Prosteatoféresis

Multiplicación y división aproximadas utilizando fórmulas de trigonometría

La prosthaphaeresis (del griego προσθαφαίρεσις ) fue un algoritmo utilizado a finales del siglo XVI y principios del siglo XVII para la multiplicación y división aproximadas utilizando fórmulas de trigonometría . Durante los 25 años anteriores a la invención del logaritmo en 1614, fue la única forma conocida de aplicación general para aproximar productos rápidamente. Su nombre proviene del griego prosthen (πρόσθεν), que significa antes, y aphaeresis (ἀφαίρεσις), que significa quitar o restar. ^{[1] [2] [3]}

En la antigüedad, el término se utilizaba para indicar una reducción que llevase la posición aparente de un punto o planeta en movimiento a la posición media (véase Ecuación del centro ). Nicolás Copérnico menciona la "prostaféresis" varias veces en su obra de 1543 De Revolutionibus Orbium Coelestium , para indicar la "gran paralaje" causada por el desplazamiento del observador debido al movimiento anual de la Tierra.

Historia y motivación

Un triángulo esférico

En la Europa del siglo XVI, la navegación astronómica de los barcos en viajes largos dependía en gran medida de las efemérides para determinar su posición y rumbo. Estos voluminosos mapas preparados por astrónomos detallaban la posición de las estrellas y los planetas en varios puntos del tiempo. Los modelos utilizados para calcularlos se basaban en la trigonometría esférica , que relaciona los ángulos y las longitudes de arco de los triángulos esféricos (véase el diagrama de la derecha) utilizando fórmulas como

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha }$

y

${\displaystyle \sin b\sin \alpha =\sin a\sin \beta ,}$

donde a , b y c son los ángulos subtendidos en el centro de la esfera por los arcos correspondientes.

Cuando una cantidad de una fórmula es desconocida pero las otras son conocidas, la cantidad desconocida se puede calcular utilizando una serie de multiplicaciones, divisiones y búsquedas en tablas trigonométricas. Los astrónomos tuvieron que hacer miles de cálculos de este tipo y, como el mejor método de multiplicación disponible era la multiplicación larga , la mayor parte de este tiempo se dedicó a multiplicar productos.

Los matemáticos, en particular aquellos que también eran astrónomos, buscaban una forma más sencilla, y la trigonometría era uno de los campos más avanzados y familiares para estas personas. La prostaféresis apareció en la década de 1580, pero no se sabe con certeza quién la originó; ^[4] entre sus colaboradores se encontraban los matemáticos Ibn Yunis , Johannes Werner , Paul Wittich , Joost Bürgi , Christopher Clavius ​​y François Viète . Wittich, Ibn Yunis y Clavius ​​eran astrónomos y varias fuentes les atribuyen el descubrimiento del método. Su defensor más conocido fue Tycho Brahe , quien la utilizó ampliamente para cálculos astronómicos como los descritos anteriormente. También la utilizó John Napier , a quien se le atribuye la invención de los logaritmos que la reemplazarían.

Las identidades

Demostración sin palabras de la identidad del coseno de la suma y la diferencia del producto utilizando un triángulo isósceles : x es en realidad sen  a sen  b

Las identidades trigonométricas que se explotan mediante prostaféresis relacionan los productos de funciones trigonométricas con sumas. Entre ellas se incluyen las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a\sin b&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\cos a\cos b&={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\sin a\cos b&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\[6pt]\cos a\sin b&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\end{aligned}}}$

Se cree que las dos primeras fueron derivadas por Jost Bürgi , ^{[ cita requerida ]} quien las relacionó con [Tycho?] Brahe; ^{[ cita requerida ]} las otras se deducen fácilmente de estas dos. Si ambos lados se multiplican por 2, estas fórmulas también se denominan fórmulas de Werner .

El algoritmo

Comparación de algoritmos de logaritmo (arriba) y prostaféresis (abajo) para multiplicar dos números

Utilizando la segunda fórmula anterior, la técnica para multiplicar dos números funciona de la siguiente manera:

1. Reducir escala : desplazando el punto decimal hacia la izquierda o hacia la derecha, escale ambos números a valores entre y , a los que se hará referencia como y . ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos \alpha }$ ${\displaystyle \cos \beta }$
2. Coseno inverso : utilizando una tabla de cosenos inversos, encuentre dos ángulos cuyos cosenos sean nuestros dos valores. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
3. Suma y diferencia : Encuentra la suma y la diferencia de los dos ángulos.
4. Promedio de los cosenos : Encuentra los cosenos de los ángulos suma y diferencia usando una tabla de cosenos y promedia, dando (de acuerdo con la segunda fórmula anterior) el producto . ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$
5. Aumentar : desplazar el decimal en la respuesta la cantidad combinada de lugares que hemos desplazado el decimal en el primer paso para cada entrada, pero en la dirección opuesta.

Por ejemplo, para multiplicar y : ${\displaystyle 309}$ ${\displaystyle 78.8}$

1. Reducir la escala : desplazar el punto decimal tres y dos lugares hacia la izquierda, respectivamente. Obtenemos y . ${\displaystyle \cos \alpha =0.309}$ ${\displaystyle \cos \beta =0.788}$
2. Coseno inverso : , y . ${\displaystyle \arccos 0.309\approx 72^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos 0.788\approx 38^{\circ }}$
3. Suma y diferencia : , y . ${\displaystyle 72^{\circ }+38^{\circ }=110^{\circ }}$ ${\displaystyle 72^{\circ }-38^{\circ }=34^{\circ }}$
4. El promedio de los cosenos : es aproximadamente . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 110^{\circ }+\cos 34^{\circ })}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(-0.342+0.829)=0.2435}$
5. Escala ascendente : para cada uno de y desplazamos el punto decimal un total de cinco lugares hacia la izquierda, por lo que en la respuesta desplazamos cinco lugares hacia la derecha. El resultado es . Esto es muy cercano al producto real (un error porcentual de aproximadamente 0,003 %). ${\displaystyle 105}$ ${\displaystyle 720}$ ${\displaystyle 24\,350}$ ${\displaystyle 24\,349.2}$

Si queremos el producto de los cosenos de los dos valores iniciales, lo cual es útil en algunos de los cálculos astronómicos mencionados anteriormente, esto es sorprendentemente aún más fácil: solo son necesarios los pasos 3 y 4 anteriores.

Para dividir, utilizamos la definición de secante como el recíproco del coseno. Para dividir por , escalamos los números a y . Ahora es el coseno de . Utilizando una tabla de secantes , encontramos es la secante de . Esto significa que , y por lo tanto podemos multiplicar utilizando el procedimiento anterior. Promediamos el coseno de la suma de los ángulos, , con el coseno de su diferencia, , ${\displaystyle 3420}$ ${\displaystyle 127}$ ${\displaystyle 0.342}$ ${\displaystyle 1.27}$ ${\displaystyle 0.342}$ ${\displaystyle 70^{\circ }}$ ${\displaystyle 1.27}$ ${\displaystyle 38^{\circ }}$ ${\displaystyle 1/1.27\approx \cos 38^{\circ }}$ ${\displaystyle 0.342}$ ${\displaystyle 1/1.27}$ ${\displaystyle 70^{\circ }+38^{\circ }=108^{\circ }}$ ${\displaystyle 70^{\circ }-38^{\circ }=32^{\circ }}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 108^{\circ }+\cos 32^{\circ })\approx {\tfrac {1}{2}}(-0.309+0.848)=0.2695.}$

Al ampliar para localizar el punto decimal se obtiene la respuesta aproximada, . ${\displaystyle 26.95}$

Los algoritmos que utilizan las otras fórmulas son similares, pero cada uno utiliza tablas diferentes (seno, seno inverso, coseno y coseno inverso) en lugares diferentes. Las dos primeras son las más fáciles porque cada una de ellas solo requiere dos tablas. Sin embargo, el uso de la segunda fórmula tiene la ventaja única de que, si solo se dispone de una tabla de cosenos, se puede utilizar para estimar cosenos inversos buscando el ángulo con el valor de coseno más cercano.

Observe lo similar que es el algoritmo anterior al proceso de multiplicación mediante logaritmos, que sigue estos pasos: reducir la escala, tomar los logaritmos, sumar, tomar el logaritmo inverso, aumentar la escala. No es de extrañar que los creadores de los logaritmos hayan utilizado la prostaféresis. De hecho, ambos están estrechamente relacionados matemáticamente. En términos modernos, la prostaféresis puede considerarse como algo que se basa en el logaritmo de números complejos, en particular en la fórmula de Euler.

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Disminuyendo el error

Si todas las operaciones se realizan con gran precisión, el producto puede ser tan exacto como se desee. Aunque las sumas, las diferencias y los promedios son fáciles de calcular con gran precisión, incluso a mano, las funciones trigonométricas y, en especial, las funciones trigonométricas inversas no lo son. Por esta razón, la precisión del método depende en gran medida de la precisión y el detalle de las tablas trigonométricas utilizadas.

Por ejemplo, una tabla de senos con una entrada para cada grado puede tener un error de hasta 0,0087 si simplemente redondeamos un ángulo al grado más cercano ; cada vez que duplicamos el tamaño de la tabla (por ejemplo, dando entradas para cada medio grado en lugar de cada grado) reducimos este error a la mitad. Se construyeron cuidadosamente tablas para prostaféresis con valores para cada segundo, o 3600avos de grado.

Las funciones seno y coseno inversos son particularmente problemáticas, porque se vuelven empinadas cerca de −1 y 1. Una solución es incluir más valores de tabla en esta área. Otra es escalar las entradas a números entre −0,9 y 0,9. Por ejemplo, 950 se convertiría en 0,095 en lugar de 0,950.

Otro método eficaz para mejorar la precisión es la interpolación lineal , que elige un valor entre dos valores de tabla adyacentes. Por ejemplo, si sabemos que el seno de 45° es aproximadamente 0,707 y el seno de 46° es aproximadamente 0,719, podemos estimar el seno de 45,7° como 0,707 × (1 − 0,7) + 0,719 × 0,7 = 0,7154. El seno real es 0,7157. Una tabla de cosenos con solo 180 entradas combinada con interpolación lineal es tan precisa como una tabla con aproximadamente45 000 entradas sin él. Incluso una estimación rápida del valor interpolado suele ser mucho más precisa que el valor de tabla más cercano. Consulte la tabla de búsqueda para obtener más detalles.

Identidades inversas

Las fórmulas de producto también se pueden manipular para obtener fórmulas que expresen la suma en términos de multiplicación. Aunque son menos útiles para calcular productos, siguen siendo útiles para obtener resultados trigonométricos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a+\sin b&=2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\sin a-\sin b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a+\cos b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a-\cos b&=-2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Véase también

• Regla de cálculo

Referencias

1. prosthaphæresis en The Century Dictionary , The Century Co., Nueva York, 1911.
2. Pierce, RC Jr. (enero de 1977). "Una breve historia de los logaritmos". The Two-Year College Mathematics Journal . 8 (1). Asociación Matemática de América: 22–26. doi :10.2307/3026878. JSTOR  3026878.
3. Prosteatoféresis, por Brian Borchers
4. Thoren, Victor E. (1988). "Revisión de la prostaféresis". Historia Mathematica . 15 (1): 32–39. doi : 10.1016/0315-0860(88)90047-X .

Enlaces externos

• Fórmulas de prostaféresis
• Daniel E. Otero Henry Briggs Archivado el 22 de mayo de 2005 en Wayback Machine . Introducción: la necesidad de velocidad en el cálculo.
• Mathworld: Fórmulas de prostaféresis
• Adam Mosley. Tycho Brahe y las técnicas matemáticas. Universidad de Cambridge.
• Sociedad de Computación IEEE. Historia de la informática: John Napier y la invención de los logaritmos.
• Palabras matemáticas: prostaféresis
• Beatrice Lumpkin. Contribuciones africanas y afroamericanas a las matemáticas Archivado el 26 de octubre de 2020 en Wayback Machine . Analiza la contribución de Ibn Yunis a la prostaféresis.
• Prosteaféresis y fenómeno de batido en la teoría de las vibraciones, por Nicholas J. Rose