Fuerzas generalizadas

Concepto en mecánica lagrangiana

En mecánica analítica (particularmente mecánica lagrangiana ), las fuerzas generalizadas son conjugadas a coordenadas generalizadas . Se obtienen a partir de las fuerzas aplicadas F _i , i = 1, …, n , que actúan sobre un sistema que tiene su configuración definida en términos de coordenadas generalizadas. En la formulación del trabajo virtual , cada fuerza generalizada es el coeficiente de variación de una coordenada generalizada.

Trabajo virtual

Las fuerzas generalizadas se pueden obtener a partir del cálculo del trabajo virtual , δW , de las fuerzas aplicadas. ^{[1] : 265}

El trabajo virtual de las fuerzas, F _i , que actúan sobre las partículas P _i , i = 1, ..., n , está dado por

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}}$

donde δ r _i es el desplazamiento virtual de la partícula P _i .

Coordenadas generalizadas

Sean los vectores de posición de cada una de las partículas, r _i , una función de las coordenadas generalizadas, q _j , j = 1, ..., m . Entonces los desplazamientos virtuales δ r _i están dados por

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,}$

donde δq _j es el desplazamiento virtual de la coordenada generalizada q _j .

El trabajo virtual para el sistema de partículas se convierte en

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$

Reúna los coeficientes de δq _j de manera que

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.}$

Fuerzas generalizadas

El trabajo virtual de un sistema de partículas se puede escribir en la forma

${\displaystyle \delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},}$

dónde

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,}$

se denominan fuerzas generalizadas asociadas a las coordenadas generalizadas q _j , j = 1, ..., m .

Formulación de velocidad

En la aplicación del principio del trabajo virtual, a menudo resulta conveniente obtener desplazamientos virtuales a partir de las velocidades del sistema. Para el sistema de n partículas, supongamos que la velocidad de cada partícula P _i es V _i , entonces el desplazamiento virtual δ r _i también se puede escribir en la forma ^[2]

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Esto significa que la fuerza generalizada, Q _j , también se puede determinar como

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

Principio de D'Alembert

D'Alembert formuló la dinámica de una partícula como el equilibrio de las fuerzas aplicadas con una fuerza de inercia ( fuerza aparente ), llamada principio de D'Alembert . La fuerza de inercia de una partícula, P _i , de masa m _i es

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,}$

donde A _i es la aceleración de la partícula.

Si la configuración del sistema de partículas depende de las coordenadas generalizadas q _j , j = 1, ..., m , entonces la fuerza de inercia generalizada está dada por

${\displaystyle Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual produce

${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.}$

Referencias

1. Torby, Bruce (1984). "Métodos de energía". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en ingeniería mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
2. TR Kane y DA Levinson, Dinámica, teoría y aplicaciones, McGraw-Hill, NY, 2005.

Véase también

• Mecánica lagrangiana
• Coordenadas generalizadas
• Grados de libertad (física y química)
• Trabajo virtual