Lógica categórica

La lógica categórica es la rama de las matemáticas en la que se aplican herramientas y conceptos de la teoría de categorías al estudio de la lógica matemática . También se destaca por sus conexiones con la informática teórica . ^[1] En términos generales, la lógica categórica representa tanto la sintaxis como la semántica mediante una categoría y una interpretación mediante un funtor . El marco categórico proporciona un rico trasfondo conceptual para construcciones lógicas y de teoría de tipos . El tema ha sido reconocible en estos términos desde alrededor de 1970.

Descripción general

Hay tres temas importantes en el enfoque categórico de la lógica:

Semántica categórica

La lógica categórica introduce la noción de estructura valorada en una categoría C con la noción teórica del modelo clásico de una estructura que aparece en el caso particular donde C es la categoría de conjuntos y funciones . Esta noción ha demostrado ser útil cuando la noción teórica de conjuntos de un modelo carece de generalidad y/o es inconveniente. El modelado de RAG Seely de varias teorías impredicativas , como el Sistema F , es un ejemplo de la utilidad de la semántica categórica.

Se descubrió que los conectivos de la lógica precategórica se entendían más claramente utilizando el concepto de functor adjunto , y que los cuantificadores también se entendían mejor utilizando funtores adjuntos. ^[2]

Idiomas internos

Esto puede verse como una formalización y generalización de la prueba mediante la búsqueda de diagramas . Se define un lenguaje interno adecuado que nombra los constituyentes relevantes de una categoría y luego se aplica la semántica categórica para convertir las afirmaciones en una lógica sobre el lenguaje interno en declaraciones categóricas correspondientes. Esto ha tenido más éxito en la teoría de los topos , donde el lenguaje interno de un topos junto con la semántica de la lógica intuicionista de orden superior en un topos permite razonar sobre los objetos y morfismos de un topos como si fueran conjuntos y funciones. . ^[3] Esto ha tenido éxito al tratar con topos que tienen "conjuntos" con propiedades incompatibles con la lógica clásica . Un buen ejemplo es el modelo de Dana Scott de cálculo lambda sin tipo en términos de objetos que se retraen a su propio espacio funcional . Otro es el modelo Moggi -Hyland del sistema F mediante una subcategoría interna completa del topos efectivo de Martin Hyland .

Construcciones de modelos de términos

En muchos casos, la semántica categórica de una lógica proporciona una base para establecer una correspondencia entre las teorías de la lógica y los casos de un tipo apropiado de categoría. Un ejemplo clásico es la correspondencia entre las teorías de la lógica ecuacional βη sobre el cálculo lambda simplemente tipificado y las categorías cerradas cartesianas . Las categorías que surgen de teorías a través de construcciones de modelos de términos generalmente se pueden caracterizar hasta la equivalencia mediante una propiedad universal adecuada . Esto ha permitido demostrar las propiedades metateóricas de algunas lógicas mediante un álgebra categórica apropiada . Por ejemplo, Freyd demostró de esta manera las propiedades de disyunción y existencia de la lógica intuicionista .

Ver también

• Historia de la teoría del topos

• Portal de matemáticas

Notas

1. Goguen, José; Mossakowski, hasta; de Paiva, Valeria; Rabe, Florián; Schröder, Lutz (2007). "Una visión institucional de la lógica categórica". Revista Internacional de Software e Informática . 1 (1): 129-152. CiteSeerX 10.1.1.126.2361 . 
2. Lawvere 1971, Cuantificadores y gavillas
3. Aluffi, Paolo (15 de julio de 2009). "Álgebra: Capítulo 0". Sociedad Matemática Estadounidense . doi : 10.1090/gsm/104 . Consultado el 11 de mayo de 2024 .

^[1]

Referencias

Libros

• Abramsky, Sansón; Gabbay, Dov (2001). Métodos lógicos y algebraicos . Manual de lógica en informática. vol. 5. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853781-6.

• Gabbay, DM; Kanamori, A.; Woods, J., eds. (2012). Conjuntos y ampliaciones en el siglo XX. Manual de historia de la lógica. vol. 6. Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-51621-3.

• Kent, Allen; Williams, James G. (1990). Enciclopedia de Ciencias y Tecnología de la Computación . Marcel Dekker. ISBN 0-8247-2272-8.
• Barr, M .; Wells, C. (1996). Teoría de categorías para la informática (2ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-323809-9.
• Lambek, J .; Scott, PJ (1988). Introducción a la lógica categórica de orden superior. Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 7. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-35653-4.
• Lawvere, FW ; Rosebrugh, R. (2003). Conjuntos para Matemáticas. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-01060-3.
• Lawvere, FW; Schanuel, SH (2009). Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-139-64396-2.

Artículos fundamentales

• Lawvere, FW (noviembre de 1963). "Semántica funcional de las teorías algebraicas". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 50 (5): 869–872. Código bibliográfico : 1963PNAS...50..869L. doi : 10.1073/pnas.50.5.869 . JSTOR  71935. PMC  221940 . PMID  16591125.
• - (diciembre de 1964). "Teoría elemental de la categoría de conjuntos". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 52 (6): 1506–11. Código bibliográfico : 1964PNAS...52.1506L. doi : 10.1073/pnas.52.6.1506 . JSTOR  72513. PMC  300477 . PMID  16591243.
• — (1971). "Cuantificadores y gavillas". Actes: Du Congres International Des Mathematiciens Niza 1-10 de septiembre de 1970. Pub. Sous La Direction Du Comité D'organization Du Congres . Gauthier-Villars. págs. 1506–11. OCLC  217031451. Zbl  0261.18010.

Otras lecturas

• Makkai, Michael ; Reyes, Gonzalo E. (1977). Lógica categórica de primer orden. Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 611. Saltador. doi :10.1007/BFb0066201. ISBN 978-3-540-08439-6.
• Lambek, J.; Scott, PJ (1988). Introducción a la lógica categórica de orden superior. Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 7. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-35653-4.Introducción bastante accesible, pero algo anticuada. El enfoque categórico de la lógica de orden superior sobre los tipos polimórficos y dependientes se desarrolló en gran medida después de la publicación de este libro.
• Jacobs, Bart (1999). Lógica categórica y teoría de tipos. Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas. vol. 141. Holanda Septentrional, Elsevier. ISBN 0-444-50170-3.Una monografía completa escrita por un informático; cubre tanto lógicas de primer orden como de orden superior, y también tipos polimórficos y dependientes. La atención se centra en la categoría fibrosa como herramienta universal en la lógica categórica, que es necesaria para tratar con tipos polimórficos y dependientes.
• Campana, John Lane (2001). "El desarrollo de la lógica categórica". En Gabbay, DM; Guenthner, Franz (eds.). Manual de lógica filosófica . vol. 12 (2ª ed.). Saltador. págs. 279–361. ISBN 978-1-4020-3091-8.Versión disponible en línea en la página de inicio de John Bell.
• Marqués, Jean-Pierre; Reyes, Gonzalo E. "La Historia de la Lógica Categórica 1963-1977". Gabbay, Kanamori y Woods 2012 . págs. 689–800.
  Una versión preliminar.

enlaces externos

• Awodey, Steve (9 de julio de 2022). "Lógica categórica". notas de lectura .
• Lurie, Jacob . "Lógica categórica (278x)". notas de lectura .

1. Aluffi, Paolo (2009). Álgebra: Capítulo 0 (1ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 18-20. ISBN 978-1-4704-1168-8.