Eliminación de ruido de variación total

Proceso de eliminación de ruido durante el procesamiento de imágenes.

Ejemplo de aplicación del método Rudin et al. ^[1] Técnica de eliminación de ruido de variación total de una imagen corrompida por ruido gaussiano . Este ejemplo creado usando demo_tv.m por Guy Gilboa, consulte los enlaces externos.

En el procesamiento de señales , particularmente en el procesamiento de imágenes , la eliminación de ruido de variación total , también conocida como regularización de variación total o filtrado de variación total , es un proceso de eliminación de ruido ( filtro ). Se basa en el principio de que las señales con detalles excesivos y posiblemente espurios tienen una variación total alta , es decir, la integral de la magnitud del gradiente de la imagen es alta. Según este principio, reducir la variación total de la señal (sujeto a que coincida estrechamente con la señal original) elimina detalles no deseados y al mismo tiempo preserva detalles importantes como los bordes . El concepto fue iniciado por LI Rudin, S. Osher y E. Fatemi en 1992 y por eso hoy se lo conoce como modelo ROF . ^[1]

Esta técnica de eliminación de ruido tiene ventajas sobre técnicas simples como el suavizado lineal o el filtrado mediano que reducen el ruido pero al mismo tiempo suavizan los bordes en mayor o menor grado. Por el contrario, la eliminación de ruido de variación total es un filtro de preservación de bordes notablemente eficaz , es decir, preserva simultáneamente los bordes y suaviza el ruido en regiones planas, incluso con relaciones señal-ruido bajas. ^[2]

Serie de señales 1D

Aplicación de la eliminación de ruido de variación total 1D a una señal obtenida de un experimento de una sola molécula. ^[3] El gris es la señal original, el negro es la señal sin ruido.

Para una señal digital , podemos, por ejemplo, definir la variación total como ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle V(x)=\sum _{n}|x_{n+1}-x_{n}|.}$

Dada una señal de entrada , el objetivo de la eliminación de ruido de variación total es encontrar una aproximación, llámela , que tenga una variación total menor que pero que esté "cercana" a . Una medida de cercanía es la suma de errores cuadrados: ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^{2}.}$

Entonces, el problema de eliminación de ruido de variación total equivale a minimizar el siguiente funcional discreto sobre la señal : ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y).}$

Al diferenciar este funcional con respecto a , podemos derivar una ecuación de Euler-Lagrange correspondiente , que puede integrarse numéricamente con la señal original como condición inicial. Este fue el enfoque original. ^[1] Alternativamente, dado que se trata de un funcional convexo , se pueden utilizar técnicas de optimización convexa para minimizarlo y encontrar la solución . ^[3] ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$

Propiedades de regularización

El parámetro de regularización juega un papel fundamental en el proceso de eliminación de ruido. Cuando , no hay suavizado y el resultado es el mismo que minimizar la suma de cuadrados. Sin embargo, como señala , el término de variación total juega un papel cada vez más importante, lo que obliga al resultado a tener una variación total menor, a expensas de parecerse menos a la señal de entrada (ruidosa). Por lo tanto, la elección del parámetro de regularización es fundamental para lograr la cantidad justa de eliminación de ruido. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \lambda \to \infty }$

Imágenes de señales 2D

Ahora consideramos señales 2D y , como imágenes. La norma de variación total propuesta por el artículo de 1992 es

${\displaystyle V(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}}$

y es isotrópico y no diferenciable . Una variación que a veces se utiliza, ya que a veces puede ser más fácil de minimizar, es una versión anisotrópica.

${\displaystyle V_{\operatorname {aniso} }(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}}}+{\sqrt {|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}=\sum _{i,j}|y_{i+1,j}-y_{i,j}|+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|.}$

El problema estándar de eliminación de ruido de variación total todavía tiene la forma

${\displaystyle \min _{y}[\operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y)],}$

donde E es la norma 2D L 2 . A diferencia del caso 1D, resolver esta eliminación de ruido no es trivial. Un algoritmo reciente que resuelve esto se conoce como método dual primario . ^[4]

Debido en parte a muchas investigaciones sobre detección comprimida a mediados de la década de 2000, existen muchos algoritmos, como el método dividido de Bregman , que resuelven variantes de este problema.

Rudin-Osher-Fatemi PDE

Supongamos que se nos proporciona una imagen ruidosa y deseamos calcular una imagen sin ruido en un espacio 2D. ROF demostró que el problema de minimización que buscamos resolver es: ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}+{\lambda \over 2}\int _{\Omega }(f-u)^{2}\,dx}$

donde es el conjunto de funciones con variación acotada en el dominio , es la variación total en el dominio y es un término de penalización. Cuando es suave, la variación total es equivalente a la integral de la magnitud del gradiente: ${\textstyle \operatorname {BV} (\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle \operatorname {TV} (\Omega )}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle u}$

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}=\int _{\Omega }\|\nabla u\|\,dx}$

¿Dónde está la norma euclidiana ? Entonces la función objetivo del problema de minimización se convierte en: ${\textstyle \|\cdot \|}$

$${\displaystyle \min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\int _{\Omega }\left[\|\nabla u\|+{\lambda \over 2}(f-u)^{2}\right]\,dx}$$

ecuación diferencial parcial elíptica

${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left({\nabla u \over {\|\nabla u\|}}\right)+\lambda (f-u)=0,\quad &u\in \Omega \\{\partial u \over {\partial n}}=0,\quad &u\in \partial \Omega \end{cases}}}$

Para algunos algoritmos numéricos, es preferible resolver la versión dependiente del tiempo de la ecuación ROF:

$${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}=\nabla \cdot \left({\nabla u \over {\|\nabla u\|}}\right)+\lambda (f-u)}$$

Aplicaciones

El modelo Rudin-Osher-Fatemi fue un componente fundamental en la producción de la primera imagen de un agujero negro . ^[6]

Ver también

• Difusión anisotrópica
• variación acotada
• Persecución básica para eliminar el ruido.
• Algoritmo de Chambolle-Pock
• Procesando imagen digital
• Lazo (estadísticas)
• Reducción de ruido
• Medios no locales
• Procesamiento de la señal
• Variación total

Referencias

1. Rudin, LI; Osher, S.; Fatemi, E. (1992). "Algoritmos de eliminación de ruido basados ​​en variación total no lineal". Física D. 60 (1–4): 259–268. Código bibliográfico : 1992PhyD...60..259R. CiteSeerX  10.1.1.117.1675 . doi :10.1016/0167-2789(92)90242-f.
2. Fuerte, D.; Chan, T. (2003). "Propiedades de regularización de variación total que preservan los bordes y dependen de la escala". Problemas inversos . 19 (6): S165–S187. Código Bib : 2003InvPr..19S.165S. doi :10.1088/0266-5611/19/6/059. S2CID  250761777.
3. Pequeño, MA; Jones, Nick S. (2010). "Filtrado por pasos bayesiano disperso para análisis de alto rendimiento de la dinámica de máquinas moleculares" (PDF) . Actas del ICASSP 2010 . Conferencia internacional IEEE 2010 sobre acústica, habla y procesamiento de señales.
4. Chambolle, A. (2004). "Un algoritmo para aplicaciones y minimización de variación total". Revista de visión y imágenes matemáticas . 20 : 89–97. CiteSeerX 10.1.1.160.5226 . doi :10.1023/B:JMIV.0000011325.36760.1e. S2CID  207622122. 
5. Getreuer, Pascal (2012). "Eliminación de ruido de variación total de Rudin-Osher-Fatemi mediante Split Bregman" (PDF) .
6. "El modelo Rudin-Osher-Fatemi captura el infinito y más allá". IPAM . 2019-04-15 . Consultado el 4 de agosto de 2019 .

enlaces externos

• TVDIP: Implementación completa de eliminación de ruido de variación total de Matlab 1D.
• Variación total primal-dual eficiente
• Algoritmo de eliminación de ruido de imagen TV-L1 en Matlab