Velocidad de área

Término de la mecánica clásica.

En mecánica clásica , la velocidad de área (también llamada velocidad de sector o velocidad sectorial ) es un pseudovector cuya longitud es igual a la tasa de cambio a la que una partícula barre el área a medida que se mueve a lo largo de una curva . Tiene unidades del SI de metros cuadrados por segundo (m ² /s) y dimensión de longitud cuadrada por tiempo L ² T ^-1 .

En la figura adjunta, supongamos que una partícula se mueve a lo largo de la curva azul. En un momento determinado t , la partícula se encuentra en el punto B , y poco tiempo después, en el momento t + Δ t , la partícula se ha movido al punto C . La región barrida por la partícula está sombreada en verde en la figura, limitada por los segmentos de línea AB y AC y la curva a lo largo de la cual se mueve la partícula. La magnitud de la velocidad superficial (es decir, la rapidez superficial ) es el área de esta región dividida por el intervalo de tiempo Δ t en el límite en el que Δ t se vuelve infinitamente pequeño. Se postula que la dirección del vector es normal al plano que contiene los vectores de posición y velocidad de la partícula, siguiendo una convención conocida como la regla de la mano derecha .

La conservación de la velocidad del área es una propiedad general del movimiento de fuerza central , ^[1] y, dentro del contexto de la mecánica clásica, es equivalente a la conservación del momento angular .

Relación con el momento angular

Ilustración de la segunda ley de Kepler. El planeta se mueve más rápido cerca del Sol, por lo que en un tiempo determinado se barre la misma área que a distancias mayores, donde el planeta se mueve más lentamente.

La velocidad de área está estrechamente relacionada con el momento angular . Cualquier objeto tiene un momento angular orbital alrededor de un origen, y este resulta ser, hasta una constante escalar multiplicativa, igual a la velocidad de área del objeto alrededor del mismo origen. Una propiedad crucial del momento angular es que se conserva bajo la acción de fuerzas centrales (es decir, fuerzas que actúan radialmente hacia o desde el origen). Históricamente, la ley de conservación del momento angular se enunciaba completamente en términos de velocidad de área.

Un caso especial de esto es la segunda ley de Kepler , que establece que la velocidad de área de un planeta, con el Sol como origen, es constante con el tiempo. Debido a que la fuerza gravitatoria que actúa sobre un planeta es aproximadamente una fuerza central (ya que la masa del planeta es pequeña en comparación con la del Sol), el momento angular del planeta (y, por lo tanto, la velocidad de área) debe permanecer (aproximadamente) constante. Isaac Newton fue el primer científico en reconocer la importancia dinámica de la segunda ley de Kepler. Con la ayuda de sus leyes del movimiento, demostró en 1684 que cualquier planeta que es atraído hacia un centro fijo barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Por esta razón, la ley de conservación del momento angular se denominó históricamente "principio de áreas iguales". La ley de conservación del momento angular se amplió y generalizó más tarde a situaciones más complicadas que no se pueden describir fácilmente mediante el concepto de velocidad de área. Dado que la forma moderna de la ley de conservación del momento angular incluye mucho más que la segunda ley de Kepler, la designación "principio de áreas iguales" ha sido abandonada en los trabajos modernos.

Derivación de la conexión con el momento angular

En la situación de la primera figura, el área barrida durante el período de tiempo Δ t por la partícula es aproximadamente igual al área del triángulo ABC . A medida que Δ t se acerca a cero, esta casi igualdad se vuelve exacta como un límite .

Sea el punto D el cuarto vértice del paralelogramo ABDC que se muestra en la figura, de modo que los vectores AB y AC se sumen según la regla del paralelogramo para dar el vector AD . Entonces, el área del triángulo ABC es la mitad del área del paralelogramo ABDC , y el área de ABDC es igual a la magnitud del producto vectorial de los vectores AB y AC . Esta área también se puede considerar como un (pseudo)vector con esta magnitud y que apunta en una dirección perpendicular al paralelogramo (siguiendo la regla de la mano derecha ); este vector es el producto vectorial en sí: $${\displaystyle {\text{vector area of parallelogram }}ABCD=\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t).}$$

Por eso $${\displaystyle {\text{vector area of triangle }}ABC={\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2}}.}$$

La velocidad del área es este vector dividido por Δ t en el límite en que Δ t se vuelve extremadamente pequeño: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{areal velocity}}&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times {\bigl (}\mathbf {r} (t)+\mathbf {r} \,'(t)\Delta t{\bigr )}}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} \,'(t)}{2}}\left({\Delta t \over \Delta t}\right)\\&={\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} \,'(t)}{2}}.\end{aligned}}}$$

Pero, ¿el vector de velocidad de la partícula en movimiento es tal que ${\displaystyle \mathbf {r} \,'(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{2}}.}$$

Por otra parte, el momento angular de la partícula es

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} ,}$$

y por lo tanto el momento angular es igual a 2 m por la velocidad del área.

Relación con los dipolos magnéticos

La velocidad de área también está estrechamente relacionada con el concepto de dipolos magnéticos en la electrodinámica clásica. Toda corriente eléctrica posee una cantidad (pseudo)vectorial llamada momento dipolar magnético respecto de un origen determinado. En el caso especial de que la corriente consista en una única carga puntual en movimiento, el momento dipolar magnético respecto de cualquier origen determinado resulta ser, hasta un factor escalar, igual a la velocidad de área de la carga respecto del mismo origen. En el caso más general en el que la corriente consiste en un número grande pero finito de cargas puntuales en movimiento, el momento dipolar magnético es la suma de los momentos dipolares de cada una de las cargas y, por lo tanto, es proporcional a la suma de las velocidades de área de todas las cargas. En el límite de continuidad donde el número de cargas en la corriente se vuelve infinito, la suma se convierte en una integral; es decir, el momento dipolar magnético de una corriente continua respecto de un origen determinado es, hasta un factor escalar, igual a la integral de la velocidad de área a lo largo de la trayectoria de la corriente. Si el camino de la corriente resulta ser un bucle cerrado y si la corriente es la misma en todos los puntos del bucle, esta integral resulta ser independiente del origen elegido, de modo que el momento dipolar magnético se convierte en una constante fundamental asociada con el bucle de corriente.

Véase también

• Momento angular
• Momento angular específico
• Sistema de coordenadas elípticas

Referencias

1. Houde, Martin (10 de noviembre de 2005). "Capítulo 6. Movimiento de fuerza central" (PDF) . Física 350/Matemáticas aplicadas 353 Mecánica clásica I . Western University . Consultado el 15 de octubre de 2021 .

Lectura adicional

• Moulton, FR (1970) [1914]. Introducción a la mecánica celeste . Dover. ISBN 978-0-486-64687-9.
• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-486-68063-7.
• Casey, J. (2007). "Velocidad de área y momento angular para problemas no planos en mecánica de partículas". American Journal of Physics . 75 (8): 677–685. Bibcode :2007AmJPh..75..677C. doi : 10.1119/1.2735630 .
• Brackenridge, JB (1995). La clave de la dinámica de Newton: el problema de Kepler y los Principia . Berkeley: University of California Press. ISBN 978-0-520-20217-7.JSTOR  10.1525/j.ctt1ppn2m .