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Función L de Dirichlet

En matemáticas , una serie L de Dirichlet es una función de la forma

donde es un carácter de Dirichlet y s una variable compleja con parte real mayor que 1. Es un caso especial de una serie de Dirichlet . Por continuación analítica , se puede extender a una función meromórfica en todo el plano complejo , y entonces se llama función L de Dirichlet y también se denota L ( s , χ ).

Estas funciones reciben su nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , quien las introdujo en (Dirichlet 1837) para demostrar el teorema de los primos en progresiones aritméticas que también lleva su nombre. En el transcurso de la demostración, Dirichlet muestra que L ( s , χ ) no es cero en s = 1. Además, si χ es principal, entonces la función L de Dirichlet correspondiente tiene un polo simple en s = 1. De lo contrario, la función L es entera .

Producto de Euler

Dado que un carácter de Dirichlet χ es completamente multiplicativo , su función L también puede escribirse como un producto de Euler en el semiplano de convergencia absoluta :

donde el producto es sobre todos los números primos . [1]

Personajes primitivos

Los resultados sobre las funciones L suelen expresarse de forma más sencilla si se supone que el carácter es primitivo, aunque los resultados normalmente pueden extenderse a caracteres imprimitivos con complicaciones menores. [2] Esto se debe a la relación entre un carácter imprimitivo y el carácter primitivo que lo induce: [3]

(Aquí, q es el módulo de χ .) Una aplicación del producto de Euler da una relación simple entre las funciones L correspondientes : [4] [5]

(Esta fórmula es válida para todos los s , por continuación analítica, aunque el producto de Euler sólo es válido cuando Re( s ) > 1.) La fórmula muestra que la función L de χ es igual a la función L del carácter primitivo que induce χ , multiplicado sólo por un número finito de factores. [6]

Como caso especial, la función L del carácter principal módulo q se puede expresar en términos de la función zeta de Riemann : [7] [8]

Ecuación funcional

Las funciones L de Dirichlet satisfacen una ecuación funcional , que proporciona una forma de continuarlas analíticamente a lo largo del plano complejo. La ecuación funcional relaciona el valor de con el valor de . Sea χ un carácter primitivo módulo q , donde q > 1. Una forma de expresar la ecuación funcional es: [9]

En esta ecuación, Γ denota la función gamma ;

 ; y

donde τ  (  χ ) es una suma de Gauss :

Una propiedad de las sumas de Gauss es que | τ  (  χ ) | = q 1/2 , por lo que | W  (  χ ) | = 1. [10] [11]

Otra forma de expresar la ecuación funcional es en términos de

La ecuación funcional se puede expresar como: [9] [11]

La ecuación funcional implica que ( y ) son funciones enteras de s . (De nuevo, esto supone que χ es un carácter primitivo módulo q con q > 1. Si q = 1, entonces tiene un polo en s = 1.) [9] [11]

Para generalizaciones, véase: Ecuación funcional (función L) .

Ceros

La función L de Dirichlet L ( s , χ ) = 1 − 3 s + 5 s − 7 s + ⋅⋅⋅ (a veces se le da el nombre especial de función beta de Dirichlet ), con ceros triviales en los números enteros impares negativos

Sea χ un carácter primitivo módulo q , con q > 1.

No hay ceros de L ( s , χ ) con Re( s ) > 1. Para Re( s ) < 0, hay ceros en ciertos enteros negativos s :

Estos se llaman ceros triviales. [9]

Los ceros restantes se encuentran en la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ 1, y se denominan ceros no triviales. Los ceros no triviales son simétricos respecto de la línea crítica Re( s ) = 1/2. Es decir, si entonces también, debido a la ecuación funcional. Si χ es un carácter real, entonces los ceros no triviales también son simétricos respecto del eje real, pero no si χ es un carácter complejo. La hipótesis de Riemann generalizada es la conjetura de que todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica Re( s ) = 1/2. [9]

Hasta la posible existencia de un cero de Siegel , se sabe que existen regiones libres de ceros que incluyen y superan la línea Re( s ) = 1 similares a la de la función zeta de Riemann para todas las funciones L de Dirichlet : por ejemplo, para χ un carácter no real de módulo q , tenemos

para β + iγ un cero no real. [13]

Relación con la función zeta de Hurwitz

Las funciones L de Dirichlet pueden escribirse como una combinación lineal de la función zeta de Hurwitz en valores racionales. Fijando un entero k ≥ 1, las funciones L de Dirichlet para caracteres módulo k son combinaciones lineales, con coeficientes constantes, de ζ ( s , a ) donde a = r / k y r = 1, 2, ..., k . Esto significa que la función zeta de Hurwitz para el racional a tiene propiedades analíticas que están estrechamente relacionadas con las funciones L de Dirichlet. Específicamente, sea χ un carácter módulo k . Entonces podemos escribir su función L de Dirichlet como: [14]

Véase también

Notas

  1. ^ Apostol 1976, Teorema 11.7
  2. ^ Davenport 2000, capítulo 5
  3. ^ Davenport 2000, capítulo 5, ecuación (2)
  4. ^ Davenport 2000, capítulo 5, ecuación (3)
  5. ^ Montgomery y Vaughan 2006, pág. 282
  6. ^ Apóstol 1976, pág. 262
  7. ^ Ireland & Rosen 1990, capítulo 16, sección 4
  8. ^ Montgomery y Vaughan 2006, pág. 121
  9. ^ abcde Montgomery y Vaughan 2006, pág. 333
  10. ^ Montgomery y Vaughan 2006, pág. 332
  11. ^ abc Iwaniec y Kowalski 2004, pag. 84
  12. ^ de Davenport 2000, capítulo 9
  13. ^ Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society . pág. 163. ISBN. 0-8218-0737-4.Zbl 0814.11001  .
  14. ^ Apóstol 1976, pág. 249

Referencias