Superficie de la subdivisión Catmull–Clark

Técnica en gráficos por ordenador en 3D

Subdivisión de nivel 3 de Catmull–Clark de un cubo con la superficie de subdivisión límite que se muestra a continuación. (Tenga en cuenta que, aunque parece que la interpolación bicúbica se aproxima a una esfera , una esfera real es cuádrica ).

Diferencia visual entre la esfera (verde) y la superficie de subdivisión Catmull-Clark (magenta) de un cubo

El algoritmo Catmull–Clark es una técnica utilizada en gráficos por computadora en 3D para crear superficies curvas mediante el uso de modelado de superficies por subdivisión . Fue ideado por Edwin Catmull y Jim Clark en 1978 como una generalización de superficies B-spline uniformes bicúbicas a una topología arbitraria . ^[1]

En 2005/06, Edwin Catmull, junto con Tony DeRose y Jos Stam , recibieron un premio de la Academia por logros técnicos por su invención y aplicación de superficies de subdivisión. DeRose escribió sobre "interpolación eficiente y justa" y animación de personajes. Stam describió una técnica para una evaluación directa de la superficie límite sin recursión.

Evaluación recursiva

Las superficies Catmull-Clark se definen de forma recursiva , utilizando el siguiente esquema de refinamiento. ^[1]

Comience con una malla de un poliedro arbitrario . Todos los vértices de esta malla se denominarán puntos originales .

• Para cada cara, agregue un punto de cara.
  • Establezca cada punto de la cara como el promedio de todos los puntos originales de la cara respectiva.

    

    Puntos faciales (esferas azules)

• Para cada borde, agregue un punto de borde .
  • Establezca cada punto del borde como el promedio de los dos puntos de la cara vecinos (A, F) y los dos puntos finales del borde (M, E) ^[2] ${\displaystyle {\frac {A+F+M+E}{4}}}$

    

    Puntos de borde (cubos magenta)

• Para cada punto original ( P) , tome el promedio ( F) de todos los n puntos de cara (recientemente creados) para las caras que tocan P , y tome el promedio (R) de todos los n puntos medios de arista para las aristas originales que tocan P , donde cada punto medio de arista es el promedio de sus dos vértices de punto final (no debe confundirse con los nuevos puntos de arista anteriores). (Observe que desde la perspectiva de un vértice P , la cantidad de aristas vecinas a P es también la cantidad de caras adyacentes, por lo tanto, n )
  • Mueva cada punto original al nuevo punto de vértice (este es el baricentro de P , R y F con pesos respectivos ( n − 3), 2 y 1) ${\displaystyle {\frac {F+2R+(n-3)P}{n}}}$

    

    Nuevos puntos de vértice (conos verdes)

• Formar aristas y caras en la nueva malla
  • Conecte cada nuevo punto de la cara a los nuevos puntos de los bordes de todos los bordes originales que definen la cara original.

    

    Nuevos bordes, 4 por punto de cara

  • Conecte cada nuevo punto de vértice a los nuevos puntos de borde de todos los bordes originales incidentes en el vértice original.

    

    3 nuevos bordes por punto de vértice de los vértices originales desplazados

  • Definir nuevas caras como encerradas por bordes.

    

    Caras finales de la malla

Propiedades

La nueva malla estará formada únicamente por cuadriláteros , que en general no serán planos . La nueva malla tendrá un aspecto más "liso" (es decir, menos "irregular" o "puntiagudo") que la malla anterior. La subdivisión repetida da como resultado mallas cada vez más redondeadas.

Catmull y Clark eligieron la fórmula del baricentro de aspecto arbitrario basándose en la apariencia estética de las superficies resultantes en lugar de en una derivación matemática , aunque se esforzaron mucho para demostrar rigurosamente que el método converge a superficies B-spline bicúbicas. ^[1]

Se puede demostrar que la superficie límite obtenida mediante este proceso de refinamiento es al menos en los vértices extraordinarios y en todos los demás lugares (cuando n indica cuántas derivadas son continuas , hablamos de continuidad ). Después de una iteración, el número de puntos extraordinarios en la superficie permanece constante. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}}$

Evaluación exacta

La superficie límite de las superficies de subdivisión de Catmull–Clark también se puede evaluar directamente, sin ningún refinamiento recursivo. Esto se puede lograr mediante la técnica de Jos Stam (1998). ^[3] Este método reformula el proceso de refinamiento recursivo en un problema exponencial matricial , que se puede resolver directamente mediante diagonalización matricial .

Software que utiliza el algoritmo

• 3ds máx.
• Capa 3D
• AC3D
• Animación
• AutoCAD
• Licuadora ^[4]
• Carrara
• CATIA (Imagina y da forma)
• CGAL
• Guepardo 3D
• Cine 4D
• Clara.io
• Creo (Estilo libre) ^[5]
• Estudio Daz, 2.0
• Edición comunitaria de DeleD
• Diseñador deleD
• Martillo
• Hexágono
• Houdini
• LightWave 3D, versión 9
• Hacer humano
• maya
• Metasequoia
• MODO
• Caja de barro
• Complemento Power Surfacing para SolidWorks
• OpenSubdiv de Pixar ^{[6] [7] [8] [9] [10]}
• Hombre de relaciones públicas
• Realsoft3D
• Remo 3D
• Sombra
• Complemento Rhinoceros 3D - Complemento Grasshopper 3D - Complemento Weaverbird
• Silo
• SketchUp : requiere un complemento.
• Softimage XSI
• Estratos 3D CX
• Alas 3D
• ZBrush es una aplicación que permite a los usuarios crear y editar textos de forma rápida y sencilla.

Véase también

• Notación de poliedro de Conway : un conjunto de operadores de malla poligonal y poliedro topológicos relacionados.
• Superficie de la subdivisión Doo-Sabin
• Superficie de subdivisión de bucle

Referencias

1. Catmull, E. ; Clark, J. (1978). "Superficies B-spline generadas recursivamente en mallas topológicas arbitrarias" (PDF) . Diseño asistido por computadora . 10 (6): 350. doi :10.1016/0010-4485(78)90110-0. S2CID  121149868.
2. "Superficie de la subdivisión Catmull–Clark - Código Rosetta". rosettacode.org . Consultado el 13 de enero de 2022 .
3. Stam, J. (1998). "Evaluación exacta de superficies de subdivisión de Catmull-Clark con valores de parámetros arbitrarios" (PDF) . Actas de la 25.ª conferencia anual sobre gráficos por ordenador y técnicas interactivas - SIGGRAPH '98. pp. 395–404. CiteSeerX 10.1.1.20.7798 . doi :10.1145/280814.280945. ISBN .  978-0-89791-999-9. Número de identificación del sujeto  2771758.
4. "Modificador de superficie de subdivisión". 15 de enero de 2020.
5. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 23 de noviembre de 2016. Consultado el 4 de diciembre de 2016 .{{cite web}}: CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
6. Manuel Kraemer (2014). "OpenSubdiv: Interoperabilidad de computación y dibujo en GPU". En Martin Watt; Erwin Coumans; George ElKoura; et al. (eds.). Multithreading para efectos visuales . CRC Press. págs. 163–199. ISBN 978-1-4822-4356-7.
7. Conoce a los expertos: Pixar Animation Studios, The OpenSubdiv Project. YouTube . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.
8. "OpenSubdiv V2 de Pixar: una mirada detallada". 18 de septiembre de 2013.
9. Medios audiovisuales gputechconf.com
10. Demostración de OpenSubdiv Blender. YouTube . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021.

Lectura adicional

• Derose, T.; Kass, M.; Truong, T. (1998). "Superficies de subdivisión en la animación de personajes" (PDF) . Actas de la 25.ª conferencia anual sobre gráficos por ordenador y técnicas interactivas - SIGGRAPH '98. pp. 85. CiteSeerX  10.1.1.679.1198 . doi :10.1145/280814.280826. ISBN . 978-0897919999.S2CID 1221330  .
• Loop, C.; Schaefer, S. (2008). "Aproximación de superficies de subdivisión de Catmull-Clark con parches bicúbicos" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 27 : 1–11. CiteSeerX  10.1.1.153.2047 . doi :10.1145/1330511.1330519. S2CID  6068564.
• Kovacs, D.; Mitchell, J.; Drone, S.; Zorin, D. (2010). "Superficies de subdivisión aproximadas con pliegues en tiempo real con desplazamientos" (PDF) . IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics . 16 (5): 742–51. doi :10.1109/TVCG.2010.31. PMID  20616390. S2CID  17138394.preimpresión
• Matthias Nießner, Charles Loop, Mark Meyer, Tony DeRose, "Representación de superficies de subdivisión Catmull-Clark con GPU adaptable a características", ACM Transactions on Graphics, volumen 31, número 1, enero de 2012, doi : 10.1145/2077341.2077347, demostración
• Nießner, Matthias; Loop, Charles; Greiner, Günther: Evaluación eficiente de pliegues semilisos en superficies de subdivisión Catmull-Clark: Eurographics 2012 Anexo: Artículos breves (Eurographics 2012, Cagliary). 2012, págs. 41–44.
• Wade Brainerd, Tessellation en Call of Duty: Ghosts también se presentó como tutorial de SIGGRAPH2014 [1]
• D. Doo y M. Sabin: Comportamiento de superficies de división recursiva cerca de puntos extraordinarios , Computer-Aided Design, 10 (6) 356–360 (1978), (doi, pdf)