Flujo de Zeldovich-Taylor

Movimiento fluido de productos de detonación gaseosos.

El flujo de Zeldovich-Taylor (también conocido como onda de expansión de Zeldovich-Taylor ) es el movimiento fluido de los productos de detonación gaseosos detrás de la onda de detonación de Chapman-Jouguet . El flujo fue descrito de forma independiente por Yakov Zeldovich en 1942 ^{[1] [2]} y GI Taylor en 1950, ^[3] aunque GI Taylor llevó a cabo el trabajo en 1941 que circuló en el Ministerio de Seguridad Interior británico. Dado que las ondas de detonación que ocurren naturalmente son en general una onda de detonación de Chapman-Jouguet , la solución resulta muy útil para describir ondas de detonación de la vida real.

Descripción matemática

Considere una onda de detonación de Chapman-Jouguet saliente esféricamente que se propaga con velocidad constante . Por definición, inmediatamente detrás de la onda de detonación, la velocidad del gas es igual a la velocidad del sonido local con respecto a la onda. Sea la velocidad radial del gas detrás de la onda, en un marco fijo. La detonación se produce a las . Para ello , la velocidad del gas debe ser cero en el centro y debe tomar el valor en el lugar de la detonación . El movimiento del fluido se rige por las ecuaciones invisibles de Euler ^[4] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v(r,t)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle v=D-c}$ ${\displaystyle r=Dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial r}}&=-\rho \left({\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {2v}{r}}\right),\\{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}},\\{\frac {\partial s}{\partial t}}+v{\frac {\partial s}{\partial r}}&=0\end{aligned}}}$

donde es la densidad, es la presión y es la entropía. La última ecuación implica que el flujo es isentrópico y por tanto podemos escribir . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle c^{2}=dp/d\rho }$

Dado que el problema no implica escalas de duración ni de tiempo, se puede buscar una solución autosemejante de la forma , donde . Las dos primeras ecuaciones se convierten entonces en ${\displaystyle v(r,t)=v(\xi ),p(r,t)=p(\xi ),\,\rho (r,t)=\rho (\xi ),\,c(r,t)=c(\xi )}$ ${\displaystyle \xi =r/t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\xi -v)\rho '/\rho &=v'+2v/\xi ,\\(\xi -v)v'&=p'/\rho =c^{2}\rho '/\rho \end{aligned}}}$

donde prima denota diferenciación con respecto a . Podemos eliminar entre las dos ecuaciones para obtener una ecuación que contenga solo y . Debido a la condición isentrópica, podemos expresar , es decir, podemos reemplazar con . Esto lleva a ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \rho '/\rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \rho =\rho (c),\,p=p(c)}$ ${\displaystyle \rho ^{-1}d\rho /dx}$ ${\displaystyle \rho ^{-1}c'd\rho /dc}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\xi -v){\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dc}}c'&=v'+2v/\xi ,\\\left[{\frac {(\xi -v)^{2}}{c^{2}}}-1\right]v'&={\frac {2v}{\xi }}.\end{aligned}}}$

Para gases politrópicos con calores específicos constantes, tenemos . El conjunto de ecuaciones anterior no puede resolverse analíticamente, sino que debe integrarse numéricamente. La solución debe encontrarse para el rango sujeto a la condición en ${\displaystyle \rho ^{-1}d\rho /dc=2/[(\gamma -1)c]}$ ${\displaystyle 0\leq \xi \leq D}$ ${\displaystyle \xi -v=c}$ ${\displaystyle \xi =D.}$

Se encuentra que la función disminuye monótonamente desde su valor a cero en un valor finito de , donde existe una discontinuidad débil (es decir, una función es continua, pero sus derivadas pueden no). La región entre el frente de detonación y la discontinuidad débil posterior es el flujo de rarefacción (o expansión). Interior a la débil discontinuidad por todas partes. ${\displaystyle v(\xi )}$ ${\displaystyle v(D)=c(D)-D}$ ${\displaystyle \xi <D}$ ${\displaystyle v=0}$

Ubicación de la discontinuidad débil.

De la segunda ecuación descrita anteriormente, se deduce que cuando , . Más precisamente, como , esa ecuación se puede aproximar como ^[5] ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle \xi =c}$ ${\displaystyle v\rightarrow 0}$

${\displaystyle (\ln v)'=2c^{2}/[\xi (\xi ^{2}-c^{2})].}$

As , y si disminuye a medida . El lado izquierdo de la ecuación anterior puede convertirse en infinito positivo sólo si . Así, cuando disminuye al valor , el gas queda en reposo (aquí está la velocidad del sonido correspondiente a ). Por lo tanto, el movimiento de rarefacción ocurre para y no hay movimiento de fluido para . ${\displaystyle v\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \ln v\rightarrow -\infty }$ ${\displaystyle (\ln v)'\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle v\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \xi \rightarrow c}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle c_{0}<\xi \leq D}$ ${\displaystyle 0\leq \xi \leq c_{0}}$

Comportamiento cerca de la discontinuidad débil

Reescribe la segunda ecuación como

${\displaystyle v{\frac {d\xi }{dv}}={\frac {1}{2}}\xi \left[{\frac {(\xi -v)^{2}}{c^{2}}}-1\right].}$

En las proximidades de la discontinuidad débil, las cantidades de primer orden (como ) reducen la ecuación anterior a ${\displaystyle v,\,\xi -c_{0},\,c-c_{0}}$

${\displaystyle v{\frac {d}{dv}}(\xi -c_{0})=(\xi -c_{0})-(v+c-c_{0}).}$

En este punto cabe mencionar que en general las perturbaciones en los gases se propagan con respecto al gas a la velocidad del sonido local. En otras palabras, en el marco fijo, las perturbaciones se propagan a la velocidad (la otra posibilidad es , aunque no tiene interés aquí). Si el gas está en reposo , entonces la velocidad de perturbación es . Esto es sólo una propagación normal de ondas sonoras. Sin embargo, si es distinta de cero pero es una cantidad pequeña, entonces se encuentra la corrección para la velocidad de propagación de la perturbación obtenida utilizando una expansión en serie de Taylor , donde es necesariamente una constante positiva (para el gas ideal , donde es la relación de calor específico ). Esto significa que la ecuación anterior se puede escribir como ${\displaystyle v+c}$ ${\displaystyle v-c}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v+c=c_{0}+\alpha _{0}v}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}=(\gamma +1)/2}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle v{\frac {d}{dv}}(\xi -c_{0})-(\xi -c_{0})=\alpha _{0}v}$

cuya solución es

${\displaystyle \xi -c_{0}=\alpha _{0}v\ln(A/v)}$

donde es una constante. Esto determina implícitamente en la vecindad de la semana la discontinuidad donde es pequeña. Esta ecuación muestra que en , , , pero todas las derivadas de orden superior son discontinuas. En la ecuación anterior, resta del lado izquierdo y del lado derecho para obtener ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v(\xi )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \xi =c_{0}}$ ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle dv/d\xi =0}$ ${\displaystyle v+c-c_{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}v}$

${\displaystyle \xi -v-c=(\xi -c_{0})-(v+c-c_{0})=\alpha _{0}v[\ln(A/v)-1]}$

lo que implica que es una cantidad pequeña. Se puede demostrar que la relación no sólo se mantiene para las ondas pequeñas , sino también para toda la onda de rarefacción. ${\displaystyle \xi -v>c}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \xi -v>c}$ ${\displaystyle v}$

Comportamiento cerca del frente de detonación

Primero, demostremos que la relación no sólo es válida cerca de la discontinuidad débil, sino en toda la región. Si esta desigualdad no se mantiene, entonces debe haber un punto entre la discontinuidad débil y el frente de detonación. La segunda ecuación gobernante implica que en este punto debe ser infinito o, . Obtenemos tomando la segunda derivada de la ecuación gobernante. En la ecuación resultante, impone la condición para obtener . Esto implica que alcanza un máximo en este punto lo que a su vez implica que no puede existir por mayor que el punto máximo considerado ya que de lo contrario sería multivaluado. El punto máximo puede corresponder como máximo al límite exterior (frente de detonación). Esto significa que puede desaparecer sólo en el límite y ya se ha demostrado que es positivo cerca de la discontinuidad débil, es positivo en todas partes de la región excepto en los límites donde puede desaparecer. ${\displaystyle \xi -v>c}$ ${\displaystyle \xi -v=c,\,v\neq 0}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle d\xi /dv=0}$ ${\displaystyle d^{2}\xi /dv^{2}}$ ${\displaystyle \xi -v=c,\,v\neq 0,\,d\xi /dv=0}$ ${\displaystyle d^{2}\xi /dv^{2}=-\alpha _{0}\xi /c_{0}v\neq 0}$ ${\displaystyle \xi (v)}$ ${\displaystyle v(\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle v(\xi )}$ ${\displaystyle \xi -v-c}$ ${\displaystyle \xi -v-c}$ ${\displaystyle \xi -v-c}$

Tenga en cuenta que cerca del frente de detonación, debemos cumplir la condición . El valor evaluado para la función , es decir, no es más que la velocidad del frente de detonación con respecto a la velocidad del gas detrás de él. Para un frente de detonación, la condición siempre debe cumplirse, representando el signo de igualdad las detonaciones de Chapman-Jouguet y las desigualdades las detonaciones sobreimpulsadas. El análisis que describe el punto debe corresponder al frente de detonación. ${\displaystyle \xi -v=c,\,v\neq 0}$ ${\displaystyle \xi =D}$ ${\displaystyle \xi -v}$ ${\displaystyle D-v(D)}$ ${\displaystyle D-v(D)\leq c(D)}$ ${\displaystyle \xi -v=c,\,v\neq 0}$

Ver también

• Onda explosiva de Taylor-von Neumann-Sedov
• Problema de Guderley-Landau-Stanyukovich

Referencias

1. Zeldovich, YB (1942). Sobre la distribución de presión y velocidad en los productos de una explosión de detonación, concretamente en el caso de propagación esférica de la onda de detonación. Revista Física Teórica Experimental, 12 (1), 389.
2. Zeldovich, YB y Kompaneets, Alexander Solomonovich (1960). Teoría de la detonación. Prensa académica, sección 23, págs. 279-284
3. Taylor, soldado americano (1950). La dinámica de los productos de combustión detrás de los frentes de detonación planos y esféricos en explosivos. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas, 200(1061), 235-247.
4. Sedov, LI y Volkovets, AG (2018). Métodos de similitud y dimensiones en mecánica. Prensa CRC.
5. Landau, LD y Lifshitz, EM (1987). Pérgamo Mecánica de Fluidos. Nueva York, sección 130, páginas-496-499.