Rotación de Wigner

Eugene Wigner (1902-1995)

En física teórica , la composición de dos impulsos de Lorentz no colineales da como resultado una transformación de Lorentz que no es un impulso puro, sino que es la composición de un impulso y una rotación. Esta rotación se denomina rotación de Thomas , rotación de Thomas-Wigner o rotación de Wigner . Si una secuencia de impulsos no colineales devuelve un objeto a su velocidad inicial, entonces la secuencia de rotaciones de Wigner puede combinarse para producir una rotación neta llamada precesión de Thomas . ^[1]

La rotación fue descubierta por Émile Borel en 1913, ^{[2] [3] [4]} redescubierta y probada por Ludwik Silberstein en su libro de 1914 'Relatividad', redescubierta por Llewellyn Thomas en 1926, ^[5] y derivada nuevamente por Wigner en 1939. ^[6] Wigner reconoció a Silberstein.

Todavía hay discusiones en curso sobre la forma correcta de las ecuaciones para la rotación de Thomas en diferentes sistemas de referencia con resultados contradictorios. ^[7] Goldstein : ^[8]

La rotación espacial resultante de la aplicación sucesiva de dos transformaciones de Lorentz no colineales ha sido declarada tan paradójica como las aparentes violaciones del sentido común, discutidas con más frecuencia, como la paradoja de los gemelos .

El principio de reciprocidad de velocidad de Einstein (EPVR) dice ^[9]

Postulamos que la relación entre las coordenadas de los dos sistemas es lineal. Entonces la transformación inversa también es lineal y la no preferencia total de uno u otro sistema exige que la transformación sea idéntica a la original, excepto por un cambio de v a −v.

Con una interpretación menos cuidadosa, parecería que la EPVR se viola en algunas situaciones, ^[10] pero tras un análisis más detallado no existe tal violación.

Sea u la velocidad a la que se mueve el sistema de referencia del laboratorio respecto de un objeto llamado A y sea v la velocidad a la que se mueve otro objeto llamado B, medida desde el sistema de referencia del laboratorio. Si u y v no están alineadas, las coordenadas de las velocidades relativas de estos dos cuerpos no serán opuestas, aunque los vectores de velocidad reales sí lo sean (el hecho de que las coordenadas no sean opuestas se debe a que los dos viajeros no utilizan los mismos vectores de coordenadas base).

Si A y B comenzaron en el sistema de laboratorio con coordenadas que coinciden con las del laboratorio y posteriormente usan sistemas de coordenadas que resultan de sus respectivos impulsos desde ese sistema, entonces la velocidad que A medirá en B se dará en términos del nuevo sistema de coordenadas de A por:

${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} \right],}$

Y la velocidad que B medirá sobre A vendrá dada en términos del sistema de coordenadas de B por:

${\displaystyle \mathbf {v} _{BA}={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{1+\gamma _{\mathbf {v} }}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {v} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {v} }}}\mathbf {u} \right],}$

El factor de Lorentz para las velocidades que A ve en B o que B ve en A son los mismos:

${\displaystyle \gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

pero los componentes no son opuestos, es decir ${\textstyle \mathbf {v} _{AB}\neq -\mathbf {v} _{BA}}$

Sin embargo, esto no significa que las velocidades no sean opuestas, ya que los componentes en cada caso se multiplican por diferentes vectores base (y todos los observadores coinciden en que la diferencia se debe a una rotación de coordenadas tal que los vectores de velocidad reales son de hecho opuestos exactos).

El ángulo de rotación se puede calcular de dos maneras:

${\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {(1+\gamma +\gamma _{\mathbf {u} }+\gamma _{\mathbf {v} })^{2}}{(1+\gamma )(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v} })}}-1~,}$

O:

${\displaystyle \cos \epsilon =-{\frac {(\mathbf {v} _{AB}\cdot \mathbf {v} _{BA})}{(v_{AB}^{2})}}}$

Y el eje de rotación es:

${\displaystyle \mathbf {e} =-{\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |}}~.}$

Configuración de los marcos y velocidades relativas entre ellos

Composición de velocidad y rotación de Thomas en el plano xy, velocidades u y v separadas por un ángulo θ . Izquierda: Medidas en Σ′ , las orientaciones de Σ y Σ′′ aparecen paralelas a Σ′ . Centro: En el marco Σ , Σ′′ rota a través del ángulo ε alrededor de un eje paralelo a u × v y luego se mueve con velocidad w _d relativa a Σ . Derecha: En el marco Σ′′ , Σ se mueve con velocidad − w _d relativa a Σ′′ y luego se mueve con velocidad w _d relativa a Σ .

Composición de velocidad y rotación de Thomas en el plano xy, velocidades − u y − v separadas por un ángulo θ . Izquierda: Medidas en Σ′ , las orientaciones de Σ y Σ′′ aparecen paralelas a Σ′ . Centro: En el marco Σ′′ , Σ gira a través del ángulo ε alrededor de un eje paralelo a −( u × v ) y luego se mueve con velocidad − w _i relativa a Σ′′ . Derecha: En el marco Σ , Σ′′ se mueve con velocidad w _i relativa a Σ y luego gira a través del ángulo ε alrededor de un eje paralelo a u × v .

Comparación de las composiciones de velocidad w _d y w _i . Nótese que las magnitudes son las mismas pero las direcciones son diferentes.

Dos mejoras generales

Al estudiar la rotación de Thomas en el nivel fundamental, normalmente se utiliza una configuración con tres marcos de coordenadas, Σ, Σ′ Σ′′ . El marco Σ′ tiene velocidad u relativa al marco Σ , y el marco Σ′′ tiene velocidad v relativa al marco Σ′ .

Los ejes están, por construcción, orientados de la siguiente manera. Vistos desde Σ′ , los ejes de Σ′ y Σ son paralelos (lo mismo es válido para el par de marcos cuando se ven desde Σ ). También vistos desde Σ′ , los ejes espaciales de Σ′ y Σ′′ son paralelos (y lo mismo es válido para el par de marcos cuando se ven desde Σ′′ ). ^[11] Esta es una aplicación de EVPR: Si u es la velocidad de Σ′ relativa a Σ , entonces u ′ = − u es la velocidad de Σ relativa a Σ′ . El 3- vector de velocidad u forma los mismos ángulos con respecto a los ejes de coordenadas tanto en el sistema primo como en el no primo. Esto no representa una instantánea tomada en ninguno de los dos cuadros del sistema combinado en ningún momento particular, como debería quedar claro en la descripción detallada a continuación.

Esto es posible, ya que un impulso en, digamos, la dirección z positiva , preserva la ortogonalidad de los ejes de coordenadas. Un impulso general B ( w ) se puede expresar como L = R ⁻¹ ( e _z , w ) B _z ( w ) R ( e _z , w ) , donde R ( e _z , w ) es una rotación que lleva el eje z en la dirección de w y B _z es un impulso en la nueva dirección z . ^{[12] [13] [14]} Cada rotación conserva la propiedad de que los ejes de coordenadas espaciales son ortogonales. El impulso estirará el eje z (intermedio) por un factor γ , mientras que deja el eje x y el eje y intermedios en su lugar. ^[15] El hecho de que los ejes de coordenadas no sean paralelos en esta construcción después de dos impulsos no colineales consecutivos es una expresión precisa del fenómeno de la rotación de Thomas. ^{[nb 1]}

La velocidad de Σ′′ como se ve en Σ se denota w _d = u ⊕ v , donde ⊕ se refiere a la suma relativista de la velocidad (y no a la suma vectorial ordinaria ), dada por ^[16]

y

${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

es el factor de Lorentz de la velocidad u (las barras verticales | u | indican la magnitud del vector ). La velocidad u puede considerarse como la velocidad de un sistema Σ′ relativa a un sistema Σ , y v es la velocidad de un objeto, por ejemplo una partícula u otro sistema Σ′′ relativa a Σ′ . En el presente contexto, todas las velocidades se consideran mejor como velocidades relativas de sistemas a menos que se especifique lo contrario. El resultado w = u ⊕ v es entonces la velocidad relativa del sistema Σ′′ relativa a un sistema Σ .

Aunque la suma de velocidades es no lineal , no asociativa y no conmutativa , el resultado de la operación obtiene correctamente una velocidad con una magnitud menor que c . Si se utilizara la suma vectorial ordinaria, sería posible obtener una velocidad con una magnitud mayor que c . El factor de Lorentz γ de ambas velocidades compuestas son iguales.

${\displaystyle \gamma =\gamma _{\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} }=\gamma _{\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} }=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,,}$

y las normas son iguales bajo intercambio de vectores de velocidad

${\displaystyle |\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |=|\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |={\frac {c}{\gamma }}{\sqrt {\gamma ^{2}-1}}\,.}$

Dado que las dos posibles velocidades compuestas tienen la misma magnitud, pero direcciones diferentes, una debe ser una copia rotada de la otra. En el artículo principal se pueden encontrar más detalles y otras propiedades que no tienen relación directa con este tema.

Configuración invertida

Consideremos la configuración invertida, es decir, el marco Σ se mueve con velocidad − u relativa al marco Σ′ , y el marco Σ′ , a su vez, se mueve con velocidad − v relativa al marco Σ′′ . En resumen, u → − u y v → − v por EPVR. Entonces la velocidad de Σ relativa a Σ′′ es (− v ) ⊕ (− u ) ≡ − v ⊕ u . Por EPVR de nuevo, la velocidad de Σ′′ relativa a Σ es entonces w _i = v ⊕ u . (A)

Se encuentra que w _d ≠ w _i . Si bien son iguales en magnitud, existe un ángulo entre ellos. Para un único impulso entre dos sistemas inerciales, solo hay una velocidad relativa inequívoca (o su negativo). Para dos impulsos, el resultado peculiar de dos velocidades relativas no equivalentes en lugar de una parece contradecir la simetría del movimiento relativo entre dos sistemas cualesquiera. ¿Cuál es la velocidad correcta de Σ′′ en relación con Σ ? Dado que esta desigualdad puede ser algo inesperada y potencialmente romper la EPVR, esta pregunta está justificada. ^{[nb 2]}

Formulación en términos de transformaciones de Lorentz

Un marco Σ′′ se impulsa con velocidad v relativa a otro marco Σ′, que se impulsa con velocidad u relativa a otro marco Σ.

Un marco Σ se impulsa con velocidad − u relativa a otro marco Σ′, que se impulsa con velocidad − v relativa a otro marco Σ′′.

Configuración original con velocidades intercambiadas u y v .

Inversa de la configuración intercambiada.

Dos impulsos equivalen a un impulso y una rotación.

La respuesta a la pregunta se encuentra en la rotación de Thomas, y hay que tener cuidado al especificar qué sistema de coordenadas está involucrado en cada paso. Cuando se observa desde Σ , los ejes de coordenadas de Σ y Σ′′ no son paralelos. Si bien esto puede ser difícil de imaginar ya que ambos pares (Σ, Σ′) y (Σ′, Σ′′) tienen ejes de coordenadas paralelos, es fácil de explicar matemáticamente.

La suma de velocidades no proporciona una descripción completa de la relación entre los marcos. Se debe formular la descripción completa en términos de transformaciones de Lorentz correspondientes a las velocidades. Un aumento de Lorentz con cualquier velocidad v (magnitud menor que c ) se da simbólicamente por

${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$

donde las coordenadas y la matriz de transformación se expresan de forma compacta en forma de matriz de bloques

${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r} '\end{bmatrix}}\quad B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma _{\mathbf {v} }&-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\\-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} &\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\dfrac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\\\end{bmatrix}}\quad X={\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}}$

y, a su vez, r , r ′, v son vectores columna (la matriz transpuesta de estos son vectores fila), y γ _v es el factor de Lorentz de la velocidad v . La matriz de impulso es una matriz simétrica . La transformación inversa está dada por

${\displaystyle B(\mathbf {v} )^{-1}=B(-\mathbf {v} )\quad \Rightarrow \quad X=B(-\mathbf {v} )X'.}$

Es evidente que a cada velocidad admisible v corresponde un impulso de Lorentz puro ,

${\displaystyle \mathbf {v} \leftrightarrow B(\mathbf {v} ).}$

La suma de velocidades u ⊕ v corresponde a la composición de los impulsos B ( v ) B ( u ) en ese orden. B ( u ) actúa primero sobre X , luego B ( v ) actúa sobre B ( u ) X . Observe que los operadores sucesivos actúan a la izquierda en cualquier composición de operadores, por lo que B ( v ) B ( u ) debe interpretarse como un impulso con velocidades u y luego v , no v y luego u . Realizando las transformaciones de Lorentz mediante la multiplicación de matrices de bloques,

${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X\quad \Rightarrow \quad X''=\Lambda X}$

La matriz de transformación compuesta es ^[17]

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$

y, a su vez,

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\gamma _{\mathbf {v} }\gamma _{\mathbf {u} }\left(1+{\frac {\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {a} &={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} \,,\quad \mathbf {b} ={\frac {\gamma }{c}}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \\\mathbf {M} &=\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }{\frac {\mathbf {vu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}+\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\frac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\left(\mathbf {I} +{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {u} }+1}}{\frac {\mathbf {uu} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Aquí γ es el factor compuesto de Lorentz, y a y b son vectores columna 3×1 proporcionales a las velocidades compuestas. La matriz 3×3 M resultará tener importancia geométrica.

Las transformaciones inversas son

${\displaystyle X=B(-\mathbf {u} )X'\,,\quad X'=B(-\mathbf {v} )X''\quad \Rightarrow \quad X=\Lambda ^{-1}X''}$

y la composición equivale a una negación e intercambio de velocidades,

${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$

Si se intercambian las velocidades relativas, al observar los bloques de Λ , se observa que la transformación compuesta es la matriz transpuesta de Λ . Esta no es la misma que la matriz original, por lo que la matriz de transformación de Lorentz compuesta no es simétrica y, por lo tanto, no es un solo impulso. Esto, a su vez, se traduce en la incompletitud de la composición de velocidad a partir del resultado de dos impulsos; simbólicamente,

${\displaystyle B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\neq B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )\,.}$

Para completar la descripción, es necesario introducir una rotación, antes o después del impulso. Esta rotación es la rotación de Thomas . Una rotación viene dada por

${\displaystyle X'=R({\boldsymbol {\theta }})X}$

donde la matriz de rotación 4×4 es

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\theta }})\end{bmatrix}}}$

y R es una matriz de rotación de 3×3 . ^{[nb 3]} En este artículo se utiliza la representación eje-ángulo , y θ = θ e es el "vector eje-ángulo", el ángulo θ multiplicado por un vector unitario e paralelo al eje. Además, se utiliza la convención de la mano derecha para las coordenadas espaciales (véase orientación (espacio vectorial) ), de modo que las rotaciones son positivas en sentido antihorario según la regla de la mano derecha , y negativas en sentido horario. Con estas convenciones; la matriz de rotación rota cualquier vector 3d sobre el eje e a través del ángulo θ en sentido antihorario (una transformación activa ), que tiene el efecto equivalente de rotar el marco de coordenadas en el sentido horario sobre el mismo eje a través del mismo ángulo (una transformación pasiva).

La matriz de rotación es una matriz ortogonal , su transpuesta es igual a su inversa, y negar el ángulo o el eje en la matriz de rotación corresponde a una rotación en el sentido opuesto, por lo que la transformación inversa se obtiene fácilmente mediante

${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})^{-1}=R({\boldsymbol {\theta }})^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\theta }})\quad \Rightarrow \quad X=R(-{\boldsymbol {\theta }})X'\,.}$

Un impulso seguido o precedido por una rotación también es una transformación de Lorentz, ya que estas operaciones dejan invariable el intervalo espacio-temporal. La misma transformación de Lorentz tiene dos descomposiciones para los vectores de eje-ángulo y rapidez elegidos apropiadamente;

${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {u} )=R({\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {u} )}$

${\displaystyle \Lambda (\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\theta }})=B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

y si estas dos descomposiciones son iguales, los dos impulsos están relacionados por

${\displaystyle B(\mathbf {u} )=R(-{\boldsymbol {\theta }})B(\mathbf {v} )R({\boldsymbol {\theta }})}$

Por lo tanto, los aumentos están relacionados mediante una transformación de similitud matricial .

Resulta que la igualdad entre dos impulsos y una rotación seguida o precedida por un solo impulso es correcta: la rotación de los cuadros coincide con la separación angular de las velocidades compuestas y explica cómo una velocidad compuesta se aplica a un cuadro, mientras que la otra se aplica al cuadro rotado. La rotación también rompe la simetría en la transformación general de Lorentz, volviéndola no simétrica. Para esta rotación específica, sea ε el ángulo y el eje esté definido por el vector unitario e , por lo que el vector eje-ángulo es ε = ε e .

En total, dos órdenes diferentes de dos impulsos significa que hay dos transformaciones no equivalentes. Cada una de ellas se puede dividir en un impulso y luego una rotación, o una rotación y luego un impulso, duplicando el número de transformaciones no equivalentes a cuatro. Las transformaciones inversas son igualmente importantes; brindan información sobre lo que percibe el otro observador. En total, hay ocho transformaciones a considerar, solo para el problema de dos impulsos de Lorentz. En resumen, con operaciones posteriores que actúan a la izquierda, son

Al hacer coincidir los impulsos seguidos de las rotaciones, en la configuración original, un observador en Σ nota que Σ′′ se mueve con velocidad u ⊕ v y luego gira en el sentido de las agujas del reloj (primer diagrama) y, debido a la rotación, un observador en Σ′′ nota que Σ se mueve con velocidad − v ⊕ u y luego gira en el sentido contrario a las agujas del reloj (segundo diagrama). Si se intercambian las velocidades, un observador en Σ nota que Σ′′ se mueve con velocidad v ⊕ u y luego gira en el sentido contrario a las agujas del reloj (tercer diagrama) y, debido a la rotación, un observador en Σ′′ nota que Σ se mueve con velocidad − u ⊕ v y luego gira en el sentido de las agujas del reloj (cuarto diagrama).

Los casos de rotaciones y luego impulsos son similares (no se muestran diagramas). Al hacer coincidir las rotaciones seguidas de impulsos, en la configuración original, un observador en Σ nota que Σ′′ gira en el sentido de las agujas del reloj y luego se mueve con velocidad v ⊕ u , y debido a la rotación, un observador en Σ′′ nota que Σ gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego se mueve con velocidad − u ⊕ v . Si se intercambian las velocidades, un observador en Σ nota que Σ′′ gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego se mueve con velocidad u ⊕ v , y debido a la rotación, un observador en Σ′′ nota que Σ gira en el sentido de las agujas del reloj y luego se mueve con velocidad − u ⊕ v .

Encontrar el eje y el ángulo de rotación de Thomas

Las fórmulas anteriores constituyen la suma de velocidad relativista y la rotación de Thomas explícitamente en las transformaciones generales de Lorentz. En todas las composiciones de impulsos y descomposición en un impulso y una rotación, la fórmula importante

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {R} +{\frac {1}{\gamma +1}}\mathbf {ba} ^{\mathrm {T} }}$

se cumple, lo que permite definir la matriz de rotación completamente en términos de las velocidades relativas u y v . El ángulo de una matriz de rotación en la representación eje-ángulo se puede encontrar a partir de la traza de la matriz de rotación , el resultado general para cualquier eje es tr( R ) = 1 + 2 cos ε . Tomando la traza de la ecuación se obtiene ^{[18] [19] [20]}

${\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {(1+\gamma +\gamma _{\mathbf {u} }+\gamma _{\mathbf {v} })^{2}}{(1+\gamma )(1+\gamma _{\mathbf {u} })(1+\gamma _{\mathbf {v} })}}-1}$

El ángulo ε entre a y b no es el mismo que el ángulo α entre u y v .

En ambos marcos Σ y Σ′′, para cada composición y descomposición, otra fórmula importante

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {Ra} }$

Se cumple. Los vectores a y b están relacionados por una rotación, de hecho por la misma matriz de rotación R que hace girar los sistemas de coordenadas. A partir de a , la matriz R hace girar a b en sentido antihorario, de acuerdo con su producto vectorial (en la convención de la mano derecha).

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\frac {\gamma _{\mathbf {u} }\gamma _{\mathbf {v} }\left(\gamma ^{2}-1\right)(\gamma +\gamma _{\mathbf {v} }+\gamma _{\mathbf {u} }+1)}{c^{2}(\gamma _{\mathbf {v} }+1)(\gamma _{\mathbf {u} }+1)(\gamma +1)}}\mathbf {u} \times \mathbf {v} }$

define el eje correctamente, por lo tanto, el eje también es paralelo a u × v . La magnitud de este pseudovector no es interesante ni importante, solo lo es la dirección, por lo que se puede normalizar en el vector unitario

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {u} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {u} \times \mathbf {v} |}}}$

que todavía define completamente la dirección del eje sin pérdida de información.

La rotación es simplemente una rotación "estática" y no hay un movimiento de rotación relativo entre los marcos, hay un movimiento de traslación relativo en el impulso. Sin embargo, si los marcos se aceleran, entonces el marco rotado gira con una velocidad angular. Este efecto se conoce como precesión de Thomas y surge puramente de la cinemática de sucesivos impulsos de Lorentz.

Encontrar la rotación de Thomas

El proceso de descomposición descrito (a continuación) puede llevarse a cabo sobre el producto de dos transformaciones de Lorentz puras para obtener explícitamente la rotación de los ejes de coordenadas resultante de los dos "impulsos" sucesivos. En general, el álgebra implicada es bastante prohibitiva, más que suficiente, por lo general, para desalentar cualquier demostración real de la matriz de rotación.

—  Goldstein (1980, pág. 286)

En principio, es bastante fácil. Dado que cada transformación de Lorentz es un producto de un impulso y una rotación, la aplicación consecutiva de dos impulsos puros es un impulso puro, ya sea seguido o precedido por una rotación pura. Por lo tanto, supongamos

${\displaystyle \Lambda =B(\mathbf {w} )R.}$

La tarea consiste en extraer de esta ecuación la velocidad de impulso w y la rotación R de las entradas de la matriz de Λ . ^[21] Las coordenadas de los eventos están relacionadas por

${\displaystyle x'^{\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }.}$

Invirtiendo esta relación obtenemos

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\rho }x^{\rho }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x'^{\mu },}$

o

${\displaystyle x^{\nu }={\Lambda _{\mu }}^{\nu }x'^{\mu }.}$

Establezca x ′ = ( ct ′, 0, 0, 0). Entonces x ^ν registrará la posición espaciotemporal del origen del sistema primo,

${\displaystyle x^{\nu }={\Lambda _{0}}^{\nu }x'^{0},}$

o

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{0}ct'\\{\Lambda _{0}}^{1}ct'\\{\Lambda _{0}}^{2}ct'\\{\Lambda _{0}}^{3}ct'\end{pmatrix}}..}$

Pero

${\displaystyle \Lambda ^{-1}=(B(\mathbf {w} )R)^{-1}=R^{-1}B(-\mathbf {w} ).}$

Multiplicar esta matriz con una rotación pura no afectará las columnas y filas cero, y

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}ct\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma \beta _{x}ct'\\\gamma \beta _{y}ct'\\\gamma \beta _{z}ct'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct'\\\gamma w_{x}t'\\\gamma w_{y}t'\\\gamma w_{z}t'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}ct'\\w_{x}t'\\w_{y}t'\\w_{z}t'\end{pmatrix}},}$

lo cual podría haberse anticipado a partir de la fórmula para un impulso simple en la dirección x y para el vector de velocidad relativa

${\displaystyle {\frac {1}{ct}}\mathbf {x} ={\frac {\mathbf {w} }{c}}={\boldsymbol {\beta }}={\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{ct}}\\{\frac {x_{2}}{ct}}\\{\frac {x_{3}}{ct}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta _{x}\\\beta _{y}\\\beta _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\Lambda _{0}}^{1}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{2}/{\Lambda _{0}}^{0}\\{\Lambda _{0}}^{3}/{\Lambda _{0}}^{0}\end{pmatrix}}.}$

Así, dado Λ , se obtienen β y w por poco más que la inspección de Λ ⁻¹ . (Por supuesto, w también se puede encontrar utilizando la suma de velocidades como se indicó anteriormente). A partir de w , construya B (− w ) . La solución para R es entonces

${\displaystyle R=B(-\mathbf {w} )\Lambda .}$

Con el ansatz

${\displaystyle \Lambda =RB(\mathbf {w} ),}$

Se encuentra por los mismos medios

${\displaystyle R=\Lambda B(-\mathbf {w} ).}$

Encontrar una solución formal en términos de los parámetros de velocidad u y v implica primero multiplicar formalmente B ( v ) B ( u ) , invertir formalmente, luego leer β _w del resultado, construir formalmente B (− w ) a partir del resultado y, finalmente, multiplicar formalmente B (− w ) B ( v ) B ( u ) . Debería quedar claro que se trata de una tarea abrumadora y que es difícil interpretar/identificar el resultado como una rotación, aunque está claro a priori que lo es. A estas dificultades se refiere la cita de Goldstein en la parte superior. El problema se ha estudiado a fondo bajo supuestos simplificadores a lo largo de los años.

Origen teórico grupal

Otra forma de explicar el origen de la rotación es observando los generadores del grupo de Lorentz .

Impulsos de velocidad

El paso de una velocidad a un impulso se obtiene de la siguiente manera. Un impulso arbitrario se da por ^[22]

${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} },}$

donde ζ es un triple de números reales que sirven como coordenadas en el subespacio de impulso del álgebra de Lie, por lo que (3, 1) está abarcado por las matrices

${\displaystyle (K_{1},K_{2},K_{3})=\left(\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right],\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right]\right).}$

El vector

${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\tanh ^{-1}\beta }$

se denomina parámetro de impulso o vector de impulso , mientras que su norma es la rapidez . Aquí β es el parámetro de velocidad , la magnitud del vector β = u / c .

Mientras que para ζ se tiene 0 ≤ ζ < ∞ , el parámetro β está confinado dentro de 0 ≤ β < 1 , y por lo tanto 0 ≤ u < c . Por lo tanto

${\displaystyle e^{-\tanh ^{-1}(\beta ){\frac {\boldsymbol {\beta }}{\beta }}\cdot \mathbf {K} }=e^{-{\tanh ^{-1}\beta \over c\beta }\mathbf {u} \cdot \mathbf {K} }\equiv B(\mathbf {u} )~.}$

El conjunto de velocidades que satisface 0 ≤ u < c es una esfera abierta en ℝ ³ y se denomina en la literatura espacio de velocidades admisibles . Está dotado de una geometría hiperbólica descrita en el artículo vinculado. ^[23]

Conmutadores

Los generadores de impulsos, K ₁ , K ₂ , K ₃ , en diferentes direcciones no conmutan. Esto tiene el efecto de que dos impulsos consecutivos no son un impulso puro en general, sino una rotación que precede a un impulso.

Consideremos una sucesión de impulsos en la dirección x, luego en la dirección y, expandiendo cada impulso hasta el primer orden ^[24]

${\displaystyle e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=(I-\zeta _{y}K_{y}+\cdots )(I-\zeta _{x}K_{x}+\cdots )=I-\zeta _{x}K_{x}-\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

entonces

${\displaystyle e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}=I+\zeta _{x}K_{x}+\zeta _{y}K_{y}+\zeta _{x}\zeta _{y}K_{y}K_{x}+\cdots }$

y el conmutador de grupo es

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\zeta _{y}K_{y}}e^{-\zeta _{x}K_{x}}e^{\zeta _{y}K_{y}}e^{\zeta _{x}K_{x}}=I&+\zeta _{x}\zeta _{y}[K_{y},K_{x}]-(\zeta _{x}K_{x})^{2}-(\zeta _{y}K_{y})^{2}\\&+\zeta _{x}^{2}\zeta _{y}[K_{x},K_{y}]K_{x}+\zeta _{x}\zeta _{y}^{2}K_{y}[K_{y},K_{x}]\\&+(\zeta _{x}\zeta _{y})^{2}K_{y}K_{x}K_{y}K_{x}+\cdots \end{aligned}}}$

Tres de las relaciones de conmutación de los generadores de Lorentz son

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{x},J_{y}]&=J_{z}\\[][K_{x},K_{y}]&=-J_{z}\\[][J_{x},K_{y}]&=K_{z}\end{aligned}}}$

donde el corchete [ A , B ] = AB − BA es una operación binaria conocida como conmutador , y las otras relaciones se pueden encontrar tomando permutaciones cíclicas de los componentes x, y, z (es decir, cambiar x a y, y a z, y z a x, repetir).

Volviendo al conmutador de grupo, las relaciones de conmutación de los generadores elevadores implican que para un elevador a lo largo de las direcciones x y luego y, habrá una rotación alrededor del eje z. En términos de las rapidezes, el ángulo de rotación θ está dado por

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\tanh {\frac {\zeta _{x}}{2}}\tanh {\frac {\zeta _{y}}{2}},}$

expresable de manera equivalente como

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sinh {\zeta _{x}}~\sinh \zeta _{y}}{\cosh \zeta _{x}+\cosh \zeta _{y}}}~.}$

SO(2, 1) +y parametrización de Euler

De hecho, el grupo de Lorentz completo no es indispensable para estudiar la rotación de Wigner. Dado que este fenómeno involucra solo dos dimensiones espaciales, el subgrupo SO(2, 1) ⁺ es suficiente para analizar los problemas asociados. De manera análoga a la parametrización de Euler de SO(3) , SO(2, 1) ⁺ se puede descomponer en tres partes simples, lo que proporciona un marco sencillo e intuitivo para explorar el problema de la rotación de Wigner. ^[25]

Diagramas espacio-temporales para impulsos no colineales

La noción familiar de la suma de vectores para velocidades en el plano euclidiano se puede realizar en una formación triangular, o como la suma de vectores es conmutativa, los vectores en ambos ordenamientos forman geométricamente un paralelogramo (véase la " ley del paralelogramo "). Esto no se cumple para la suma de velocidades relativista; en cambio, surge un triángulo hiperbólico cuyos bordes están relacionados con las rapidezs de los impulsos. Al cambiar el orden de las velocidades de impulso, no se encuentra que las velocidades de impulso resultantes coincidan. ^[26]

Véase también

• Ecuación de Bargmann-Michel-Telegdi
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Fórmula de adición de velocidad#Geometría hiperbólica
• Transporte de Fermi-Walker

Notas al pie

1. Esta conservación de la ortogonalidad de los ejes de coordenadas no debe confundirse con la conservación de los ángulos entre vectores espaciales tomados al mismo tiempo en un sistema, lo que, por supuesto, no se cumple. Los ejes de coordenadas se transforman bajo la transformación pasiva presentada, mientras que los vectores se transforman bajo la transformación activa correspondiente.
2. A esto se le llama a veces la "paradoja de Mocanu". El propio Mocanu no la llamó una paradoja, sino más bien una "dificultad" dentro del marco de la electrodinámica relativista en un artículo de 1986. También se apresuró a reconocer que el problema se explica por la precesión de Thomas Mocanu (1992), pero el nombre perdura.
3. En la literatura, la matriz de rotación 3d R puede denotarse con otras letras, otros usan un nombre y los vectores de velocidad relativa involucrados; por ejemplo, tom[ u , v ] para "rotación de Thomas" o gyr[ u , v ] para "giro" (ver espacio girovectorial ). En consecuencia, la matriz de rotación 4d R (sin cursiva negrita) en este artículo puede denotarse

   ${\displaystyle \mathrm {Tom} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathrm {tom} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad \mathrm {Gyr} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{bmatrix}}}$

Referencias

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• La mención de Sexl Urbantke en la p. 39 requiere introducir la geometría de Lobachevsky en los diagramas de espacio-tiempo de Minkowski habituales para velocidades no colineales.
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Lectura adicional

• Espacio de velocidad relativista, rotación de Wigner y precesión de Thomas (2004) John A. Rhodes y Mark D. Semon
• La teoría hiperbólica de la relatividad especial (2006) de JF Barrett