Teoría del impulso del elemento de pala

La teoría del impulso del elemento de pala es una teoría que combina tanto la teoría del elemento de pala como la teoría del impulso . Se utiliza para calcular las fuerzas locales sobre una hélice o una pala de turbina eólica. La teoría de los elementos de las palas se combina con la teoría del momento para aliviar algunas de las dificultades en el cálculo de las velocidades inducidas en el rotor.

Este artículo enfatiza la aplicación de la teoría de los elementos de las palas a las turbinas eólicas terrestres, pero los principios también se aplican a las hélices. Mientras que una hélice reduce el área del tubo de corriente, una turbina eólica la amplía. Para cualquiera de las aplicaciones, una aproximación muy simplificada pero útil es el modelo de "impulso" o "disco actuador" de Rankine - Froude (1865, ^[1] 1889 ^[2] ). Este artículo explica la aplicación del "límite de Betz" a la eficiencia de una turbina eólica terrestre.

La teoría de los elementos de pala de Froude (1878) ^[3] es un proceso matemático para determinar el comportamiento de las hélices , posteriormente refinado por Glauert (1926). Betz (1921) proporcionó una corrección aproximada a la teoría del impulso del "disco-actuador de Rankine-Froude" ^[4] para tener en cuenta la rotación repentina impartida al flujo por el disco del actuador (NACA TN 83, "The Theory of the Screw Propeller" y NACA TM 491, "Problemas de la hélice"). En la teoría del momento del elemento de pala, el momento angular se incluye en el modelo, lo que significa que la estela (el aire después de la interacción con el rotor) tiene momento angular. Es decir, el aire comienza a girar alrededor del eje z inmediatamente después de la interacción con el rotor (ver diagrama a continuación). Se debe tener en cuenta el momento angular ya que el rotor, que es el dispositivo que extrae la energía del viento, está girando como resultado de la interacción con el viento.

Modelo de Rankine-Froude

El "límite de Betz", que aún no aprovecha la contribución de Betz para tener en cuenta el flujo rotacional con énfasis en las hélices, aplica la teoría del " disco actuador " de Rankine-Froude para obtener la máxima eficiencia de una turbina eólica estacionaria. El siguiente análisis está restringido al movimiento axial del aire:

En nuestro tubo de corriente tenemos fluido que fluye de izquierda a derecha y un disco actuador que representa el rotor. Supondremos que el rotor es infinitamente delgado. ^[5] Desde arriba, podemos ver que al inicio del tubo de corriente, el flujo de fluido es normal al disco actuador. El fluido interactúa con el rotor, transfiriendo así energía del fluido al rotor. Luego, el fluido continúa fluyendo aguas abajo. Por lo tanto, podemos dividir nuestro sistema/streamtube en dos secciones: disco preacuador y disco postactuador. Antes de la interacción con el rotor, la energía total en el fluido es constante. Además, después de interactuar con el rotor, la energía total en el fluido es constante.

La ecuación de Bernoulli describe las diferentes formas de energía que están presentes en el flujo de fluido donde la energía neta es constante, es decir, cuando un fluido no transfiere energía a alguna otra entidad como un rotor. La energía se compone de presión estática , energía potencial gravitacional y energía cinética . Matemáticamente tenemos la siguiente expresión:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+P+\rho gh={\text{const.}}}$

donde es la densidad del fluido, es la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente, es la energía de presión estática, es la aceleración debida a la gravedad y es la altura sobre el suelo. Para los propósitos de este análisis, asumiremos que la energía potencial gravitacional no cambia durante el flujo de fluido de izquierda a derecha, de modo que tenemos lo siguiente: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+P=\mathrm {const.} }$

Por lo tanto, si tenemos dos puntos en una línea de corriente, el punto 1 y el punto 2, y en el punto 1 la velocidad del fluido a lo largo de la línea de corriente es y la presión en 1 es y en el punto 2 la velocidad del fluido a lo largo de la línea de corriente es y la presión en 2 es , y no se ha extraído energía del fluido entre los puntos 1 y 2, entonces tenemos la siguiente expresión: ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}+P_{1}={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}+P_{2}}$

Ahora volvamos a nuestro diagrama inicial. Considere el flujo previo al actuador. Muy aguas arriba, la velocidad del fluido es ; Luego, la velocidad del fluido disminuye y la presión aumenta a medida que se acerca al rotor. ^[4] De acuerdo con la conservación de masa, el caudal másico a través del rotor debe ser constante. El caudal másico, , a través de una superficie de área viene dado por la siguiente expresión: ${\displaystyle v_{\infty }}$ ${\displaystyle {\dot {m}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho Av}$

donde es la densidad y es la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente. Por lo tanto, si el caudal másico es constante, los aumentos en el área deben resultar en disminuciones en la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente. Esto significa que la energía cinética del fluido está disminuyendo. Si el flujo se expande pero no transfiere energía, entonces se aplica Bernoulli. Así, la reducción de la energía cinética se contrarresta con un aumento de la energía de presión estática. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$

Entonces tenemos la siguiente situación antes del rotor: muy aguas arriba, la presión del fluido es la misma que la atmosférica ; Justo antes de la interacción con el rotor, la presión del fluido aumentó y, por lo tanto, la energía cinética disminuyó. Esto se puede describir matemáticamente usando la ecuación de Bernoulli: ${\displaystyle P_{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v_{\infty }^{2}+P_{\infty }={\frac {1}{2}}\rho \left(v_{\infty }(1-a)\right)^{2}+P_{D+}}$

donde hemos escrito la velocidad del fluido en el rotor como , donde es el factor de inducción axial. La presión del fluido en el lado aguas arriba del disco actuador es . Estamos tratando el rotor como un disco actuador que es infinitamente delgado. Por lo tanto, asumiremos que no hay cambios en la velocidad del fluido a través del disco actuador. Dado que se ha extraído energía del fluido, la presión debe haber disminuido. ${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle P_{D+}}$

Ahora considere el post-rotor: inmediatamente después de interactuar con el rotor, la velocidad del fluido sigue siendo , pero la presión ha caído a un valor ; aguas abajo, la presión del fluido ha alcanzado el equilibrio con la atmósfera; Esto se ha logrado en el proceso natural y dinámicamente lento de disminuir la velocidad del flujo en el tubo de corriente para mantener el equilibrio dinámico (es decir, muy aguas abajo). Suponiendo que no haya más transferencia de energía, podemos aplicar Bernoulli para aguas abajo: ${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$ ${\displaystyle P_{D-}}$ ${\displaystyle P\rightarrow P_{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho \left(v_{\infty }(1-a)\right)^{2}+P_{D-}={\frac {1}{2}}\rho v_{w}^{2}+P_{\infty }}$

dónde

${\displaystyle v_{w}=}$La velocidad mucho más abajo en la Estela

Así podemos obtener una expresión para la diferencia de presión entre delante y detrás del rotor:

${\displaystyle P_{D+}-P_{D-}={\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }^{2}-v_{w}^{2})}$

Si tenemos una diferencia de presión en el área del disco del actuador, hay una fuerza que actúa sobre el disco del actuador, que se puede determinar a partir de : ${\displaystyle F=\Delta PA}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }^{2}-v_{w}^{2})A_{D}}$

donde es el área del disco actuador. Si el rotor es lo único que absorbe energía del fluido, la tasa de cambio en el momento axial del fluido es la fuerza que actúa sobre el rotor. La tasa de cambio del momento axial se puede expresar como la diferencia entre las velocidades axiales inicial y final del fluido, multiplicada por el caudal másico: ${\displaystyle A_{D}}$

${\displaystyle F={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\dot {m}}(v_{\infty }-v_{w})=\rho A_{D}v_{D}(v_{\infty }-v_{w})=\rho A_{D}(1-a)v_{\infty }(v_{\infty }-v_{w})}$

Así podemos llegar a una expresión para la velocidad del fluido aguas abajo:

${\displaystyle v_{w}=(1-2a)v_{\infty }}$

Esta fuerza actúa en el rotor. La potencia extraída del fluido es la fuerza que actúa sobre el fluido multiplicada por la velocidad del fluido en el punto de extracción de potencia:

${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}=Fv_{D}=2a(1-a)^{2}v_{\infty }^{3}\rho A_{D}}$

Poder maximo

Supongamos que estamos interesados ​​en encontrar la potencia máxima que se puede extraer del fluido. La potencia en el fluido viene dada por la siguiente expresión:

${\displaystyle \mathrm {Power} ={\frac {1}{2}}\rho Av^{3}}$

donde es la densidad del fluido como antes, es la velocidad del fluido y es el área de una superficie imaginaria a través de la cual fluye el fluido. La potencia extraída del fluido por un rotor en el escenario descrito anteriormente es una fracción de esta expresión de potencia. Llamaremos a la fracción coeficiente de potencia, . Así, la potencia extraída, viene dada por la siguiente expresión: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}}$

${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}=\mathrm {Power} \times C_{p}}$

Nuestra pregunta es la siguiente: ¿cuál es el valor máximo de utilizar el modelo Betz? ${\displaystyle C_{p}}$

Volvamos a nuestra expresión derivada para la potencia transferida del fluido al rotor ( ). Podemos ver que la potencia extraída depende del factor de inducción axial. Si diferenciamos con respecto a , obtenemos el siguiente resultado: ${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}}$ ${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathrm {Power} _{ext}}{\mathrm {d} a}}=2v_{\infty }^{3}\rho A_{D}\times \left((1-a)^{2}-2a(1-a)\right)}$

Si hemos maximizado nuestra extracción de energía, podemos establecer lo anterior en cero. Esto nos permite determinar el valor del cual se obtiene la máxima extracción de energía. Este valor es un . Así podemos encontrar eso . En otras palabras, el rotor no puede extraer más del 59 por ciento de la potencia del fluido. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle C_{P~max}=16/27}$

Teoría del impulso del elemento de pala

En comparación con el modelo de Rankine-Froude, la teoría del momento del elemento Blade explica el momento angular del rotor. Considere el lado izquierdo de la siguiente figura. Tenemos un streamtube, en el que se encuentra el fluido y el rotor. Asumiremos que no existe interacción entre el contenido del streamtube y todo lo que está fuera de él. Es decir, estamos ante un sistema aislado. En física, los sistemas aislados deben obedecer leyes de conservación. Un ejemplo de ello es la conservación del momento angular. Por tanto, se debe conservar el momento angular dentro del tubo de corriente. En consecuencia, si el rotor adquiere momento angular a través de su interacción con el fluido, algo más debe adquirir momento angular igual y opuesto. Como ya se mencionó, el sistema consta únicamente del fluido y el rotor; el fluido debe adquirir un momento angular a raíz de ello. Como relacionamos el cambio en el momento axial con algún factor de inducción , relacionaremos el cambio en el momento angular del fluido con el factor de inducción tangencial . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'}$

Considere la siguiente configuración. ^[5]

Dividiremos el área del rotor en anillos anulares de espesor infinitamente pequeño. Hacemos esto para poder suponer que los factores de inducción axial y los factores de inducción tangenciales son constantes en todo el anillo anular. Una suposición de este enfoque es que los anillos anulares son independientes entre sí, es decir, no hay interacción entre los fluidos de los anillos anulares vecinos.

Bernoulli para estela giratoria

Volvamos ahora a Bernoulli:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}+P_{1}={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}+P_{2}}$

La velocidad es la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente. Es posible que la línea de corriente no necesariamente sea paralela a un eje de coordenadas particular, como el eje z. Por tanto, la velocidad puede consistir en componentes en los ejes que forman el sistema de coordenadas. Para este análisis, utilizaremos coordenadas polares cilíndricas . De este modo . ${\displaystyle (r,~\theta ,~z)}$ ${\displaystyle v^{2}=v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}}$

NOTA: De hecho, trabajaremos en coordenadas cilíndricas para todos los aspectos, por ejemplo ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+F_{\theta }{\hat {\theta }}+F_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

Ahora considere la configuración que se muestra arriba. Como antes, podemos dividir la configuración en dos componentes: ascendente y descendente.

Pre-rotor

${\displaystyle P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{u}^{2}=P_{D+}+{\frac {1}{2}}\rho v_{D}^{2}}$

donde es la velocidad del fluido a lo largo de una línea de corriente muy arriba y es la velocidad del fluido justo antes del rotor. Escrita en coordenadas polares cilíndricas, tenemos la siguiente expresión: ${\displaystyle v_{u}}$ ${\displaystyle v_{D}}$

${\displaystyle P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{\infty }^{2}=P_{D+}+{\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }(1-a))^{2}}$

donde y son las componentes z de la velocidad aguas arriba y justo antes del rotor, respectivamente. Esto es exactamente lo mismo que la ecuación anterior del modelo de Betz. ${\displaystyle v_{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$

Como se puede ver en la figura anterior, el flujo se expande a medida que se acerca al rotor, consecuencia del aumento de la presión estática y la conservación de la masa. Esto implicaría eso aguas arriba. Sin embargo, a los efectos de este análisis, se despreciará ese efecto. ${\displaystyle v_{r}\neq 0}$

Post-rotor

${\displaystyle P_{D-}+{\frac {1}{2}}\rho v_{D}^{2}=P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{w}^{2}}$

¿Dónde es la velocidad del fluido justo después de interactuar con el rotor? Esto se puede escribir como . La componente radial de la velocidad será cero; esto debe ser cierto si vamos a utilizar el método del anillo anular; suponer lo contrario sugeriría interferencia entre anillos anulares en algún punto aguas abajo. Como suponemos que no hay cambio en la velocidad axial a través del disco , El momento angular debe conservarse en un sistema aislado. Por tanto, la rotación de la estela no debe desaparecer. Así en el tramo aguas abajo es constante. Así, Bernoulli simplifica en la sección aguas abajo: ${\displaystyle v_{D}}$ ${\displaystyle v_{D}^{2}=v_{D,~r}^{2}+v_{D,~\theta }^{2}+v_{D,~z}^{2}}$ ${\displaystyle v_{D,~z}=(1-a)v_{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\theta }}$

${\displaystyle P_{D-}+{\frac {1}{2}}\rho v_{D,~z}^{2}=P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{w,~z}^{2}=P_{D-}+{\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }(1-a))^{2}}$

En otras palabras, las ecuaciones de Bernoulli aguas arriba y aguas abajo del rotor son las mismas que las expresiones de Bernoulli en el modelo de Betz. Por lo tanto, podemos utilizar resultados como la extracción de potencia y la velocidad de estela que se derivaron en el modelo de Betz, es decir

${\displaystyle v_{w,z}=(1-2a)v_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {Power} =2a(1-a)^{2}v_{\infty }^{3}\rho A_{D}}$

Esto nos permite calcular la extracción máxima de energía para un sistema que incluye una estela giratoria. Se puede demostrar que esto da el mismo valor que el del modelo Betz, es decir, 0,59. Este método implica reconocer que el par generado en el rotor viene dado por la siguiente expresión:

${\displaystyle \delta \mathbf {Q} =2\pi r\delta r\times \rho U_{\infty }(1-a)\times 2a'r\omega }$

con los términos necesarios definidos inmediatamente a continuación.

Fuerzas de la cuchilla

Considere el flujo de fluido alrededor de un perfil aerodinámico. El flujo del fluido alrededor del perfil aerodinámico da lugar a fuerzas de sustentación y arrastre. Por definición, la sustentación es la fuerza que actúa sobre el perfil aerodinámico normal a la velocidad aparente del flujo de fluido vista por el perfil aerodinámico. La resistencia son las fuerzas que actúan tangencialmente a la velocidad aparente del flujo de fluido vista por el perfil aerodinámico. ¿Qué entendemos por velocidad aparente? Considere el siguiente diagrama:

La velocidad vista por la pala del rotor depende de tres cosas: la velocidad axial del fluido ; la velocidad tangencial del fluido debida a la aceleración alrededor de un perfil aerodinámico ; y el propio movimiento del rotor . Es decir, la velocidad aparente del fluido se da como sigue: ${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$ ${\displaystyle a'\omega r}$ ${\displaystyle \omega r}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\omega r(1+a'){\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{\infty }(1-a){\hat {\mathbf {z} }}}$

Por tanto, la velocidad aparente del viento es sólo la magnitud de este vector, es decir:

${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=(\omega r(1+a'))^{2}+(v_{\infty }(1-a))^{2}=W^{2}}$

También podemos calcular el ángulo a partir de la figura anterior: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \sin \phi ={\frac {v_{\infty }(1-a)}{W}}}$

Suponiendo que conocemos el ángulo , podemos calcularlo simplemente usando la relación ; Luego podemos calcular el coeficiente de sustentación , y el coeficiente de resistencia , a partir de los cuales podemos calcular las fuerzas de sustentación y resistencia que actúan sobre la pala. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =\phi -\beta }$ ${\displaystyle c_{L}}$ ${\displaystyle c_{D}}$

Consideremos el anillo anular, que está parcialmente ocupado por elementos de pala. La longitud de cada sección de pala que ocupa el anillo anular es (ver figura a continuación). ${\displaystyle \delta r}$

La sustentación que actúa sobre aquellas partes de las palas/alas aerodinámicas, cada una con cuerda, viene dada por la siguiente expresión: ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\rho NW^{2}c\times c_{L}(\alpha )\delta r}$

donde es el coeficiente de sustentación, que es función del ángulo de ataque, y es el número de palas. Además, la resistencia que actúa sobre esa parte de las palas/alas con cuerda viene dada por la siguiente expresión: ${\displaystyle c_{L}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \delta D={\frac {1}{2}}\rho NW^{2}c\times c_{D}(\alpha )\delta r}$

Recuerde que estas fuerzas calculadas son normales y tangenciales a la velocidad aparente. Nos interesan las fuerzas en los ejes y . Por lo tanto, debemos considerar el siguiente diagrama: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

Así podemos ver lo siguiente:

${\displaystyle \delta F_{\theta }=\delta L\sin \phi -\delta D\cos \phi }$

${\displaystyle \delta F_{z}=\delta L\cos \phi +\delta D\sin \phi }$

${\displaystyle F_{\theta }}$es la fuerza responsable de la rotación de las palas del rotor; es la fuerza que es responsable de la flexión de las palas. ${\displaystyle F_{z}}$

Recuerde que para un sistema aislado el momento angular neto del sistema se conserva. Si el rotor adquirió momento angular, también debe hacerlo el fluido que lo sigue. Supongamos que el fluido que sigue adquiere una velocidad tangencial . Por tanto, el par en el aire está dado por ${\displaystyle v_{\theta }=2a'\omega r}$

${\displaystyle |\mathbf {\delta {Q}} |=\rho (2\pi r\delta r)U_{\infty }(1-a)\times (2\Omega a'r^{2})}$

Mediante la conservación del momento angular, este equilibra el par en las palas del rotor; de este modo,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho W^{2}Nc(c_{l}\sin \phi -c_{d}\cos \phi )r\delta r=\rho (2\pi r\delta r)U_{\infty }(1-a)\times (2\Omega a'r^{2})}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}W^{2}Nc(c_{l}\sin \phi -c_{d}\cos \phi )=4\pi U_{\infty }(1-a)\times \Omega a'r^{2}}$

Además, la tasa de cambio del momento lineal en el aire se equilibra con la fuerza de flexión fuera del plano que actúa sobre las palas . Según la teoría del momento, la tasa de cambio del momento lineal en el aire es la siguiente: ${\displaystyle \delta F_{z}}$

${\displaystyle \delta F_{z}=\rho (2\pi r\delta r)U_{\infty }(1-a)\times (v_{\infty }-v_{w})}$

que puede expresarse como

${\displaystyle \delta F_{z}=\rho (4\pi r\delta r)U_{\infty }^{2}a(1-a)}$

Equilibrar esto con la fuerza de flexión fuera del plano da

${\displaystyle {\frac {1}{2}}W^{2}Nc(c_{l}\cos \phi +c_{d}\sin \phi )=\rho (4\pi r\delta r)U_{\infty }^{2}a(1-a)}$

Hagamos ahora las siguientes definiciones:

${\displaystyle C_{y}=c_{l}\sin \phi -c_{d}\cos \phi }$

${\displaystyle C_{x}=c_{l}\cos \phi +c_{d}\sin \phi }$

Entonces tenemos las siguientes ecuaciones:

Hagamos referencia a la siguiente ecuación que se puede ver al analizar la figura anterior:

Así, con estas tres ecuaciones, es posible obtener el siguiente resultado mediante alguna manipulación algebraica: ^[5]

${\displaystyle {\frac {a}{1-a}}={\frac {C_{x}\sigma _{r}}{4\sin ^{2}\phi }}}$

Podemos derivar una expresión para de manera similar. Esto nos permite entender qué está pasando con el rotor y el fluido. Luego, las ecuaciones de este tipo se resuelven mediante técnicas iterativas. ${\displaystyle a'}$

Supuestos y posibles inconvenientes de los modelos BEM

• Supone que cada anillo anular es independiente de todos los demás anillos anulares. ^[6]
• No tiene en cuenta la expansión de la estela.
• No tiene en cuenta las pérdidas de propinas , aunque se pueden incluir factores de corrección. ^[7]
• No tiene en cuenta la guiñada , aunque se puede hacer que lo haga.
• Basado en flujo estacionario (no turbulento).

Referencias

1. Rankine, William (6 de abril de 1865). "Sobre los principios mecánicos de la acción de las hélices". Transacciones de la Real Institución de Arquitectos Navales . 6 : 13 - vía Hathi Trust.
2. Froude, Robert (12 de abril de 1889). "Sobre el papel que desempeñan en la propulsión las diferencias en la presión del fluido". Transacciones de la Real Institución de Arquitectos Navales . 30 : 390 - vía Hathi Trust.
3. Froude, William (11 de abril de 1878). "La relación elemental entre cabeceo, deslizamiento y eficiencia propulsiva". Inst. Arquitectos Navales . 19 : 47 - vía Hathi Trust.
4. Wilson, Robert E.; Lissaman, Peter BS (1974). "Aerodinámica aplicada a las máquinas de energía eólica". Informe técnico de Sti/Recon de la NASA N. 75 : 22669. Código bibliográfico : 1974STIN...7522669W.
5. Manual de energía eólica abc: Burton, Jenkins
6. http://www.stanford.edu/~eena/windpower07.pdf ^{[ enlace muerto permanente ]}
7. Buhl, ML Jr. (1 de agosto de 2005). "Nueva relación empírica entre el coeficiente de empuje y el factor de inducción para el estado turbulento del molino de viento": NREL/TP–500–36834, 15016819. doi :10.2172/15016819. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )