Coordenadas generalizadas

Configuración del sistema en relación con otro

En mecánica analítica , las coordenadas generalizadas son un conjunto de parámetros utilizados para representar el estado de un sistema en un espacio de configuración . Estos parámetros deben definir de forma única la configuración del sistema en relación con un estado de referencia. ^[1] Las velocidades generalizadas son las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas del sistema. El adjetivo "generalizado" distingue estos parámetros del uso tradicional del término "coordenada" para referirse a las coordenadas cartesianas .

Un ejemplo de una coordenada generalizada sería describir la posición de un péndulo utilizando el ángulo del péndulo con respecto a la vertical, en lugar de la posición x e y del péndulo.

Aunque puede haber muchas opciones posibles para las coordenadas generalizadas de un sistema físico, generalmente se seleccionan para simplificar los cálculos, como la solución de las ecuaciones de movimiento del sistema. Si las coordenadas son independientes entre sí, el número de coordenadas generalizadas independientes se define por el número de grados de libertad del sistema. ^{[2] [3]}

Las coordenadas generalizadas se emparejan con los momentos generalizados para proporcionar coordenadas canónicas en el espacio de fases .

Restricciones y grados de libertad

Una coordenada generalizada (un grado de libertad) en trayectorias en 2D. Solo se necesita una coordenada generalizada para especificar de forma única las posiciones en la curva. En estos ejemplos, esa variable es la longitud del arco s o el ángulo θ . No es necesario tener ambas coordenadas cartesianas ( x , y ), ya que tanto x como y están relacionadas entre sí por las ecuaciones de las curvas. También se pueden parametrizar mediante s o θ .

La longitud del arco s a lo largo de la curva es una coordenada generalizada legítima ya que la posición está determinada de forma única, pero el ángulo θ no, ya que hay múltiples posiciones para un solo valor de θ .

Las coordenadas generalizadas se suelen seleccionar para proporcionar el número mínimo de coordenadas independientes que definen la configuración de un sistema, lo que simplifica la formulación de las ecuaciones de movimiento de Lagrange . Sin embargo, también puede ocurrir que un conjunto útil de coordenadas generalizadas sea dependiente , lo que significa que están relacionadas por una o más ecuaciones de restricción .

Restricciones holonómicas

Dos coordenadas generalizadas, dos grados de libertad, sobre superficies curvas en 3D. Solo se necesitan dos números ( u , v ) para especificar los puntos de la curva, se muestra una posibilidad para cada caso. Las tres coordenadas cartesianas completas ( x , y , z ) no son necesarias porque dos cualesquiera determinan la tercera según las ecuaciones de las curvas.

Para un sistema de N partículas en un espacio de coordenadas reales 3D , el vector de posición de cada partícula se puede escribir como una tupla de 3 en coordenadas cartesianas :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\\&\mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\\&\qquad \qquad \vdots \\&\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\end{aligned}}}$

Cualquiera de los vectores de posición se puede denotar como r _k donde k = 1, 2, …, N etiqueta las partículas. Una restricción holonómica es una ecuación de restricción de la forma para la partícula k ^{[4] [a]}

${\displaystyle f(\mathbf {r} _{k},t)=0}$

que conecta las 3 coordenadas espaciales de esa partícula entre sí, por lo que no son independientes. La restricción puede cambiar con el tiempo, por lo que el tiempo t aparecerá explícitamente en las ecuaciones de restricción. En cualquier instante de tiempo, cualquier coordenada se determinará a partir de las otras coordenadas, por ejemplo, si x _k y z _k están dadas, entonces también lo está y _k . Una ecuación de restricción cuenta como una restricción. Si hay C restricciones, cada una tiene una ecuación, por lo que habrá C ecuaciones de restricción. No necesariamente hay una ecuación de restricción para cada partícula, y si no hay restricciones en el sistema, entonces no hay ecuaciones de restricción.

Hasta ahora, la configuración del sistema está definida por 3 N magnitudes, pero se pueden eliminar las coordenadas C , una coordenada de cada ecuación de restricción. El número de coordenadas independientes es n = 3 N − C . (En dimensiones D , la configuración original necesitaría ND coordenadas, y la reducción por restricciones significa n = ND − C ). Lo ideal es utilizar el número mínimo de coordenadas necesarias para definir la configuración de todo el sistema, aprovechando al mismo tiempo las restricciones del sistema. Estas magnitudes se conocen como coordenadas generalizadas en este contexto, denotadas q _j ( t ) . Es conveniente agruparlas en una n - tupla

${\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),\ q_{2}(t),\ \ldots ,\ q_{n}(t))}$

que es un punto en el espacio de configuración del sistema. Todos son independientes entre sí y cada uno es una función del tiempo. Geométricamente pueden ser longitudes a lo largo de líneas rectas, o longitudes de arco a lo largo de curvas, o ángulos; no necesariamente coordenadas cartesianas u otras coordenadas ortogonales estándar . Hay uno para cada grado de libertad , por lo que el número de coordenadas generalizadas es igual al número de grados de libertad, n . Un grado de libertad corresponde a una cantidad que cambia la configuración del sistema, por ejemplo, el ángulo de un péndulo o la longitud del arco recorrido por una cuenta a lo largo de un alambre.

Si es posible encontrar a partir de las restricciones tantas variables independientes como grados de libertad, éstas pueden utilizarse como coordenadas generalizadas. ^[5] El vector de posición r _k de la partícula k es una función de todas las n coordenadas generalizadas (y, a través de ellas, del tiempo), ^{[6] [7] [8] [5] [nb 1]}

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t))\,,}$

y las coordenadas generalizadas pueden considerarse como parámetros asociados con la restricción.

Las derivadas temporales correspondientes de q son las velocidades generalizadas,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),\ {\dot {q}}_{2}(t),\ \ldots ,\ {\dot {q}}_{n}(t))}$

(cada punto sobre una cantidad indica una derivada temporal ). El vector de velocidad v _k es la derivada total de r _k con respecto al tiempo.

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\dot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,.}$

y por lo tanto depende en general de las velocidades y coordenadas generalizadas. Dado que tenemos la libertad de especificar los valores iniciales de las coordenadas y velocidades generalizadas por separado, las coordenadas generalizadas q _j y las velocidades dq _j / dt pueden tratarse como variables independientes .

Restricciones no holonómicas

Un sistema mecánico puede implicar restricciones tanto en las coordenadas generalizadas como en sus derivadas. Las restricciones de este tipo se conocen como no holonómicas. Las restricciones no holonómicas de primer orden tienen la forma

${\displaystyle g(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=0\,,}$

Un ejemplo de este tipo de restricción es una rueda que gira o el filo de un cuchillo que restringe la dirección del vector de velocidad. Las restricciones no holonómicas también pueden implicar derivadas de orden siguiente, como las aceleraciones generalizadas.

Magnitudes físicas en coordenadas generalizadas

Energía cinética

La energía cinética total del sistema es la energía del movimiento del sistema, definida como ^[9]

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\,,}$

donde · es el producto escalar . La energía cinética es una función únicamente de las velocidades v _k , no de las coordenadas r _k en sí mismas. Por el contrario, una observación importante es ^[10]

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},}$

lo que ilustra que la energía cinética es en general una función de las velocidades generalizadas, las coordenadas y el tiempo si las restricciones también varían con el tiempo, por lo que T = T ( q , d q / dt , t ) .

En el caso de que las restricciones sobre las partículas sean independientes del tiempo, entonces todas las derivadas parciales con respecto al tiempo son cero y la energía cinética es una función homogénea de grado 2 en las velocidades generalizadas.

Aún para el caso independiente del tiempo, esta expresión es equivalente a tomar el elemento de línea al cuadrado de la trayectoria de la partícula k ,

${\displaystyle ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,}$

y dividiendo por el cuadrado de la diferencial en el tiempo, dt ² , se obtiene la velocidad al cuadrado de la partícula k . Por lo tanto, para restricciones independientes del tiempo, es suficiente conocer el elemento de línea para obtener rápidamente la energía cinética de las partículas y, por lo tanto, el Lagrangiano . ^[11]

Resulta instructivo ver los diversos casos de coordenadas polares en 2D y 3D, debido a su frecuente aparición. En las coordenadas polares 2D ( r , θ ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\,,}$

en coordenadas cilíndricas 3D ( r , θ , z ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\,,}$

en coordenadas esféricas 3D ( r , θ , φ ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.}$

Impulso generalizado

El momento generalizado " canónicamente conjugado a" la coordenada q _i se define por

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

Si el lagrangiano L no depende de alguna coordenada q _i , entonces se deduce de las ecuaciones de Euler-Lagrange que el momento generalizado correspondiente será una cantidad conservada , porque la derivada del tiempo es cero, lo que implica que el momento es una constante del movimiento;

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\dot {p}}_{i}=0\,.}$

Ejemplos

Perla en un alambre

Perla sujeta a un alambre sin fricción que la mantiene en movimiento. El alambre ejerce una fuerza de reacción C sobre la perla para mantenerla en el alambre. La fuerza sin restricción N en este caso es la gravedad. Observe que la posición inicial del alambre puede generar diferentes movimientos.

Para una cuenta que se desliza sobre un alambre sin fricción sujeto solo a la gravedad en el espacio 2d, la restricción sobre la cuenta se puede expresar en la forma f ( r ) = 0 , donde la posición de la cuenta se puede escribir r = ( x ( s ), y ( s )) , en la que s es un parámetro, la longitud del arco s a lo largo de la curva desde algún punto en el alambre. Esta es una elección adecuada de coordenada generalizada para el sistema. Solo se necesita una coordenada en lugar de dos, porque la posición de la cuenta se puede parametrizar con un número, s , y la ecuación de restricción conecta las dos coordenadas x e y ; cualquiera de las dos se determina a partir de la otra. La fuerza de restricción es la fuerza de reacción que ejerce el alambre sobre la cuenta para mantenerla en el alambre, y la fuerza aplicada sin restricción es la gravedad que actúa sobre la cuenta.

Supongamos que el alambre cambia su forma con el tiempo, al flexionarse. Entonces, la ecuación de restricción y la posición de la partícula son respectivamente

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=0\,,\quad \mathbf {r} =(x(s,t),y(s,t))}$

que ahora dependen del tiempo t debido a las coordenadas cambiantes a medida que el cable cambia su forma. Observe que el tiempo aparece implícitamente a través de las coordenadas y explícitamente en las ecuaciones de restricción.

Péndulo simple

Péndulo simple. Como la varilla es rígida, la posición del cuerpo está restringida según la ecuación f ( x , y ) = 0 , la fuerza de restricción C es la tensión en la varilla. Nuevamente, la fuerza no restrictiva N en este caso es la gravedad.

Modelo dinámico de un péndulo simple.

La relación entre el uso de coordenadas generalizadas y coordenadas cartesianas para caracterizar el movimiento de un sistema mecánico se puede ilustrar considerando la dinámica restringida de un péndulo simple. ^{[12] [13]}

Un péndulo simple consiste en una masa M que cuelga de un punto de pivote de modo que se ve obligada a moverse en un círculo de radio L. La posición de la masa está definida por el vector de coordenadas r = ( x , y ) medido en el plano del círculo de modo que y esté en la dirección vertical. Las coordenadas x e y están relacionadas por la ecuación del círculo.

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

que restringe el movimiento de M . Esta ecuación también proporciona una restricción sobre los componentes de velocidad,

${\displaystyle {\dot {f}}(x,y)=2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0.}$

Ahora introduzca el parámetro θ , que define la posición angular de M respecto de la dirección vertical. Puede utilizarse para definir las coordenadas x e y , de modo que

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta ,-L\cos \theta ).}$

El uso de θ para definir la configuración de este sistema evita la restricción proporcionada por la ecuación del círculo.

Nótese que la fuerza de gravedad que actúa sobre la masa m está formulada en las coordenadas cartesianas habituales,

${\displaystyle \mathbf {F} =(0,-mg),}$

donde g es la aceleración debida a la gravedad .

El trabajo virtual de la gravedad sobre la masa m a medida que sigue la trayectoria r está dado por

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}$

La variación δ r se puede calcular en términos de las coordenadas x e y , o en términos del parámetro θ ,

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta ,L\sin \theta )\delta \theta .}$

Así, el trabajo virtual viene dado por

${\displaystyle \delta W=-mg\delta y=-mgL\sin(\theta )\delta \theta .}$

Nótese que el coeficiente de δ y es el componente y de la fuerza aplicada. De la misma manera, el coeficiente de δ θ se conoce como la fuerza generalizada a lo largo de la coordenada generalizada θ , dada por

${\displaystyle F_{\theta }=-mgL\sin \theta .}$

Para completar el análisis considere la energía cinética T de la masa, utilizando la velocidad,

${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}})=(L\cos \theta ,L\sin \theta ){\dot {\theta }},}$

entonces,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

La forma de D'Alembert del principio de trabajo virtual para el péndulo en términos de las coordenadas x e y está dada por,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

Esto produce las tres ecuaciones

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\lambda (2x),\quad m{\ddot {y}}=-mg+\lambda (2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

en las tres incógnitas, x , y y λ .

Utilizando el parámetro θ , esas ecuaciones toman la forma

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}=F_{\theta },}$

que se convierte en,

${\displaystyle mL^{2}{\ddot {\theta }}=-mgL\sin \theta ,}$

o

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.}$

Esta formulación produce una ecuación porque hay un solo parámetro y no hay ecuación de restricción.

Esto demuestra que el parámetro θ es una coordenada generalizada que puede utilizarse de la misma manera que las coordenadas cartesianas x e y para analizar el péndulo.

Péndulo doble

Un péndulo doble

Los beneficios de las coordenadas generalizadas se hacen evidentes con el análisis de un péndulo doble . Para las dos masas m _i ( i = 1, 2) , sea r _i = ( x _i , y _i ), i = 1, 2 definen sus dos trayectorias. Estos vectores satisfacen las dos ecuaciones de restricción,

${\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0}$

y

${\displaystyle f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.}$

La formulación de las ecuaciones de Lagrange para este sistema produce seis ecuaciones en las cuatro coordenadas cartesianas x _i , y _i ( i = 1, 2) y los dos multiplicadores de Lagrange λ _i ( i = 1, 2) que surgen de las dos ecuaciones de restricción.

Introduzcamos ahora las coordenadas generalizadas θ _i ( i = 1, 2) que definen la posición angular de cada masa del péndulo doble respecto a la dirección vertical. En este caso, tenemos

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).}$

La fuerza de gravedad que actúa sobre las masas viene dada por,

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)}$

donde g es la aceleración debida a la gravedad. Por lo tanto, el trabajo virtual de la gravedad sobre las dos masas a medida que siguen las trayectorias r _i ( i = 1, 2) está dado por

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.}$

Las variaciones δ r _i ( i = 1, 2) se pueden calcular como

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}}$

Así, el trabajo virtual viene dado por

${\displaystyle \delta W=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1}\delta \theta _{1}-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}\delta \theta _{2},}$

y las fuerzas generalizadas son

${\displaystyle F_{\theta _{1}}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},\quad F_{\theta _{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

Calcular la energía cinética de este sistema para ser

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}.}$

La ecuación de Euler-Lagrange produce dos ecuaciones en las coordenadas generalizadas desconocidas θ _i ( i = 1, 2) dadas por ^[14]

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},}$

y

${\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{1}}}^{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

El uso de las coordenadas generalizadas θ _i ( i = 1, 2) proporciona una alternativa a la formulación cartesiana de la dinámica del péndulo doble.

Péndulo esférico

Péndulo esférico: ángulos y velocidades.

Para un ejemplo 3D, un péndulo esférico con longitud constante l libre para oscilar en cualquier dirección angular sujeto a la gravedad, la restricción sobre el cuerpo del péndulo se puede expresar en la forma

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}=0\,,}$

donde se puede escribir la posición del péndulo

${\displaystyle \mathbf {r} =(x(\theta ,\phi ),y(\theta ,\phi ),z(\theta ,\phi ))\,,}$

donde ( θ , φ ) son los ángulos polares esféricos porque el cuerpo se mueve en la superficie de una esfera. La posición r se mide a lo largo del punto de suspensión hasta el cuerpo, tratado aquí como una partícula puntual . Una elección lógica de coordenadas generalizadas para describir el movimiento son los ángulos ( θ , φ ) . Solo se necesitan dos coordenadas en lugar de tres, porque la posición del cuerpo se puede parametrizar con dos números, y la ecuación de restricción conecta las tres coordenadas ( x , y , z ) de modo que cualquiera de ellas se determina a partir de las otras dos.

Coordenadas generalizadas y trabajo virtual

El principio del trabajo virtual establece que si un sistema está en equilibrio estático, el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde este estado, es decir, δ W = 0 para cualquier variación δ r . ^[15] Cuando se formula en términos de coordenadas generalizadas, esto es equivalente al requisito de que las fuerzas generalizadas para cualquier desplazamiento virtual sean cero, es decir F _i = 0 .

Sean las fuerzas sobre el sistema F _j ( j = 1, 2, …, m ) aplicadas a puntos con coordenadas cartesianas r _j ( j = 1, 2, …, m ) , entonces el trabajo virtual generado por un desplazamiento virtual desde la posición de equilibrio está dado por

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}.}$

donde δ r _j ( j = 1, 2, …, m ) denotan los desplazamientos virtuales de cada punto del cuerpo.

Supongamos ahora que cada δ r _j depende de las coordenadas generalizadas q _i ( i = 1, 2, …, n ) entonces

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}={\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\delta {q}_{1}+\ldots +{\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\delta {q}_{n},}$

y

${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\right)\delta {q}_{1}+\ldots +\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\right)\delta {q}_{n}.}$

Los términos n

${\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,}$

son las fuerzas generalizadas que actúan sobre el sistema. Kane ^[16] muestra que estas fuerzas generalizadas también pueden formularse en términos de la relación de las derivadas temporales,

${\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{j}}{\partial {\dot {q}}_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,}$

donde v _j es la velocidad del punto de aplicación de la fuerza F _j .

Para que el trabajo virtual sea cero para un desplazamiento virtual arbitrario, cada una de las fuerzas generalizadas debe ser cero, es decir

${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad F_{i}=0,i=1,\ldots ,n.}$

Véase también

• Coordenadas canónicas
• Mecánica hamiltoniana
• Trabajo virtual
• Coordenadas ortogonales
• Coordenadas curvilíneas
• Matriz de masa
• Matriz de rigidez
• Fuerzas generalizadas

Notas

1. Algunos autores, por ejemplo Hand y Finch, toman la forma del vector de posición para la partícula k , como se muestra aquí, como la condición para que la restricción de que esa partícula sea holonómica.

1. Algunos autores establecen las ecuaciones de restricción en una constante para facilitar su uso en algunas ecuaciones de restricción (por ejemplo, péndulos), mientras que otros la establecen en cero. No hay diferencia porque la constante se puede restar para obtener cero en un lado de la ecuación. Además, en las ecuaciones de Lagrange de primera clase, solo se necesitan las derivadas.

Referencias

1. Ginsberg 2008, p. 397, §7.2.1 Selección de coordenadas generalizadas
2. Farid ML Amirouche (2006). "§2.4: Coordenadas generalizadas". Fundamentos de dinámica de cuerpos múltiples: teoría y aplicaciones . Springer. pág. 46. ISBN 0-8176-4236-6.
3. Florian Scheck (2010). "§5.1 Variedades de coordenadas generalizadas". Mecánica: de las leyes de Newton al caos determinista (5.ª ed.). Springer. pág. 286. ISBN 978-3-642-05369-6.
4. Goldstein, Poole y Safko 2002, pág. 12
5. Kibble & Berkshire 2004, pág. 232
6. Torby 1984, pág. 260
7. Goldstein, Poole y Safko 2002, pág. 13
8. Hand y Finch 1998, pág. 15
9. Torby 1984, pág. 269
10. Goldstein, Poole y Safko 2002, pág. 25
11. Landau y Lifshitz 1976, pág. 8
12. Greenwood, Donald T. (1987). Principios de dinámica (2.ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-709981-9.
13. Richard Fitzpatrick, Dinámica newtoniana.
14. Eric W. Weisstein, Péndulo doble, scienceworld.wolfram.com. 2007
15. Torby 1984
16. TR Kane y DA Levinson, Dinámica: teoría y aplicaciones, McGraw-Hill, Nueva York, 1985

Bibliografía de referencias citadas

• Ginsberg, Jerry H. (2008). Dinámica de ingeniería (3.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88303-0.
• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles; Safko, John (2002). Mecánica clásica (3.ª ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3.
• Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (1998). Mecánica analítica . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521575720.
• Kibble, TWB ; Berkshire, FH (2004). Mecánica clásica (5.ª ed.). River Edge, NJ: Imperial College Press . ISBN 1860944248.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1976). Mecánica (tercera edición). Oxford. ISBN 978-0750628969.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Torby, Bruce (1984). "Métodos de energía". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en ingeniería mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.