En lógica y razonamiento deductivo , un argumento es sólido si es válido en su forma y sus premisas son verdaderas. [1] La solidez tiene un significado relacionado en lógica matemática , en el que un sistema formal de lógica es sólido si y sólo si cada fórmula bien formada que pueda probarse en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica lógica del sistema.
En el razonamiento deductivo , un argumento sólido es un argumento que es válido y todas sus premisas son verdaderas (y como consecuencia su conclusión también es verdadera). Un argumento es válido si, suponiendo que sus premisas sean verdaderas, la conclusión debe ser verdadera. Un ejemplo de argumento sólido es el siguiente silogismo bien conocido :
Debido a la necesidad lógica de la conclusión, este argumento es válido; y como el argumento es válido y sus premisas son verdaderas, el argumento es sólido.
Sin embargo, un argumento puede ser válido sin ser sólido. Por ejemplo:
Este argumento es válido ya que la conclusión debe ser verdadera suponiendo que las premisas sean verdaderas. Sin embargo, la primera premisa es falsa. No todas las aves pueden volar (por ejemplo, los avestruces). Para que un argumento sea sólido, el argumento debe ser válido y sus premisas deben ser verdaderas. [2]
En lógica matemática , un sistema lógico tiene la propiedad de solidez si cada fórmula que se puede probar en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica del sistema. En la mayoría de los casos, esto se reduce a que sus reglas tienen la propiedad de preservar la verdad . [3] Lo contrario de la solidez se conoce como integridad .
Un sistema lógico con implicación sintáctica y implicación semántica es sólido si para cualquier secuencia de oraciones en su lenguaje, si , entonces . En otras palabras, un sistema es sólido cuando todos sus teoremas son tautologías .
La solidez es una de las propiedades más fundamentales de la lógica matemática. La propiedad de solidez proporciona la razón inicial para considerar deseable un sistema lógico. La propiedad de integridad significa que toda validez (verdad) es demostrable. Juntos implican que todas y sólo las validezes son demostrables.
La mayoría de las pruebas de solidez son triviales. [ cita necesaria ] Por ejemplo, en un sistema axiomático , la prueba de solidez equivale a verificar la validez de los axiomas y que las reglas de inferencia preservan la validez (o la propiedad más débil, la verdad). Si el sistema permite la deducción al estilo de Hilbert , sólo requiere verificar la validez de los axiomas y una regla de inferencia, a saber, el modus ponens . (y a veces sustitución)
Las propiedades de solidez se presentan en dos variedades principales: solidez débil y fuerte, de las cuales la primera es una forma restringida de la segunda.
La solidez débil de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración que sea demostrable en ese sistema deductivo también es cierta en todas las interpretaciones o estructuras de la teoría semántica para el lenguaje en el que se basa esa teoría. En símbolos, donde S es el sistema deductivo, L el lenguaje junto con su teoría semántica, y P una oración de L : si ⊢ S P , entonces también ⊨ L P .
La solidez fuerte de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración P del lenguaje en el que se basa el sistema deductivo que sea derivable de un conjunto Γ de oraciones de ese lenguaje es también una consecuencia lógica de ese conjunto, en el sentido de que cualquier modelo que hace que todos los miembros de Γ sean verdaderos también hará que P sea verdadero. En símbolos donde Γ es un conjunto de oraciones de L : si Γ ⊢ S P , entonces también Γ ⊨ L P . Observe que en el enunciado de solidez fuerte, cuando Γ está vacío, tenemos el enunciado de solidez débil.
Si T es una teoría cuyos objetos de discurso pueden interpretarse como números naturales , decimos que T es aritméticamente sólida si todos los teoremas de T son realmente verdaderos respecto de los números enteros matemáticos estándar. Para obtener más información, consulte la teoría ω-consistente .
Lo contrario de la propiedad de solidez es la propiedad de integridad semántica . Un sistema deductivo con una teoría semántica es fuertemente completo si cada oración P que es una consecuencia semántica de un conjunto de oraciones Γ puede derivarse en el sistema de deducción a partir de ese conjunto. En símbolos: siempre que Γ ⊨ P , entonces también Γ ⊢ P . La integridad de la lógica de primer orden fue establecida explícitamente por primera vez por Gödel , aunque algunos de los principales resultados estaban contenidos en trabajos anteriores de Skolem .
De manera informal, un teorema de solidez para un sistema deductivo expresa que todas las oraciones demostrables son verdaderas. La integridad establece que todas las oraciones verdaderas son demostrables.
El primer teorema de incompletitud de Gödel muestra que para lenguas suficientes para hacer una cierta cantidad de aritmética, no puede haber un sistema deductivo consistente y eficaz que sea completo con respecto a la interpretación prevista del simbolismo de esa lengua. Por tanto, no todos los sistemas deductivos sólidos son completos en este sentido especial de completitud, en el que la clase de modelos (hasta el isomorfismo ) se limita al pretendido. La prueba de integridad original se aplica a todos los modelos clásicos, no a alguna subclase especial propia de los previstos.
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