Teoría de campos de Toda

Teoría cuántica de campos especiales

En matemáticas y física , específicamente en el estudio de la teoría de campos y ecuaciones diferenciales parciales , una teoría de campos de Toda , llamada así en honor a Morikazu Toda , se especifica mediante una elección de álgebra de Lie y un lagrangiano específico . ^[1]

Formulación

Fijando el álgebra de Lie para que tenga rango , es decir, el subálgebra de Cartan del álgebra tiene dimensión , el lagrangiano se puede escribir ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left\langle \partial _{\mu }\phi ,\partial ^{\mu }\phi \right\rangle -{\frac {m^{2}}{\beta ^{2}}}\sum _{i=1}^{r}n_{i}\exp(\beta \langle \alpha _{i},\phi \rangle ).}$$

El espacio-tiempo de fondo es un espacio de Minkowski bidimensional , con coordenadas espaciales y temporales . Los índices griegos indican las coordenadas del espacio-tiempo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Para algunas opciones de base de raíz, es la raíz simple . Esto proporciona una base para la subálgebra de Cartan, lo que permite identificarla con . ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}}$

Entonces, el contenido del campo es una colección de campos escalares , que son escalares en el sentido de que se transforman trivialmente bajo las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo subyacente. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

El producto interno es la restricción de la forma Killing a la subálgebra de Cartan. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Son constantes enteras, conocidas como etiquetas Kac o etiquetas Dynkin . ${\displaystyle n_{i}}$

Las constantes físicas son la masa y la constante de acoplamiento . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \beta }$

Clasificación de las teorías de campo de Toda

Las teorías de campos de Toda se clasifican según su álgebra de Lie asociada.

Las teorías de campos de Toda suelen referirse a teorías con un álgebra de Lie finita. Si el álgebra de Lie es un álgebra de Lie afín , se denomina teoría de campos de Toda afín (después de eliminar el componente de φ que se desacopla). Si es hiperbólica , se denomina teoría de campos de Toda hiperbólica.

Las teorías de campos de Toda son modelos integrables y sus soluciones describen solitones .

Ejemplos

La teoría de campos de Liouville está asociada a la matriz A ₁ de Cartan , que corresponde al álgebra de Lie en la clasificación de las álgebras de Lie por matrices de Cartan. El álgebra tiene una única raíz simple. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

El modelo sinh-Gordon es la teoría de campo afín de Toda con la matriz de Cartan generalizada

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}}$

y un valor positivo para β después de proyectar un componente de φ que se desacopla.

El modelo seno-Gordon es el modelo con la misma matriz de Cartan pero un β imaginario. Esta matriz de Cartan corresponde al álgebra de Lie . Esta tiene una sola raíz simple y etiqueta de Coxeter , pero el lagrangiano se modifica para la teoría afín: también hay una raíz afín y una etiqueta de Coxeter . Se puede expandir como , pero para la raíz afín , entonces el componente se desacopla. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=1}$ ${\displaystyle n_{1}=1}$ ${\displaystyle \alpha _{0}=-1}$ ${\displaystyle n_{0}=1}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{0}\alpha _{0}+\phi _{1}\alpha _{1}}$ ${\displaystyle \langle \alpha _{0},\alpha _{0}\rangle =0}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$

La suma es Entonces si es puramente imaginaria, con real y, sin pérdida de generalidad, positiva, entonces ésta es . El lagrangiano es entonces que es el lagrangiano seno-Gordon. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{1}n_{i}\exp(\beta \alpha _{i}\phi )=\exp(\beta \phi )+\exp(-\beta \phi ).}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta =ib}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2\cos(b\phi )}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi +{\frac {2m^{2}}{b^{2}}}\cos(b\phi ),}$$

Referencias

1. Korff, Christian (1 de septiembre de 2000). "Estructuras algebraicas de Lie en modelos integrables, teoría de campos afín de Toda". arXiv : hep-th/0008200 .

• Mussardo, Giuseppe (2009), Teoría estadística de campos: una introducción a los modelos resueltos con exactitud en física estadística , Oxford University Press, ISBN 978-0-199-54758-6