Solución de Becker-Morduchow-Libby

La solución de Becker-Morduchow-Libby es una solución exacta de las ecuaciones compresibles de Navier-Stokes , que describe la estructura de las ondas de choque unidimensionales . La solución fue descubierta en forma restrictiva por Richard Becker en 1922, que fue generalizada por Morris Morduchow y Paul A. Libby en 1949. ^{[1] [2]} La solución también fue descubierta independientemente por M. Roy y LH Thomas en 1944 ^{[3] [4]} La solución mostró que hay una variación no monótona de la entropía a lo largo de la onda de choque. Antes de estos trabajos, Lord Rayleigh obtuvo soluciones en 1910 para fluidos con viscosidad pero sin conductividad térmica y para fluidos con conductividad térmica pero sin viscosidad. ^[5] Después de esto, en el mismo año GI Taylor resolvió todo el problema para ondas de choque débiles teniendo en cuenta tanto la viscosidad como la conductividad térmica. ^{[6] [7]}

Descripción matemática

En un marco fijo con una onda de choque plana, la onda de choque es constante. En este marco, las ecuaciones constantes de Navier-Stokes para un gas viscoso y conductor de calor se pueden escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(\rho u)&=0,\\\rho u{\frac {du}{dx}}+{\frac {dp}{dx}}-{\frac {4}{3}}{\frac {d}{dx}}\left(\mu '{\frac {du}{dx}}\right)&=0,\\\rho u{\frac {d\varepsilon }{dx}}+p{\frac {du}{dx}}-{\frac {d}{dx}}\left(\lambda {\frac {dT}{dx}}\right)-{\frac {4}{3}}\mu '\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}&=0,\end{aligned}}}$

donde es la densidad , es la velocidad , es la presión , es la energía interna por unidad de masa , es la temperatura , es un coeficiente de viscosidad efectivo , es el coeficiente de viscosidad , es la segunda viscosidad y es la conductividad térmica . A este conjunto de ecuaciones, hay que prescribir una ecuación de estado y una expresión para la energía en términos de dos variables termodinámicas cualesquiera, digamos . En lugar de , es conveniente trabajar con la entalpía específica ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu '=\mu +3\zeta /4}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f(p,\rho ,T)=0}$ ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (p,\rho )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle h=\varepsilon +p/\rho .}$

Denotemos las propiedades que pertenecen a la corriente anterior del choque con el subíndice " " y las que pertenecen a la corriente posterior con " ". La velocidad de la onda de choque en sí se denota por . La primera integral de las ecuaciones gobernantes, después de imponer la condición de que todos los gradientes se anulen en la corriente anterior, resulta ser ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle D=u_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}D,\\p+\rho u^{2}-{\frac {4}{3}}\mu '{\frac {du}{dx}}&=p_{0}+\rho _{0}D^{2},\\h+{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {1}{\rho _{0}D}}\left(\lambda {\frac {dT}{dx}}+{\frac {4}{3}}\mu 'u{\frac {du}{dx}}\right)&=h_{0}+{\frac {D^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$

Al evaluarlos en el lado de aguas abajo, donde todos los gradientes se desvanecen, se recuperan las conocidas condiciones de Rankine-Hugoniot , , y Una mayor integración de las ecuaciones anteriores requiere cálculos numéricos, excepto en un caso especial donde la integración se puede llevar a cabo analíticamente. ${\displaystyle \rho _{1}u_{1}=\rho _{0}D}$ ${\displaystyle p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=p_{0}+\rho _{0}D^{2}}$ ${\displaystyle h_{1}+u_{1}^{2}/2=h_{0}+D^{2}/2.}$

Solución analítica

Solución de Becker-Morduchow-Libby

Se deben hacer dos suposiciones para facilitar la integración explícita de la tercera ecuación. Primero, supongamos que el gas es ideal ( politrópico ya que asumiremos valores constantes para los calores específicos ) en cuyo caso la ecuación de estado es y además , donde es el calor específico a presión constante y es la relación de calores específicos . La tercera ecuación se convierte entonces en ${\displaystyle p/\rho T=c_{p}(\gamma -1)/\gamma }$ ${\displaystyle h=c_{p}T}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle h+{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {4\mu '}{3\rho _{0}D}}\left({\frac {3}{4Pr'}}{\frac {dh}{dx}}+{\frac {1}{2}}{\frac {du^{2}}{dx}}\right)=h_{0}+{\frac {D^{2}}{2}}}$

donde es el número de Prandtl basado en ; cuando , digamos como en los gases monoatómicos, este número de Prandtl es simplemente el número de Prandtl ordinario . La segunda suposición que se hace es que los términos dentro del paréntesis se convierten en una derivada total, es decir, . Esta es una aproximación razonablemente buena ya que en los gases normales, el número de Prandtl es aproximadamente igual a . Con esta aproximación e integrando una vez más imponiendo la condición de que esté acotado aguas abajo, encontramos ^[8] ${\displaystyle Pr'=\mu 'c_{p}/\lambda }$ ${\displaystyle \mu '}$ ${\displaystyle \zeta =0}$ ${\displaystyle Pr=\mu c_{p}/\lambda }$ ${\displaystyle Pr'=3/4}$ ${\displaystyle d(h+u^{2}/2)/dx}$ ${\displaystyle 0.72}$ ${\displaystyle h+u^{2}/2}$

${\displaystyle h+{\frac {u^{2}}{2}}=h_{0}+{\frac {D^{2}}{2}}.}$

Esta relación anterior indica que la cantidad se conserva en todas partes, no solo en el lado de aguas arriba y aguas abajo. Dado que para el gas politrópico , donde es el volumen específico y es la velocidad del sonido , la ecuación anterior proporciona la relación entre la razón y la razón de velocidad (o densidad o volumen específico) correspondiente ${\displaystyle h+u^{2}/2}$ ${\displaystyle h=c_{p}T=\gamma p\upsilon /(\gamma -1)=c^{2}/(\gamma -1)}$ ${\displaystyle \upsilon =1/\rho }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle p(x)/p_{0}}$

${\displaystyle \eta (x)={\frac {u}{D}}={\frac {\rho _{0}}{\rho }}={\frac {\upsilon }{\upsilon _{0}}}}$,

es decir, ^[8]

${\displaystyle {\frac {p}{p_{0}}}={\frac {1}{\eta }}\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}(1-\eta ^{2})\right]={\frac {\eta _{1}(\gamma +1)/(\gamma -1)-\eta ^{2}}{[\eta _{1}(\gamma +1)/(\gamma -1)-1]\eta }},\quad \eta _{1}={\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}+{\frac {2}{(\gamma +1)M_{0}^{2}}},}$

donde es el número de Mach de la onda con respecto a la corriente ascendente y . Combinando esto con las integrales de momento y continuidad, obtenemos la ecuación para la siguiente ${\displaystyle M_{0}=D/c_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{1}=u_{1}/D=\rho _{0}/\rho _{1}=\upsilon _{1}/\upsilon _{0}}$ ${\displaystyle \eta (x)}$

${\displaystyle {\frac {8\gamma }{3(\gamma +1)}}{\frac {\mu '}{\rho _{0}D}}\eta {\frac {d\eta }{dx}}=-(1-\eta )(\eta -\eta _{1}).}$

Podemos introducir la coordenada ponderada por viscosidad recíproca ^[9]

${\displaystyle \xi ={\frac {3(\gamma +1)}{8\gamma }}\rho _{0}D\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\mu '(t)}}}$

donde , para que ${\displaystyle \mu '(x)=\mu '[T(x)]}$

${\displaystyle \eta {\frac {d\eta }{d\xi }}=-(1-\eta )(\eta -\eta _{1}).}$

La ecuación muestra claramente la invariancia de la traslación en la dirección , que se puede fijar, por ejemplo, fijando el origen en la ubicación donde se alcanza el valor intermedio. Utilizando esta última condición, se encuentra que la solución de esta ecuación es ^[8]. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (\eta _{1}+1)/2}$

${\displaystyle {\frac {1-\eta }{(\eta -\eta _{1})^{\eta _{1}}}}=\left({\frac {1-\eta _{1}}{2}}\right)^{1-\eta _{1}}e^{(1-\eta _{1})\xi }.}$

Como (o, ), tenemos y como (o, ), tenemos Esto termina la búsqueda de la solución analítica. A partir de aquí, se pueden evaluar otras variables termodinámicas de interés. Por ejemplo, la relación de temperaturas se encuentra fácilmente dada por ${\displaystyle \xi \to -\infty }$ ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle \eta \to 1}$ ${\displaystyle \xi \to +\infty }$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle \eta \to \eta _{1}.}$ ${\displaystyle T/T_{0}}$

${\displaystyle {\frac {T}{T_{0}}}=1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{0}^{2}(1-\eta ^{2})}$

y la entropía específica , por ${\displaystyle s=c_{p}\ln(p^{1/\gamma }/\rho )=c_{p}\{\ln(p/\rho )-[(\gamma -1)/\gamma ]\ln p\}}$

${\displaystyle {\frac {s-s_{0}}{c_{p}}}=\ln {\frac {T}{T_{0}}}-{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\ln {\frac {p}{p_{0}}}.}$

La solución analítica se representa gráficamente en la figura para y . La característica notable es que la entropía no aumenta monótonamente a lo largo de la onda de choque, sino que aumenta hasta un valor mayor y luego disminuye hasta una constante detrás de la onda de choque. Tal escenario es posible debido a la conducción de calor, como se hará evidente al observar la ecuación de entropía que se obtiene a partir de la ecuación de energía original al sustituir la relación termodinámica , es decir, ${\displaystyle \gamma =1.4}$ ${\displaystyle M_{0}=2}$ ${\displaystyle Tds=d\varepsilon +pd\upsilon =dh-\rho ^{-1}dp}$

${\displaystyle \rho uT{\frac {ds}{dx}}={\frac {4}{3}}\mu '\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}+{\frac {d}{dx}}\left(\lambda {\frac {dT}{dx}}\right).}$

Si bien la disipación viscosa asociada con el término siempre aumenta la entropía, la conducción de calor aumenta la entropía en las capas más frías donde , mientras que disminuye la entropía en las capas más calientes donde . ${\displaystyle (du/dx)^{2}}$ ${\displaystyle d(\lambda dT/dx)/dx>0}$ ${\displaystyle d(\lambda dT/dx)/dx<0}$

La solución de Taylor: ondas de choque débiles

Cuando , la solución analítica es posible solo en el límite de onda de choque débil, como lo demostró por primera vez GI Taylor en 1910. ^[6] En el límite de onda de choque débil, todos los términos como , etc., serán pequeños. El espesor de la onda de choque es del orden tal que la diferenciación con respecto a aumenta la pequeñez del orden en uno; p. ej. es una cantidad pequeña de segundo orden. Sin entrar en detalles y tratando el gas como un gas genérico (no solo politrópico), se encuentra que la solución para está relacionada con la solución de onda viajera estacionaria de la ecuación de Burgers y está dada por ^[10] ${\displaystyle Pr'\neq 3/4}$ ${\displaystyle p-p_{0}}$ ${\displaystyle \rho -\rho _{0}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta \sim p_{1}-p_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle dp/dx}$ ${\displaystyle p(x)}$

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2}}(p_{1}+p_{0})+{\frac {1}{2}}(p_{1}-p_{0})\tanh {\frac {x}{\delta }}}$

dónde

${\displaystyle \delta ={\frac {8a\rho _{0}c_{0}^{4}}{(p_{1}-p_{0})\Gamma }},\quad a={\frac {\lambda _{0}}{2\rho _{0}c_{0}^{3}c_{p}}}\left({\frac {4}{3}}Pr'+\gamma -1\right),}$

donde es la derivada de Landau (para gas politrópico ) y es una constante que, cuando se multiplica por alguna frecuencia característica al cuadrado, proporciona el coeficiente de absorción acústica. ^[11] Se encuentra que la entropía específica es proporcional a y está dada por ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma =(\gamma +1)/2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (1/T)dp/dx}$

${\displaystyle {\frac {s(x)-s_{0}}{c_{p}}}={\frac {\lambda _{0}\Gamma }{8ac_{p}c_{0}T_{0}}}\left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{s_{0}}{\frac {(p_{1}-p_{0})^{2}}{\rho _{0}^{2}c_{0}^{4}}}{\frac {1}{\cosh ^{2}(x/\delta )}}.}$

Nótese que es una cantidad pequeña de segundo orden, aunque es una cantidad pequeña de tercer orden como se puede inferir de la expresión anterior que muestra que para ambos . Esto está permitido ya que , a diferencia de , pasa por un máximo dentro de la onda de choque. ${\displaystyle s(x)-s_{0}}$ ${\displaystyle s_{1}-s_{0}}$ ${\displaystyle s=s_{0}}$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$

Validez de la hipótesis del continuo: puesto que la velocidad térmica de las moléculas es del orden y la viscosidad cinemática es del orden , donde es el recorrido libre medio de las moléculas de gas,, tenemos ; una estimación basada en la conducción de calor da el mismo resultado. Combinando esto con la relación , se muestra que ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle lc}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a\sim l/c^{2}}$ ${\displaystyle p/\rho \sim c^{2}}$

${\displaystyle \delta \sim l,}$

es decir, el espesor de la onda de choque es del orden del recorrido libre medio de las moléculas. Sin embargo, en la hipótesis del continuo, el recorrido libre medio se considera cero. De ello se deduce que las ecuaciones del continuo por sí solas no pueden utilizarse estrictamente para describir la estructura interna de las ondas de choque fuertes; en el caso de las ondas de choque débiles, se pueden hacer lo más pequeñas posible para hacerlas grandes. ${\displaystyle p_{2}-p_{1}}$ ${\displaystyle \delta }$

La solución de Rayleigh

Se plantean aquí dos problemas que Lord Rayleigh consideró originalmente . ^[5]

Fluidos con conducción de calor y sin viscosidad ( P r ′ → 0 ) {\displaystyle (Pr'\to 0)}

El problema cuando se descuida la viscosidad pero se permite la conducción de calor es de gran interés en el contexto astrofísico debido a la presencia de otros mecanismos de intercambio de calor, como la transferencia de calor radiativo, la transferencia de calor de electrones en plasmas , etc. ^[8] El descuido de la viscosidad significa que las fuerzas viscosas en la ecuación de momento y la disipación viscosa en la ecuación de energía desaparecen. Por lo tanto, la primera integral de las ecuaciones gobernantes se da simplemente por

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}D,\\p+\rho u^{2}&=p_{0}+\rho _{0}D^{2},\\h+{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {\lambda }{\rho _{0}D}}{\frac {dT}{dx}}&=h_{0}+{\frac {D^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$

Todas las proporciones requeridas se pueden expresar en términos inmediatos, ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{p_{0}}}&=1+\gamma M_{0}^{2}(1-\eta ),\\{\frac {T}{T_{0}}}&=1+(1-\eta )(\gamma M_{0}^{2}\eta -1),\\{\frac {\lambda }{\rho _{0}D^{3}}}{\frac {dT}{dx}}&={\frac {1}{2}}{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}(1-\eta )(\eta -\eta _{1}).\end{aligned}}}$

Eliminando de las dos últimas ecuaciones se obtiene la ecuación , que se puede integrar. Resulta que no existe una solución continua para ondas de choque fuertes, precisamente cuando ^[8] ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle dT/dx=f(T)}$

${\displaystyle M_{0}^{2}>{\frac {3\gamma -1}{\gamma (3-\gamma )}};}$

porque esta condición se convierte ${\displaystyle \gamma =1.4}$ ${\displaystyle M_{0}>1.2.}$

Fluidos con viscosidad y sin conducción de calor ( P r ′ → ∞ ) {\displaystyle (Pr'\to \infty )}

Aquí se pueden encontrar soluciones continuas para todas las intensidades de onda de choque. Además, aquí la entropía aumenta monótonamente a lo largo de la onda de choque debido a la ausencia de conducción de calor. Aquí las primeras integrales están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho u&=\rho _{0}D,\\p+\rho u^{2}-{\frac {4}{3}}\mu '{\frac {du}{dx}}&=p_{0}+\rho _{0}D^{2},\\h+{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {4\mu '}{3\rho _{0}D}}u{\frac {du}{dx}}&=h_{0}+{\frac {D^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$

Se pueden eliminar los términos viscosos en las dos últimas ecuaciones y obtener una relación entre y . Sustituyendo esto en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos una ecuación para , que se puede integrar. ${\displaystyle p/p_{0}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (x)}$

Véase también

• Onda explosiva de Taylor-von Neumann-Sedov

Referencias

1. Becker, R. (1922). Stosswelle y detonación. Zeitschrift für Physik, 8(1), 321-362.
2. Morduchow, M., y Libby, PA (1949). Sobre una solución completa de las ecuaciones de flujo unidimensional de un gas viscoso, conductor de calor y compresible. Journal of the Aeronautical Sciences, 16(11), 674-684.
3. Roy, M., Compt. Desgarrar. Acad. Sei., 218, 813 (1944).
4. Thomas, L. H., Revista de química y física, 12, 449 (1944)
5. Rayleigh, L. (1910). Ondas aéreas planas de amplitud finita. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico, 84(570), 247-284.
6. Taylor, GI (1910). Las condiciones necesarias para el movimiento discontinuo en los gases. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático y físico, 84(571), 371-377.
7. Taylor, GI y Maccoll, JW (1935). Mecánica de fluidos compresibles. Durand, Teoría aerodinámica, 3.
8. Zel'Dovich, YB, & Raizer, YP (2002). Física de ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos de alta temperatura. Courier Corporation.
9. Weiss, AD, Vera, M., Liñán, A., Sánchez, AL, & Williams, FA (2018). Una nueva formulación para llamas de contraflujo inestables utilizando una coordenada ponderada por conductividad térmica. Teoría y modelado de la combustión, 22(1), 185-201.
10. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, volumen 6 (Vol. 6). Elsevier.
11. Clavin, P., y Searby, G. (2016). Ondas y frentes de combustión en flujos: llamas, choques, detonaciones, frentes de ablación y explosión de estrellas. Cambridge University Press.