Respuesta al paso

Comportamiento temporal de un sistema controlado por funciones escalonadas de Heaviside

Una respuesta escalonada típica para un sistema de segundo orden, que ilustra un sobrepaso , seguido de un zumbido , y todo disminuye dentro de un tiempo de estabilización .

La respuesta escalonada de un sistema en un estado inicial dado consiste en la evolución temporal de sus salidas cuando sus entradas de control son funciones escalonadas de Heaviside . En ingeniería electrónica y teoría de control , la respuesta escalonada es el comportamiento temporal de las salidas de un sistema general cuando sus entradas cambian de cero a uno en un tiempo muy corto. El concepto puede extenderse a la noción matemática abstracta de un sistema dinámico utilizando un parámetro de evolución .

Desde un punto de vista práctico, saber cómo responde el sistema a una entrada repentina es importante porque las desviaciones grandes y posiblemente rápidas del estado estacionario a largo plazo pueden tener efectos extremos en el componente mismo y en otras partes del sistema general que dependen de este componente. Además, el sistema en general no puede actuar hasta que la salida del componente se estabilice en algún lugar cercano a su estado final, lo que retrasa la respuesta general del sistema. Formalmente, conocer la respuesta escalonada de un sistema dinámico proporciona información sobre la estabilidad de dicho sistema y sobre su capacidad para alcanzar un estado estacionario partiendo de otro.

Descripción matemática formal

Figura 4: Representación de caja negra de un sistema dinámico, su entrada y su respuesta al paso.

Esta sección proporciona una definición matemática formal de respuesta escalonada en términos del concepto matemático abstracto de un sistema dinámico : aquí se enumeran todas las notaciones y suposiciones requeridas para la siguiente descripción. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

• ${\displaystyle t\in T}$es el parámetro de evolución del sistema, llamado " tiempo " por simplicidad,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}\in M}$es el estado del sistema en ese momento , llamado "salida" por simplicidad, ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \Phi :T\times M\to M}$es la función de evolución del sistema dinámico ,
• ${\displaystyle \Phi (0,{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}_{0}\in M}$es el estado inicial del sistema dinámico ,
• ${\displaystyle H(t)}$es la función de paso de Heaviside

Sistema dinámico no lineal

Para un sistema dinámico general, la respuesta al escalón se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}=\Phi _{\{H(t)\}}\left(t,{{\boldsymbol {x}}_{0}}\right).}$

Es la función de evolución cuando las entradas de control (o término fuente , o entradas forzadas) son funciones de Heaviside: la notación enfatiza este concepto mostrando H ( t ) como subíndice.

Sistema dinámico lineal

Para una caja negra lineal invariante en el tiempo (LTI), por conveniencia de notación, digamos: la respuesta escalonada se puede obtener mediante la convolución del control de función escalonada de Heaviside y la respuesta al impulso h ( t ) del propio sistema. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\equiv S}$

${\displaystyle a(t)=(h*H)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau .}$

lo que para un sistema LTI equivale a simplemente integrar este último. Por el contrario, para un sistema LTI, la derivada de la respuesta al escalón produce la respuesta al impulso:

${\displaystyle h(t)={\frac {d}{dt}}\,a(t).}$

Sin embargo, estas relaciones simples no son ciertas para un sistema no lineal o variable en el tiempo . ^[1]

Dominio del tiempo versus dominio de la frecuencia

En lugar de la respuesta en frecuencia, el rendimiento del sistema puede especificarse en términos de parámetros que describen la dependencia del tiempo de la respuesta. La respuesta al escalón se puede describir mediante las siguientes cantidades relacionadas con su comportamiento en el tiempo ,

• excederse
• hora de levantarse
• tiempo de estabilización
• El sonar

En el caso de sistemas dinámicos lineales , se puede inferir mucho sobre el sistema a partir de estas características. A continuación se presenta la respuesta al escalón de un amplificador bipolar simple y se ilustran algunos de estos términos.

En los sistemas LTI, la función que tiene la velocidad de respuesta más pronunciada y que no genera sobreimpulso ni timbre es la función gaussiana. Esto se debe a que es la única función cuya transformada de Fourier tiene la misma forma.

amplificadores de retroalimentación

Figura 1: Modelo ideal de retroalimentación negativa; la ganancia en bucle abierto es A _OL y el factor de retroalimentación es β.

Esta sección describe la respuesta escalonada de un amplificador de retroalimentación negativa simple que se muestra en la Figura 1. El amplificador de retroalimentación consta de un amplificador principal de bucle abierto de ganancia A _OL y un bucle de retroalimentación gobernado por un factor de retroalimentación β. Este amplificador de retroalimentación se analiza para determinar cómo su respuesta escalonada depende de las constantes de tiempo que gobiernan la respuesta del amplificador principal y de la cantidad de retroalimentación utilizada.

Un amplificador de retroalimentación negativa tiene una ganancia dada por (ver amplificador de retroalimentación negativa ):

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}},}$

donde A _OL = ganancia de bucle abierto , A _FB = ganancia de bucle cerrado (la ganancia con retroalimentación negativa presente) y β = factor de retroalimentación .

Con un polo dominante

En muchos casos, el amplificador directo puede modelarse suficientemente bien en términos de un único polo dominante de constante de tiempo τ, como una ganancia de bucle abierto dada por:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{1+j\omega \tau }},}$

con ganancia de frecuencia cero A ₀ y frecuencia angular ω = 2π f . Este amplificador directo tiene respuesta de paso unitario.

${\displaystyle S_{OL}(t)=A_{0}(1-e^{-t/\tau })}$,

un enfoque exponencial desde 0 hacia el nuevo valor de equilibrio de A ₀ .

La función de transferencia del amplificador unipolar conduce a la ganancia de bucle cerrado:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau }{1+\beta A_{0}}}}}.}$

Esta ganancia de bucle cerrado tiene la misma forma que la ganancia de bucle abierto: un filtro unipolar. Su respuesta escalonada tiene la misma forma: una caída exponencial hacia el nuevo valor de equilibrio. Pero la constante de tiempo de la función escalonada de bucle cerrado es τ / (1 + β A ₀ ), por lo que es más rápida que la respuesta del amplificador directo en un factor de 1 + β A ₀ :

${\displaystyle S_{FB}(t)={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\left(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau }\right),}$

A medida que aumenta el factor de retroalimentación β , la respuesta al escalón se hará más rápida, hasta que la suposición original de un polo dominante ya no sea precisa. Si hay un segundo polo, entonces a medida que la constante de tiempo de circuito cerrado se aproxima a la constante de tiempo del segundo polo, se necesita un análisis bipolar.

Amplificadores bipolares

En el caso de que la ganancia en bucle abierto tenga dos polos (dos constantes de tiempo , τ ₁ , τ ₂ ), la respuesta al escalón es un poco más complicada. La ganancia en bucle abierto viene dada por:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}},}$

con ganancia de frecuencia cero A ₀ y frecuencia angular ω = 2 πf .

Análisis

La función de transferencia del amplificador bipolar conduce a la ganancia de bucle cerrado:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}.}$

Figura 2: Ubicaciones de los polos conjugados para un amplificador de retroalimentación de dos polos; Re( s ) es el eje real e Im( s ) es el eje imaginario.

La dependencia del tiempo del amplificador es fácil de descubrir cambiando las variables a s = j ω, con lo cual la ganancia se convierte en:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\;\cdot \;{\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

Los polos de esta expresión (es decir, los ceros del denominador) ocurren en:

${\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}$

lo que muestra que para valores suficientemente grandes de βA ₀ la raíz cuadrada se convierte en la raíz cuadrada de un número negativo, es decir, la raíz cuadrada se vuelve imaginaria, y las posiciones polares son números conjugados complejos, ya sea s ₊ o s ₋ ; ver Figura 2:

${\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,}$

con

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}$

y

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}.}$

Usando coordenadas polares con la magnitud del radio de las raíces dada por | s | (Figura 2):

${\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}$

y la coordenada angular φ viene dada por:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}.}$

Las tablas de transformadas de Laplace muestran que la respuesta temporal de dicho sistema se compone de combinaciones de las dos funciones:

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad e^{-\rho t}\cos(\mu t),}$

es decir, las soluciones son oscilaciones amortiguadas en el tiempo. En particular, la respuesta al escalón unitario del sistema es: ^[2]

${\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}\right)\ ,}$

lo que simplifica a

${\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}}$

cuando A ₀ tiende a infinito y el factor de retroalimentación β es uno.

Observe que la amortiguación de la respuesta está determinada por ρ, es decir, por las constantes de tiempo del amplificador de lazo abierto. Por el contrario, la frecuencia de oscilación está establecida por μ, es decir, por el parámetro de retroalimentación a través de β A ₀ . Debido a que ρ es una suma de recíprocos de constantes de tiempo, es interesante notar que ρ está dominado por la más corta de las dos.

Resultados

Figura 3: Respuesta escalonada de un amplificador de realimentación lineal de dos polos; el tiempo está en unidades de 1/ ρ , es decir, en términos de las constantes de tiempo _de AOL ; Se trazan curvas para tres valores de mu  =  μ , que está controlado por  β .

La Figura 3 muestra la respuesta temporal a una entrada de paso unitario para tres valores del parámetro μ. Se puede ver que la frecuencia de oscilación aumenta con μ, pero las oscilaciones están contenidas entre las dos asíntotas establecidas por las exponenciales [ 1 − exp(− ρt ) ] y [ 1 + exp(−ρt) ]. Estas asíntotas están determinadas por ρ y, por tanto, por las constantes de tiempo del amplificador de bucle abierto, independientemente de la realimentación.

El fenómeno de oscilación sobre el valor final se llama timbre . El exceso es la oscilación máxima por encima del valor final y aumenta claramente con μ. Del mismo modo, el alcance inferior es la oscilación mínima por debajo del valor final, que aumenta nuevamente con μ. El tiempo de estabilización es el tiempo para que las desviaciones del valor final caigan por debajo de un nivel específico, digamos el 10% del valor final.

La dependencia del tiempo de estabilización con respecto a μ no es obvia, y la aproximación de un sistema bipolar probablemente no sea lo suficientemente precisa como para sacar conclusiones del mundo real sobre la dependencia de la retroalimentación del tiempo de estabilización. Sin embargo, las asíntotas [ 1 − exp(− ρt ) ] y [ 1 + exp (− ρt ) ] impactan claramente el tiempo de estabilización y están controladas por las constantes de tiempo del amplificador de bucle abierto, particularmente la más corta de las dos. constantes. Esto sugiere que se debe cumplir una especificación sobre el tiempo de estabilización mediante un diseño apropiado del amplificador de bucle abierto.

Las dos conclusiones principales de este análisis son:

1. La retroalimentación controla la amplitud de la oscilación sobre el valor final para un amplificador de bucle abierto dado y valores dados de las constantes de tiempo de bucle abierto, τ ₁ y τ ₂ .
2. El amplificador de bucle abierto decide el tiempo de estabilización. Establece la escala de tiempo de la Figura 3, y cuanto más rápido sea el amplificador de bucle abierto, más rápida será esta escala de tiempo.

Como comentario aparte, cabe señalar que las desviaciones del mundo real de este modelo lineal de dos polos se producen debido a dos complicaciones importantes: primero, los amplificadores reales tienen más de dos polos, además de ceros; y segundo, los amplificadores reales no son lineales, por lo que su respuesta escalonada cambia con la amplitud de la señal.

Figura 4: Respuesta al paso para tres valores de α. Arriba: α = 4; Centro: α = 2; Abajo: α = 0,5. A medida que α se reduce, la separación de polos se reduce y el exceso aumenta.

Control de exceso

A continuación se analiza cómo se puede controlar el exceso mediante la elección de parámetros adecuados.

Usando las ecuaciones anteriores, la cantidad de sobreimpulso se puede encontrar diferenciando la respuesta al escalón y encontrando su valor máximo. El resultado para la respuesta escalonada máxima S _max es: ^[3]

${\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right).}$

El valor final de la respuesta al escalón es 1, por lo que el exponencial es el sobrepaso real en sí. Está claro que el exceso es cero si μ = 0, que es la condición:

${\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}.}$

Esta cuadrática se resuelve para la relación de constantes de tiempo estableciendo x = ( τ ₁ / τ ₂ ) ^1/2 con el resultado

${\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}.}$

Como β A ₀ ≫ 1, el 1 en la raíz cuadrada se puede eliminar y el resultado es

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}.}$

En palabras, la primera constante de tiempo debe ser mucho mayor que la segunda. Para ser más aventureros que un diseño que no permita excesos, podemos introducir un factor α en la relación anterior:

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}$

y sea α fijado por la cantidad de sobreimpulso que es aceptable.

La figura 4 ilustra el procedimiento. Al comparar el panel superior (α = 4) con el panel inferior (α = 0,5) se muestran valores más bajos para α que aumentan la tasa de respuesta, pero aumentan el exceso. El caso α = 2 (panel central) es el diseño máximamente plano que no muestra picos en el gráfico de ganancia de Bode versus frecuencia . Ese diseño tiene como regla general un margen de seguridad incorporado para lidiar con realidades no ideales como múltiples polos (o ceros), no linealidad (dependencia de la amplitud de la señal) y variaciones de fabricación, cualquiera de las cuales puede llevar a un exceso excesivo. El ajuste de la separación de polos (es decir, establecer α) es objeto de compensación de frecuencia , y uno de esos métodos es la división de polos .

Control del tiempo de asentamiento

La amplitud del timbre en la respuesta escalonada de la Figura 3 está gobernada por el factor de amortiguación exp(− ρt ). Es decir, si especificamos alguna desviación aceptable de la respuesta escalonada respecto del valor final, digamos Δ, es decir:

${\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,}$

esta condición se cumple independientemente del valor de β A _OL siempre que el tiempo sea mayor que el tiempo de asentamiento, digamos t _S , dado por: ^[4]

${\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln {\frac {1}{\Delta }}}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln {\frac {1}{\Delta }}}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln {\frac {1}{\Delta }},}$

donde τ ₁  ≫ τ ₂ es aplicable debido a la condición de control de exceso, lo que hace que τ ₁  =  αβA _OL τ ₂ . A menudo se hace referencia a la condición de tiempo de estabilización diciendo que el período de estabilización es inversamente proporcional al ancho de banda de ganancia unitaria, porque 1/(2 π  τ _{2 ) está cerca de este ancho de banda para un amplificador con} compensación de polo dominante típica . Sin embargo, este resultado es más preciso que esta regla general . Como ejemplo de esta fórmula, si Δ = 1/e ⁴ = 1,8 %, la condición del tiempo de asentamiento es t _S  = 8  τ ₂ .

En general, el control del exceso establece la relación de constante de tiempo y el tiempo de estabilización t _S establece τ ₂ . ^{[5] [6] [7]}

Identificación del sistema mediante la respuesta al escalón: sistema con dos polos reales

Respuesta al paso del sistema con . Mida el punto significativo , y . ${\displaystyle x(t)=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t_{25}}$ ${\displaystyle t_{75}}$

Este método utiliza puntos significativos de la respuesta al escalón. No es necesario adivinar tangentes a la señal medida. Las ecuaciones se derivan mediante simulaciones numéricas, determinando algunas proporciones significativas y ajustando parámetros de ecuaciones no lineales. Ver también. ^[8]

Aquí los pasos:

• Mida la respuesta al escalón del sistema con una señal de escalón de entrada . ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$
• Determine los lapsos de tiempo y dónde la respuesta escalonada alcanza el 25% y el 75% del valor de salida de estado estable. ${\displaystyle t_{25}}$ ${\displaystyle t_{75}}$
• Determine la ganancia del sistema en estado estacionario con ${\displaystyle k=A_{0}}$ ${\displaystyle k=\lim _{t\to \infty }{\dfrac {y(t)}{x(t)}}}$
• Calcular
  $${\displaystyle r={\dfrac {t_{25}}{t_{75}}}}$$
  $${\displaystyle P=-18.56075\,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.16423}$$
  $${\displaystyle X=14.2797\,r^{3}-9.3891\,r^{2}+0.25437\,r+1.32148}$$
• Determine las dos constantes de tiempo.
  $${\displaystyle \tau _{2}=T_{2}={\dfrac {t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)}}}$$
  $${\displaystyle \tau _{1}=T_{1}={\dfrac {T_{2}}{P}}}$$
• Calcule la función de transferencia del sistema identificado dentro del dominio de Laplace
  $${\displaystyle G(s)={\dfrac {k}{(1+s\,T_{1})\cdot (1+s\,T_{2})}}}$$

margen de fase

Figura 5: Gráfico de ganancia de Bode para encontrar el margen de fase; las escalas son logarítmicas, por lo que las separaciones etiquetadas son factores multiplicativos. Por ejemplo, f _{0 dB} = βA ₀ × f ₁ .

A continuación, la elección de la relación de polos τ ₁ / τ ₂ está relacionada con el margen de fase del amplificador de realimentación. ^[9] Se sigue el procedimiento descrito en el artículo sobre el diagrama de Bode . La Figura 5 es el gráfico de ganancia de Bode para el amplificador bipolar en el rango de frecuencias hasta la posición del segundo polo. La suposición detrás de la Figura 5 es que la frecuencia f _{0 dB} se encuentra entre el polo más bajo en f ₁  = 1/(2πτ ₁ ) y el segundo polo en f ₂  = 1/(2πτ ₂ ). Como se indica en la Figura 5, esta condición se cumple para valores de α ≥ 1.

Usando la Figura 5, la frecuencia (indicada por f _{0 dB} ) se encuentra donde la ganancia del bucle β A ₀ satisface la ganancia unitaria o condición de 0 dB, como se define por:

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1.}$

La pendiente del tramo descendente del gráfico de ganancia es (20 dB/década); por cada aumento de diez factores en la frecuencia, la ganancia cae en el mismo factor:

${\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}.}$

El margen de fase es la desviación de la fase en f _{0 dB} desde −180°. Así, el margen es:

${\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).}$

Debido a que f _{0 dB} / f ₁ =  βA ₀  ≫ 1, el término en f ₁ es 90°. Eso hace que el margen de fase:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{m}&=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {1}{\alpha }}=\arctan \alpha \,.\end{aligned}}}$

En particular, para el caso α = 1, φ _m = 45°, y para α = 2, φ _m = 63,4°. Sansen ^[10] recomienda α = 3, φ _m = 71,6° como una "buena posición de seguridad para empezar".

Si α aumenta acortando τ ₂ , el tiempo de asentamiento t _S también se acorta. Si α aumenta al alargar τ ₁ , el tiempo de asentamiento t _S se modifica poco. Más comúnmente, tanto τ ₁ como τ ₂ cambian, por ejemplo si se utiliza la técnica de división de polos .

Además, para un amplificador con más de dos polos, el diagrama de la Figura 5 todavía se puede hacer para que se ajuste a los diagramas de Bode haciendo de f ₂ un parámetro de ajuste, denominado posición de "segundo polo equivalente". ^[11]

Ver también

• Respuesta impulsiva
• Sobreimpulso (señal)
• división de polos
• Hora de levantarse
• Tiempo de estabilización
• Tiempo constante

Referencias y notas

1. Yuriy Shmaliy (2007). Sistemas de tiempo continuo . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 46.ISBN _ 978-1-4020-6272-8.
2. Benjamin C Kuo y Golnaraghi F (2003). Sistemas de control automático (Octava ed.). Nueva York: Wiley. pag. 253.ISBN _ 0-471-13476-7.
3. Benjamin C Kuo y Golnaraghi F (2003). pag. 259. Wiley. ISBN 0-471-13476-7.
4. Esta estimación es un poco conservadora (larga) porque el factor 1 /sin(φ) en la contribución excesiva a S ( t ) ha sido reemplazado por 1 /sin( φ ) ≈ 1.
5. David A. Johns y Martin KW (1997). Diseño de circuitos integrados analógicos. Nueva York: Wiley. págs. 234-235. ISBN 0-471-14448-7.
6. Willy MC Sansen (2006). Conceptos básicos del diseño analógico. Dordrecht, Países Bajos: Springer. pag. §0528 pág. 163.ISBN _ 0-387-25746-2.
7. Según Johns y Martin, op. cit. , el tiempo de estabilización es significativo en circuitos de condensadores conmutados , por ejemplo, donde el tiempo de estabilización de un amplificador operacional debe ser inferior a la mitad de un período de reloj para una transferencia de carga suficientemente rápida.
8. "Identificación de un sistema PT2 amortiguado | La-Tecnologia.io". La-tecnologia.io . Consultado el 6 de agosto de 2018 .
9. El margen de ganancia del amplificador no se puede encontrar usando un modelo bipolar, porque el margen de ganancia requiere la determinación de la frecuencia f ₁₈₀ donde la ganancia invierte el signo, y esto nunca sucede en un sistema bipolar. Si conocemos f ₁₈₀ para el amplificador en cuestión, el margen de ganancia se puede encontrar aproximadamente, pero f ₁₈₀ depende entonces de la tercera y superior posición polar, al igual que el margen de ganancia, a diferencia de la estimación del margen de fase, que es un margen de dos estimación de polos.
10. Willy MC Sansen (30 de noviembre de 2006). §0526 pág. 162. Saltador. ISBN 0-387-25746-2.
11. Gaetano Palumbo y Pennisi S (2002). Amplificadores de retroalimentación: teoría y diseño. Boston/Dordrecht/Londres: Kluwer Academic Press. págs. § 4.4 págs. 97–98. ISBN 0-7923-7643-9.

Otras lecturas

• Robert I. Demrow Tiempo de estabilización de amplificadores operacionales [1]
• Cezmi Kayabasi Técnicas de medición del tiempo de asentamiento que logran alta precisión a altas velocidades [2]
• Vladimir Igorevic Arnol escribió "Ecuaciones diferenciales ordinarias", varias ediciones de MIT Press y Springer Verlag, capítulo 1 "Conceptos fundamentales"

enlaces externos

• diapositivas de power point Kuo; Capítulo 7 especialmente