Onda explosiva de Taylor-von Neumann-Sedov

Solución autosimilar que describe la dinámica de fluidos de las explosiones.

La onda expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov (o a veces denominada onda expansiva de Sedov-von Neumann-Taylor ) se refiere a una onda expansiva inducida por una fuerte explosión. La onda expansiva fue descrita de forma independiente mediante una solución autosimilar por GI Taylor , John von Neumann y Leonid Sedov durante la Segunda Guerra Mundial . ^{[1] [2]}

Historia

El Ministerio de Seguridad Interior británico dijo a GI Taylor que tal vez sería posible producir una bomba que liberaría una gran cantidad de energía mediante fisión nuclear y le pidió que informara sobre el efecto de tales armas. Taylor presentó sus resultados el 27 de junio de 1941. ^[3] Exactamente al mismo tiempo, en Estados Unidos , John von Neumann estaba trabajando en el mismo problema y presentó sus resultados el 30 de junio de 1941. ^[4] Se dijo que Leonid Sedov también estaba trabajando en el problema casi al mismo tiempo en la URSS , aunque Sedov nunca confirmó las fechas exactas. ^[5]

La solución completa fue publicada por primera vez por Sedov en 1946. ^[6] von Neumann publicó sus resultados en agosto de 1947 en el informe del laboratorio científico de Los Alamos sobre "Blast wave" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 1 de junio de 2022., aunque ese informe no se distribuyó hasta 1958. ^[7] Taylor obtuvo autorización para publicar sus resultados en 1949 y publicó sus trabajos en dos artículos en 1950. ^{[8] [9]} En el segundo artículo, Taylor calculó la energía de la bomba atómica utilizada en la Trinity (prueba nuclear) usando la similitud, simplemente mirando la serie de fotografías de ondas explosivas que tenían una escala de longitud y marcas de tiempo, publicadas por Julian E Mack en 1947. ^[10] Este cálculo de energía provocó, En palabras del propio Taylor, "mucha vergüenza" (según Grigory Barenblatt ) en los círculos gubernamentales de EE.UU. ya que el número todavía estaba clasificado, aunque las fotografías publicadas por Mack no lo estaban. El biógrafo de Taylor, George Batchelor , escribe: Esta estimación del rendimiento de la primera explosión de la bomba atómica causó un gran revuelo... GI fue levemente amonestado por el ejército estadounidense por publicar sus deducciones a partir de sus fotografías (no clasificadas) . ^[11]

Descripción matemática

Considere una explosión fuerte (como las bombas nucleares) que libera una gran cantidad de energía en un volumen pequeño durante un breve intervalo de tiempo. Esto creará una fuerte onda de choque esférica que se propagará hacia afuera desde el centro de la explosión. La solución autosemejante intenta describir el flujo cuando la onda de choque se ha desplazado a una distancia extremadamente grande en comparación con el tamaño del explosivo. A estas grandes distancias, se olvidará la información sobre el tamaño y la duración de la explosión; sólo la energía liberada tendrá influencia en cómo evoluciona la onda de choque. Con un grado muy alto de precisión, entonces se puede suponer que la explosión ocurrió en un punto (digamos el origen ) instantáneamente en el tiempo . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle t=0}$

Se supone que la onda de choque en la región autosimilar sigue siendo muy fuerte, de modo que la presión detrás de la onda de choque es muy grande en comparación con la presión (presión atmosférica) delante de la onda de choque , lo que puede despreciarse en el análisis. . Aunque la presión del gas no perturbado es insignificante, la densidad del gas no perturbado no puede despreciarse ya que el salto de densidad a través de ondas de choque fuertes es finito como consecuencia directa de las condiciones de Rankine-Hugoniot . Esta aproximación equivale a establecer la velocidad del sonido correspondiente , pero manteniendo su densidad distinta de cero, es decir, . ^[12] ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle p_{0}=0}$ ${\displaystyle c_{0}=0}$ ${\displaystyle \rho _{0}\neq 0}$

Los únicos parámetros disponibles a nuestra disposición son la energía y la densidad del gas no perturbado . Las propiedades detrás de la onda de choque, como por ejemplo, se derivan de las que se encuentran delante de la onda de choque. La única combinación no dimensional disponible en y es ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle p_{1},\,\rho _{1}}$ ${\displaystyle r,\,t,\,\rho _{0}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle r\left({\frac {\rho _{0}}{Et^{2}}}\right)^{1/5}}$.

Es razonable suponer que la evolución en y de la onda de choque depende únicamente de la variable anterior. Esto significa que la ubicación de la onda de choque en sí corresponderá a un valor particular, digamos , de esta variable, es decir, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r=R(t)}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle R=\beta \left({\frac {Et^{2}}{\rho _{0}}}\right)^{1/5}.}$

El análisis detallado que sigue revelará, al final, que el factor está bastante cerca de la unidad, demostrando así (para este problema) la capacidad predictiva cuantitativa del análisis dimensional para determinar la ubicación de la onda de choque en función del tiempo. La velocidad de propagación de la onda de choque es ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle D={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}={\frac {2R}{5t}}={\frac {2\beta }{5}}\left({\frac {E}{\rho _{0}t^{3}}}\right)^{1/5}}$

Con la aproximación descrita anteriormente, las condiciones de Rankine-Hugoniot determinan la velocidad del gas inmediatamente detrás del frente de choque , y para un gas ideal de la siguiente manera ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$

${\displaystyle v_{1}={\frac {2}{\gamma +1}}D,\quad p_{1}={\frac {2}{\gamma +1}}\rho _{0}D^{2},\quad \rho _{1}=\rho _{0}{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}$

¿Dónde está la relación de calor específico ? Como es una constante, la densidad inmediatamente detrás de la onda de choque no cambia con el tiempo, mientras que y disminuyen como y , respectivamente. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle t^{-3/5}}$ ${\displaystyle t^{-6/5}}$

Solución autosemejante

El movimiento del gas detrás de la onda de choque se rige por las ecuaciones de Euler . Para un gas politrópico ideal con simetría esférica, las ecuaciones para las variables del fluido como la velocidad radial , la densidad y la presión están dadas por ${\displaystyle v(r,t)}$ ${\displaystyle \rho (r,t)}$ ${\displaystyle p(r,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}},\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial r}}&=-{\frac {2\rho v}{r}},\\\left({\frac {\partial }{\partial t}}+v{\frac {\partial }{\partial r}}\right)\ln {\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}&=0.\end{aligned}}}$

En , las soluciones deberían aproximarse a los valores dados por las condiciones de Rankine-Hugoniot definidas en la sección anterior. ${\displaystyle r=R(t)}$

La presión variable se puede sustituir por la velocidad del sonido ya que la presión se puede obtener de la fórmula . Se introducen las siguientes variables autosemejantes adimensionales, ^{[13] [14]} ${\displaystyle c(r,t)}$ ${\displaystyle c^{2}=\gamma p/\rho }$

${\displaystyle \xi ={\frac {r}{R(t)}},\quad V(\xi )={\frac {5tv}{2r}},\quad G(\xi )={\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad Z(\xi )={\frac {25t^{2}c^{2}}{4r^{2}}}}$.

Las condiciones en el frente de choque se vuelven ${\displaystyle \xi =1}$

${\displaystyle V(1)={\frac {2}{\gamma +1}},\quad G(1)={\frac {\gamma +1}{\gamma -1}},\quad Z(1)={\frac {2\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)^{2}}}.}$

Sustituir las variables autosemejantes en las ecuaciones gobernantes conducirá a tres ecuaciones diferenciales ordinarias. Resolver estas ecuaciones diferenciales analíticamente es laborioso, como lo demostraron Sedov en 1946 y von Neumann en 1947. GI Taylor integró estas ecuaciones numéricamente para obtener los resultados deseados.

La relación entre y se puede deducir directamente de la conservación de energía. Dado que la energía asociada con el gas no perturbado se desprecia al establecer , la energía total del gas dentro de la esfera de choque debe ser igual a . Debido a la autosemejanza, está claro que no sólo la energía total dentro de una esfera de radio es constante, sino también la energía total dentro de una esfera de cualquier radio (en forma dimensional, dice que la energía total dentro de una esfera de radio que se mueve hacia afuera con una velocidad debe ser constante). La cantidad de energía que sale de la esfera de radio en el tiempo debido a la velocidad del gas es , donde es la entalpía específica del gas. En ese tiempo, el radio de la esfera aumenta con la velocidad y la energía del gas en este volumen extra aumentado es , donde está la energía específica del gas. Igualar estas expresiones y sustituir y que es válida para el gas politrópico ideal conduce a ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p_{0}=0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \xi <1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v_{n}=2r/5t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}\rho v(h+v^{2}/2)\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}\rho v_{n}(e+v^{2}/2)\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e=c^{2}/\gamma (\gamma -1)}$ ${\displaystyle h=c^{2}/(\gamma -1)}$

${\displaystyle Z={\frac {\gamma (\gamma -1)(1-V)V^{2}}{2(\gamma V-1)}}.}$

La ecuación de continuidad y energía se reduce a

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \ln \xi }}-(1-V){\frac {\mathrm {d} \ln G}{\mathrm {d} \ln \xi }}&=-3V\\{\frac {\mathrm {d} \ln Z}{\mathrm {d} \ln \xi }}-(\gamma -1){\frac {\mathrm {d} \ln G}{\mathrm {d} \ln \xi }}&=-{\frac {5-2V}{1-V}}.\end{aligned}}}$

Solución autosimilar de la onda expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov para ${\displaystyle \gamma =7/5}$

Expresar y en función de usar únicamente la relación obtenida anteriormente e integrar una vez produce la solución en forma implícita, ${\displaystyle \mathrm {d} V/\mathrm {d} \ln \xi }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \ln G/\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{5}&=\left[{\frac {1}{2}}(\gamma +1)V\right]^{-2}\left\{{\frac {\gamma +1}{7-\gamma }}[5-(3\gamma -1)V]\right\}^{\nu _{1}}\left[{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}(\gamma V-1)\right]^{\nu _{2}},\\G&={\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}\left[{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}(\gamma V-1)\right]^{\nu _{3}}\left\{{\frac {\gamma +1}{7-\gamma }}[5-(3\gamma -1)V\right\}^{\nu _{4}}\left[{\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}(1-V)\right]^{\nu _{5}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \nu _{1}=-{\frac {13\gamma ^{2}-7\gamma +12}{(3\gamma -1)(2\gamma +1)}},\quad \nu _{2}={\frac {5(\gamma -1)}{2\gamma +1}},\quad \nu _{3}={\frac {3}{2\gamma +1}},\quad \nu _{4}=-{\frac {\nu _{1}}{2-\gamma }},\quad \nu _{5}=-{\frac {2}{2-\gamma }}.}$

La constante que determina la ubicación del choque se puede determinar a partir de la conservación de la energía. ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle E=\int _{0}^{R}\rho [v^{2}/2+c^{2}/\gamma (\gamma -1)]4\pi r^{2}\mathrm {d} r}$

para obtener

${\displaystyle \beta ^{5}{\frac {16\pi }{25}}\int _{0}^{1}G[V^{2}/2+Z/\gamma (\gamma -1)]\xi ^{4}\mathrm {d} \xi =1.}$

Para aire y . La solución para se muestra en la figura al graficar las curvas de , y donde está la temperatura. ${\displaystyle \gamma =7/5}$ ${\displaystyle \beta =1.033}$ ${\displaystyle \gamma =7/5}$ ${\displaystyle \rho /\rho _{1}=G(\gamma -1)/(\gamma +1)}$ ${\displaystyle v/v_{1}=\xi V(\gamma +1)/2}$ ${\displaystyle p/p_{1}=\xi ^{2}GZ(\gamma +1)/(2\gamma )}$ ${\displaystyle T/T_{1}=\xi ^{2}Z(\gamma +1)^{2}/[2\gamma (\gamma -1)],}$ ${\displaystyle T}$

Comportamiento asintótico cerca de la región central.

El comportamiento asintótico de la región central se puede investigar tomando el límite . En la figura se puede observar que la densidad cae a cero muy rápidamente detrás de la onda de choque. Toda la masa del gas, que inicialmente estaba distribuida uniformemente en una esfera de radio, ahora está contenida en una fina capa detrás de la onda de choque, es decir, toda la masa es impulsada hacia afuera por la aceleración impartida por la onda de choque. Por tanto, la mayor parte de la región está básicamente vacía. La relación de presión también cae rápidamente hasta alcanzar el valor constante . La relación de temperaturas se deriva de la ley de los gases ideales; dado que la relación de densidad decae a cero y la relación de presión es constante, la relación de temperatura debe volverse infinita. La forma límite para la densidad se da como sigue ${\displaystyle \xi \rightarrow 0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p_{c}}$

${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho _{1}}}\sim \xi ^{3/(\gamma -1)},\quad {\frac {p}{p_{1}}}\rightarrow p_{c},\quad {\frac {T}{T_{1}}}\sim \xi ^{-3/(\gamma -1)}\quad {\text{as}}\quad \xi \rightarrow 0.}$

Recuerde que la densidad es independiente del tiempo, lo que significa que la presión real depende del tiempo. Queda claro si las formas anteriores se reescriben en unidades dimensionales, ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle p_{1}\sim t^{-6/5}}$

${\displaystyle \rho \sim r^{3/(\gamma -1)}t^{-6/5(\gamma -1)},\quad p\rightarrow p_{c}t^{-6/5},\quad T\sim r^{-3/(\gamma -1)}t^{(6/5)(2-\gamma )/(\gamma -1)}\quad {\text{as}}\quad r\rightarrow 0.}$

La relación de velocidades tiene un comportamiento lineal en la región central,

${\displaystyle {\frac {v}{v_{1}}}\sim \xi \quad {\text{as}}\quad \xi \rightarrow 0}$

mientras que el comportamiento de la velocidad misma viene dado por

${\displaystyle v\sim rt^{1/5}\quad {\text{as}}\quad r\rightarrow 0.}$

Etapa final de la onda expansiva

A medida que la onda de choque evoluciona en el tiempo, su fuerza disminuye. La solución autosemejante descrita anteriormente se descompone cuando se vuelve comparable a (más precisamente, cuando ). En esta última etapa de la evolución (y en consecuencia ) no se puede descuidar. Esto significa que la evolución no es autosemejante, porque se puede formar una escala de longitud y una escala de tiempo para describir el problema. Las ecuaciones gobernantes luego se integran numéricamente, como lo hicieron H. Goldstine y John von Neumann , ^[15] Brode, ^[16] y Okhotsimskii et al. ^[17] Además, en esta etapa, la onda de choque de compresión es necesariamente seguida por una onda de rarafacción detrás de ella; la forma de onda está empíricamente ajustada por la forma de onda de Friedlander. ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}\sim [(\gamma +1)/(\gamma -1)]p_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle (E/p_{0})^{1/3}}$ ${\displaystyle (E/p_{0})^{1/3}/c_{0}}$

Explosión de línea cilíndrica

El problema análogo en geometría cilíndrica correspondiente a una onda expansiva axisimétrica, como la producida por un rayo , puede resolverse analíticamente. Este problema fue resuelto de forma independiente por Leonid Sedov , A. Sakurai ^[18] y SC Lin. ^[19] En geometría cilíndrica, la combinación adimensional que involucra la coordenada radial (esto es diferente de lo que se usa en la geometría esférica), el tiempo , la energía total liberada por unidad de longitud axial (esto es diferente de lo usado en la sección anterior ) y se encuentra que la densidad ambiental es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle r\left({\frac {\rho _{0}}{Et^{2}}}\right)^{1/4}.}$

Ver también

• Problema de Guderley-Landau-Stanyukovich
• Flujo de Zeldovich-Taylor
• Solución Becker-Morduchow-Libby

Referencias

1. Bluman, GW y Cole, JD (2012). Métodos de similitud para ecuaciones diferenciales (Vol. 13). Medios de ciencia y negocios de Springer.
2. Barenblatt, GI, Barenblatt, GI e Isaakovich, BG (1996). Escalado, autosemejanza y asintóticas intermedias: análisis dimensional y asintóticas intermedias (Vol. 14). Prensa de la Universidad de Cambridge.
3. GI Taylor, Informe británico RC-210, 27 de junio de 1941.
4. John von Neumann, NDRC, División. B, Informe AM-9, 30 de junio de 1941.
5. Deakin, MA (2011). GI Taylor y la prueba de la Trinidad. Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología, 42(8), 1069-1079.
6. Sedov, LI (1946). Propagación de fuertes ondas de choque. Revista de Mecánica y Matemáticas Aplicadas, 10, 241-250.
7. J. von Neumann, La solución de fuente puntual, en Obras completas, vol. 6, AH Taub, ed., Pergamon, Nueva York, 1963, págs.
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9. Taylor, soldado americano (1950). La formación de una onda expansiva por una explosión muy intensa.-II. La explosión atómica de 1945. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas, 201(1065), 175-186.
10. Mack, JE (1946). Registro cinematográfico semipopular de la explosión del Trinity (Vol. 221). División de Información Técnica, Operaciones Dirigidas por Oak Ridge.
11. Batchelor, GK y Taylor, GI (1996). La vida y el legado de GI Taylor. Prensa de la Universidad de Cambridge.
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