Transformación ortogonal

Operación de álgebra lineal

En álgebra lineal , una transformación ortogonal es una transformación lineal T  :  V  →  V en un espacio de producto interno real V , que preserva el producto interno . Es decir, para cada par u , v de elementos de  V , tenemos ^[1]

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Tu,Tv\rangle \,.}$

Dado que las longitudes de los vectores y los ángulos entre ellos se definen mediante el producto interno, las transformaciones ortogonales conservan las longitudes de los vectores y los ángulos entre ellos. En particular, las transformaciones ortogonales asignan bases ortonormales a bases ortonormales.

Las transformaciones ortogonales son inyectivas : si entonces , por lo tanto , por lo tanto el núcleo de es trivial. ${\displaystyle Tv=0}$ ${\displaystyle 0=\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,v\rangle }$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle T}$

Las transformaciones ortogonales en el espacio euclidiano bidimensional o tridimensional son rotaciones rígidas , reflexiones o combinaciones de una rotación y una reflexión (también conocidas como rotaciones impropias ). Las reflexiones son transformaciones que invierten la dirección de adelante hacia atrás, ortogonal al plano del espejo, como lo hacen los espejos (del mundo real). Las matrices correspondientes a rotaciones propias (sin reflexión) tienen un determinante de +1. Las transformaciones con reflexión se representan mediante matrices con un determinante de −1. Esto permite que el concepto de rotación y reflexión se generalice a dimensiones superiores.

En espacios de dimensión finita, la representación matricial (con respecto a una base ortonormal ) de una transformación ortogonal es una matriz ortogonal . Sus filas son vectores mutuamente ortogonales con norma unitaria, de modo que las filas constituyen una base ortonormal de  V. Las columnas de la matriz forman otra base ortonormal de  V.

Si una transformación ortogonal es invertible (lo que siempre es el caso cuando V es de dimensión finita), entonces su inversa es otra transformación ortogonal idéntica a la transpuesta de : . ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}=T^{\mathtt {T}}}$

Ejemplos

Consideremos el espacio de producto interno con el producto interno euclidiano estándar y la base estándar. Luego, la transformación matricial ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

es ortogonal. Para ver esto, considere

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}&&Te_{2}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle Te_{1},Te_{1}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0\\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end{aligned}}}$

El ejemplo anterior se puede ampliar para construir todas las transformaciones ortogonales. Por ejemplo, las siguientes matrices definen transformaciones ortogonales en : ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$

Véase también

• Rotación incorrecta
• Transformación lineal
• Matriz ortogonal
• Transformación unitaria

Referencias

1. Rowland, Todd. "Transformación ortogonal". MathWorld . Consultado el 4 de mayo de 2012 .