulo 11 en "Estabilidad de estructuras", 3.ª ed. Singapur, Nueva Jersey, Londres: World Scientific Publishing. ISBN 978-9814317030.
• Dill, Ellis Harold (2006). Mecánica del medio continuo: elasticidad, plasticidad, viscoelasticidad. Alemania: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Métodos continuos de modelado físico. Alemania: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Jirasek, M; Bazant, ZP (2002). Análisis inelástico de estructuras. Londres y Nueva York: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
• Lubarda, Vlado A. (2001). Teoría de la elastoplasticidad. Prensa CRC. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, CW (1994). Reología: principios, medición y aplicaciones . VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Mecánica del medio continuo. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999). Mecánica de medios continuos para ingenieros (2.ª edición). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticidad: un tratado sobre la deformación finita de materiales inelásticos heterogéneos. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
• Prager, William (1961). Introducción a la mecánica de los continuos. Boston: Ginn and Co. ISBN 0486438090.