Triángulo hiperbólico

Triángulo en geometría hiperbólica

Un triángulo hiperbólico incrustado en una superficie con forma de silla de montar

En geometría hiperbólica , un triángulo hiperbólico es un triángulo en el plano hiperbólico . Está formado por tres segmentos de línea llamados lados o aristas y tres puntos llamados ángulos o vértices .

Al igual que en el caso euclidiano , tres puntos de un espacio hiperbólico de una dimensión arbitraria siempre se encuentran en el mismo plano. Por lo tanto, los triángulos hiperbólicos planos también describen triángulos posibles en cualquier dimensión superior de los espacios hiperbólicos.

Una teselación triangular de orden 7 tiene triángulos equiláteros con ángulos internos de 2π/7 radianes .

Definición

Un triángulo hiperbólico consta de tres puntos no colineales y los tres segmentos entre ellos. ^[1]

Propiedades

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades que son análogas a las de los triángulos en la geometría euclidiana :

• Cada triángulo hiperbólico tiene un círculo inscrito , pero no todos los triángulos hiperbólicos tienen un círculo circunscrito (ver más abajo). Sus vértices pueden estar en un horociclo o hiperciclo .

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades análogas a las de los triángulos en geometría esférica o elíptica :

• Dos triángulos con la misma suma de ángulos son iguales en área.
• Hay un límite superior para el área de los triángulos.
• Hay un límite superior para el radio del círculo inscrito .
• Dos triángulos son congruentes si y sólo si corresponden bajo un producto finito de reflexiones de línea.
• Dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son congruentes (es decir, todos los triángulos similares son congruentes).

Los triángulos hiperbólicos tienen algunas propiedades que son opuestas a las propiedades de los triángulos en geometría esférica o elíptica:

• La suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180°.
• El área de un triángulo es proporcional al déficit de la suma de sus ángulos a partir de 180°.

Los triángulos hiperbólicos también tienen algunas propiedades que no se encuentran en otras geometrías:

• Algunos triángulos hiperbólicos no tienen círculo circunscrito , este es el caso cuando al menos uno de sus vértices es un punto ideal o cuando todos sus vértices se encuentran en un horociclo o en un hiperciclo unilateral .
• Los triángulos hiperbólicos son delgados , existe una distancia máxima δ desde un punto de una arista hasta una de las otras dos aristas. Este principio dio origen al espacio δ-hiperbólico .

Triángulos con vértices ideales

Tres triángulos ideales en el modelo del disco de Poincaré

La definición de triángulo se puede generalizar, permitiendo que los vértices estén en el límite ideal del plano mientras que los lados se mantienen dentro del plano. Si un par de lados es paralelo al límite (es decir, la distancia entre ellos se acerca a cero a medida que tienden al punto ideal , pero no se intersecan), entonces terminan en un vértice ideal representado como un punto omega .

También se puede decir que un par de lados así forma un ángulo de cero .

En geometría euclidiana, un triángulo con un ángulo cero es imposible para lados rectos que se encuentran sobre líneas distintas. Sin embargo, tales ángulos cero son posibles con círculos tangentes .

Un triángulo con un vértice ideal se llama triángulo omega .

Los triángulos especiales con vértices ideales son:

Triángulo de paralelismo

Un triángulo donde un vértice es un punto ideal, un ángulo es recto: el tercer ángulo es el ángulo de paralelismo para la longitud del lado entre el ángulo recto y el tercer ángulo.

Triángulo de Schweikart

El triángulo donde dos vértices son puntos ideales y el ángulo restante es rectángulo , uno de los primeros triángulos hiperbólicos (1818) descrito por Ferdinand Karl Schweikart .

Triángulo ideal

El triángulo donde todos los vértices son puntos ideales, un triángulo ideal es el triángulo más grande posible en geometría hiperbólica debido a la suma cero de los ángulos.

Curvatura gaussiana estandarizada

Las relaciones entre los ángulos y los lados son análogas a las de la trigonometría esférica ; la escala de longitud tanto para la geometría esférica como para la geometría hiperbólica puede definirse, por ejemplo, como la longitud de un lado de un triángulo equilátero con ángulos fijos.

La escala de longitud es más conveniente si las longitudes se miden en términos de longitud absoluta (una unidad especial de longitud análoga a una relación entre distancias en geometría esférica ). Esta elección de esta escala de longitud simplifica las fórmulas. ^[2]

En términos del modelo de semiplano de Poincaré, la longitud absoluta corresponde a la métrica infinitesimal y en el modelo de disco de Poincaré a . ${\displaystyle ds={\frac {|dz|}{\operatorname {Im} (z)}}}$ ${\displaystyle ds={\frac {2|dz|}{1-|z|^{2}}}}$

En términos de la curvatura gaussiana (constante y negativa) K de un plano hiperbólico, una unidad de longitud absoluta corresponde a una longitud de

${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$.

En un triángulo hiperbólico la suma de los ángulos A , B , C (respectivamente opuestos al lado con la letra correspondiente) es estrictamente menor que un ángulo llano . La diferencia entre la medida de un ángulo llano y la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo se llama defecto del triángulo. El área de un triángulo hiperbólico es igual a su defecto multiplicado por el cuadrado de  R :

${\displaystyle (\pi -A-B-C)R^{2}{}{}\!}$.

Este teorema, demostrado por primera vez por Johann Heinrich Lambert , ^[3] está relacionado con el teorema de Girard en geometría esférica.

Trigonometría

En todas las fórmulas que se indican a continuación, los lados a , b y c deben medirse en longitud absoluta , unidad tal que la curvatura gaussiana K del plano sea −1. En otras palabras, se supone que la cantidad R del párrafo anterior es igual a 1.

Las fórmulas trigonométricas para triángulos hiperbólicos dependen de las funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh.

Trigonometría de triángulos rectángulos

Si C es un ángulo recto entonces:

• El seno del ángulo A es el seno hiperbólico del lado opuesto al ángulo dividido por el seno hiperbólico de la hipotenusa .

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {sinh(opposite)}}{\textrm {sinh(hypotenuse)}}}={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,}$

• El coseno del ángulo A es la tangente hiperbólica del cateto adyacente dividida por la tangente hiperbólica de la hipotenusa.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {tanh(adjacent)}}{\textrm {tanh(hypotenuse)}}}={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,}$

• La tangente del ángulo A es la tangente hiperbólica del cateto opuesto dividida por el seno hiperbólico del cateto adyacente.

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {tanh(opposite)}}{\textrm {sinh(adjacent)}}}={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}}$.

• El coseno hiperbólico del cateto adyacente al ángulo A es el coseno del ángulo B dividido por el seno del ángulo A.

${\displaystyle {\textrm {cosh(adjacent)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}}$.

• El coseno hiperbólico de la hipotenusa es el producto de los cosenos hiperbólicos de los catetos.

${\displaystyle {\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\textrm {cosh(adjacent)}}{\textrm {cosh(opposite)}}}$.

• El coseno hiperbólico de la hipotenusa es también el producto de los cosenos de los ángulos dividido por el producto de sus senos . ^[4]

${\displaystyle {\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\cot A\cot B}$

Relaciones entre ángulos

También tenemos las siguientes ecuaciones: ^[5]

${\displaystyle \cos A=\cosh a\sin B}$

${\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\cosh b}}}$

${\displaystyle \tan A={\frac {\cot B}{\cosh c}}}$

${\displaystyle \cos B=\cosh b\sin A}$

${\displaystyle \cosh c=\cot A\cot B}$

Área

El área de un triángulo rectángulo es:

${\displaystyle {\textrm {Area}}={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B}$

también

${\displaystyle {\textrm {Area}}=2\arctan(\tanh({\frac {a}{2}})\tanh({\frac {b}{2}}))}$^{[ cita requerida ] [6]}

El área de cualquier otro triángulo es:

${\displaystyle {\textrm {Area}}={\pi }-\angle A-\angle B-\angle C}$

Angulo de paralelismo

La instancia de un triángulo omega con un ángulo recto proporciona la configuración para examinar el ángulo de paralelismo en el triángulo.

En este caso el ángulo B = 0, a = c = y , resultando en . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\textrm {tanh}}(\infty )=1}$ ${\displaystyle \cos A={\textrm {tanh(adjacent)}}}$

Triángulo equilátero

Las fórmulas trigonométricas de los triángulos rectángulos también dan las relaciones entre los lados s y los ángulos A de un triángulo equilátero (un triángulo donde todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos son iguales).

Las relaciones son:

${\displaystyle \cos A={\frac {{\textrm {tanh}}({\frac {1}{2}}s)}{{\textrm {tanh}}(s)}}}$

${\displaystyle \cosh({\frac {1}{2}}s)={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)}}}$

Trigonometría general

Independientemente de que C sea un ángulo recto o no, se cumplen las siguientes relaciones: La ley hiperbólica de los cosenos es la siguiente:

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,}$

Su teorema dual es

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,}$

También existe una ley de senos :

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}},}$

y una fórmula de cuatro partes:

${\displaystyle \cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B}$

que se deriva de la misma manera que la fórmula análoga en trigonometría esférica .

Véase también

• Par de pantalones (matemáticas)
• Grupo de triángulos

Para trigonometría hiperbólica:

• Angulo de paralelismo
• Ley hiperbólica de los cosenos
• Ley hiperbólica de los senos
• Cuadrilátero de Lambert
• Cuadrilátero de Saccheri

Referencias

1. Stothers, Wilson (2000), Geometría hiperbólica, Universidad de Glasgow, sitio web instructivo interactivo
2. Needham, Tristan (1998). Análisis complejo visual. Oxford University Press. pág. 270. ISBN 9780198534464.
3. Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 149. Springer. pág. 99. ISBN. 9780387331973Que el área de un triángulo hiperbólico es proporcional a su defecto angular apareció por primera vez en la monografía de Lambert Theorie der Parallellinien , que se publicó póstumamente en 1786.
4. Martin, George E. (1998). Fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano (4.ª edición impresa corregida). Nueva York, NY: Springer. pág. 433. ISBN 0-387-90694-0.
5. Smogorzhevski, AS Geometría lobachevskiana . Moscú 1982: Mir Publishers. p. 63.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
6. "Área de un triángulo hiperbólico rectángulo en función de las longitudes de los lados". Stack Exchange Mathematics . Consultado el 11 de octubre de 2015 .

Lectura adicional

• Svetlana Katok (1992) Grupos fucsianos , University of Chicago Press ISBN 0-226-42583-5