Densidad de polarización

Campo vectorial que describe la densidad de los momentos dipolares eléctricos en un material dieléctrico.

En el electromagnetismo clásico , la densidad de polarización (o polarización eléctrica , o simplemente polarización ) es el campo vectorial que expresa la densidad volumétrica de los momentos dipolares eléctricos permanentes o inducidos en un material dieléctrico . Cuando un dieléctrico se coloca en un campo eléctrico externo , sus moléculas ganan momento dipolar eléctrico y se dice que el dieléctrico está polarizado.

La polarización eléctrica de una muestra de material dieléctrico dada se define como el cociente del momento dipolar eléctrico (una cantidad vectorial, expresada como culombios *metros (C*m) en unidades SI ) y el volumen (metros cúbicos). ^{[1] [2]} La densidad de polarización se denota matemáticamente por P ; ^[2] en unidades SI, se expresa en culombios por metro cuadrado (C/m ² ).

La densidad de polarización también describe cómo responde un material a un campo eléctrico aplicado, así como la forma en que el material cambia el campo eléctrico, y puede usarse para calcular las fuerzas que resultan de esas interacciones. Se puede comparar con la magnetización , que es la medida de la respuesta correspondiente de un material a un campo magnético en el magnetismo .

Definición

Un campo eléctrico externo que se aplica a un material dieléctrico provoca un desplazamiento de elementos cargados ligados.

Una carga ligada es una carga asociada con un átomo o molécula dentro de un material. Se le llama "ligado" porque no es libre de moverse dentro del material como las cargas libres . Los elementos con carga positiva se desplazan en la dirección del campo y los elementos con carga negativa se desplazan en dirección opuesta a la dirección del campo. Las moléculas pueden permanecer con carga neutra, pero se forma un momento dipolar eléctrico. ^{[3] [4]}

Para un cierto elemento de volumen en el material, que lleva un momento dipolar , definimos la densidad de polarización P : ${\displaystyle \Delta V}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}}$$

En general, el momento dipolar cambia de un punto a otro dentro del dieléctrico. Por tanto, la densidad de polarización P de un dieléctrico dentro de un volumen infinitesimal d V con un momento dipolar infinitesimal d p es: ${\displaystyle \Delta \mathbf {p} }$

La carga neta que aparece como resultado de la polarización se llama carga ligada y se denota . ${\displaystyle Q_{b}}$

Esta definición de densidad de polarización como "momento dipolar por unidad de volumen" es ampliamente adoptada, aunque en algunos casos puede dar lugar a ambigüedades y paradojas. ^[5]

Otras expresiones

Sea un volumen d V aislado dentro del dieléctrico. Debido a la polarización, la carga ligada positiva se desplazará una distancia relativa a la carga ligada negativa , dando lugar a un momento dipolar . La sustitución de esta expresión en ( 1 ) produce ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} }$

$${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} }$$

Dado que la carga limitada en el volumen d V es igual a la ecuación para P se convierte en: ^[3] ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V}$

¿Dónde está la densidad de la carga unida en el volumen considerado? De la definición anterior se desprende claramente que los dipolos son en general neutros y, por lo tanto, están equilibrados por una densidad igual de cargas opuestas dentro del volumen. Los cargos que no están equilibrados son parte del cargo gratuito que se analiza a continuación. ${\displaystyle \rho _{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

Ley de Gauss para el campo de P

Para un volumen dado V encerrado por una superficie S , la carga ligada en su interior es igual al flujo de P a través de S tomado con el signo negativo, o ${\displaystyle Q_{b}}$

Prueba

Sea un área de superficie S que envuelva parte de un dieléctrico. Tras la polarización, las cargas unidas negativas y positivas se desplazarán. Sean d ₁ y d ₂ las distancias de las cargas unidas y , respectivamente, del plano formado por el elemento de área d A después de la polarización. Y sean d V ₁ y d V ₂ los volúmenes encerrados por debajo y por encima del área d A . ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$

Arriba: un volumen elemental d V = d V ₁ + d V ₂ (delimitado por el elemento de área d A ) tan pequeño que se puede pensar que el dipolo encerrado por él es el producido por dos cargas elementales opuestas. Abajo, una vista plana (haga clic en la imagen para ampliarla).

De ello se deduce que la carga ligada negativa se movió desde la parte exterior de la superficie d A hacia adentro, mientras que la carga ligada positiva se movió desde la parte interior de la superficie hacia afuera. ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}=\rho _{b}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}=\rho _{b}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A}$

Según la ley de conservación de la carga, la carga total unida que queda dentro del volumen después de la polarización es: ${\displaystyle \mathrm {d} Q_{b}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{b}^{-}-\mathrm {d} q_{b}^{+}\\&=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}}$$

Desde

$${\displaystyle \rho _{b}^{-}=-\rho _{b}}$$

y (ver imagen a la derecha)

$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=(d-a)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

La ecuación anterior se convierte en

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-\rho _{b}(d-a)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{b}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{b}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{aligned}}}$$

Por ( 2 ) se deduce que , por lo que obtenemos: ${\displaystyle \rho _{b}d=P}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{b}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

Y integrando esta ecuación sobre toda la superficie cerrada S encontramos que

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

lo que completa la prueba.

forma diferencial

Según el teorema de la divergencia, la ley de Gauss para el campo P se puede expresar en forma diferencial como:

$${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} ,}$$

∇· PP ${\displaystyle \rho _{b}}$

Prueba

Por el teorema de la divergencia tenemos que

$${\displaystyle -Q_{b}=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,}$$

para el volumen V que contiene la carga unida . Y dado que la integral de la densidad de carga ligada se toma sobre todo el volumen V encerrado por S , la ecuación anterior produce ${\displaystyle Q_{b}}$ ${\displaystyle Q_{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

$${\displaystyle -\iiint _{V}\rho _{b}\ \mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,}$$

lo cual es cierto si y sólo si ${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} }$

Relación entre los campos de P y E.

Dieléctricos homogéneos e isotrópicos.

Líneas de campo del campo D en una esfera dieléctrica con mayor susceptibilidad que su entorno, colocada en un campo previamente uniforme. ^[6] Las líneas de campo del campo E no se muestran: apuntan en las mismas direcciones, pero muchas líneas de campo comienzan y terminan en la superficie de la esfera, donde hay carga ligada. Como resultado, la densidad de las líneas del campo E es menor dentro de la esfera que fuera, lo que corresponde al hecho de que el campo E es más débil dentro de la esfera que fuera.

En un medio dieléctrico homogéneo , lineal, no dispersivo e isotrópico , la polarización está alineada y es proporcional al campo eléctrico E : ^[7]

$${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,}$$

donde ε ₀ es la constante eléctrica y χ es la susceptibilidad eléctrica del medio. Tenga en cuenta que en este caso χ se simplifica a un escalar, aunque de manera más general es un tensor . Este es un caso particular debido a la isotropía del dieléctrico.

Teniendo en cuenta esta relación entre P y E , la ecuación ( 3 ) queda: ^[3]

${\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

La expresión en la integral es la ley de Gauss para el campo E , que produce la carga total, tanto libre como ligada , en el volumen V encerrado por S. ^[3] Por lo tanto, ${\displaystyle (Q_{f})}$ ${\displaystyle (Q_{b})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}}$$

que se puede escribir en términos de carga libre y densidades de carga ligadas (considerando la relación entre las cargas, sus densidades de carga en volumen y el volumen dado):

$${\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}}$$

Dado que dentro de un dieléctrico homogéneo no puede haber cargas libres , de la última ecuación se deduce que no hay carga ligada en masa en el material . Y dado que las cargas libres pueden acercarse tanto al dieléctrico como a su superficie superior, se deduce que la polarización solo da lugar a una densidad de carga ligada a la superficie (indicada para evitar ambigüedad con la densidad de carga ligada al volumen ). ^[3] ${\displaystyle (\rho _{f}=0)}$ ${\displaystyle (\rho _{b}=0)}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle \rho _{b}}$

${\displaystyle \sigma _{b}}$puede estar relacionado con P mediante la siguiente ecuación: ^[8]

$${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$$

vector normalSdensidad de carga ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}}$

Dieléctricos anisotrópicos

La clase de dieléctricos donde la densidad de polarización y el campo eléctrico no están en la misma dirección se conocen como materiales anisotrópicos .

En tales materiales, el i -ésimo componente de la polarización está relacionado con el j -ésimo componente del campo eléctrico según: ^[7]

$${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},}$$

Esta relación muestra, por ejemplo, que un material puede polarizarse en la dirección x aplicando un campo en la dirección z, y así sucesivamente. El caso de un medio dieléctrico anisotrópico se describe en el campo de la óptica cristalina .

Como en la mayor parte del electromagnetismo, esta relación trata con promedios macroscópicos de los campos y la densidad de los dipolos, de modo que se tiene una aproximación continua de los materiales dieléctricos que desprecia los comportamientos a escala atómica. La polarizabilidad de partículas individuales en el medio se puede relacionar con la susceptibilidad promedio y la densidad de polarización mediante la relación Clausius-Mossotti .

En general, la susceptibilidad es función de la frecuencia ω del campo aplicado. Cuando el campo es una función arbitraria del tiempo t , la polarización es una convolución de la transformada de Fourier de χ ( ω ) con la E ( t ) . Esto refleja el hecho de que los dipolos del material no pueden responder instantáneamente al campo aplicado, y las consideraciones de causalidad conducen a las relaciones de Kramers-Kronig .

Si la polarización P no es linealmente proporcional al campo eléctrico E , el medio se denomina no lineal y se describe mediante el campo de la óptica no lineal . Para una buena aproximación (para campos suficientemente débiles, suponiendo que no haya momentos dipolares permanentes), P suele estar dada por una serie de Taylor en E cuyos coeficientes son las susceptibilidades no lineales:

$${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\epsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots }$$

donde es la susceptibilidad lineal, es la susceptibilidad de segundo orden (que describe fenómenos como el efecto Pockels , la rectificación óptica y la generación de segundo armónico ) y es la susceptibilidad de tercer orden (que describe efectos de tercer orden como el efecto Kerr y la electricidad). rectificación óptica inducida por campo). ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

En materiales ferroeléctricos , no existe ninguna correspondencia uno a uno entre P y E debido a la histéresis .

Densidad de polarización en las ecuaciones de Maxwell.

El comportamiento de los campos eléctricos ( E , D ), campos magnéticos ( B , H ), densidad de carga ( ρ ) y densidad de corriente ( J ) se describen mediante las ecuaciones de Maxwell en la materia .

Relaciones entre E, D y P

En términos de densidades de carga volumétrica, la densidad de carga libre viene dada por ${\displaystyle \rho _{f}}$

$${\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}}$$

¿Dónde está la densidad de carga total? Al considerar la relación de cada uno de los términos de la ecuación anterior con la divergencia de sus campos correspondientes (del campo de desplazamiento eléctrico D , E y P en ese orden), esto se puede escribir como: ^[9] ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$$

Esto se conoce como ecuación constitutiva de los campos eléctricos. Aquí ε ₀ es la permitividad eléctrica del espacio vacío. En esta ecuación, P es el campo (negativo del) inducido en el material cuando las cargas "fijas", los dipolos, se desplazan en respuesta al campo subyacente total E , mientras que D es el campo debido a las cargas restantes, conocido como cargos "gratuitos". ^{[5] [10]}

En general, P varía en función de E según el medio, como se describe más adelante en el artículo. En muchos problemas es más conveniente trabajar con D y las cargas libres que con E y la carga total. ^[1]

Por lo tanto, un medio polarizado, mediante el teorema de Green, se puede dividir en cuatro componentes.

• La densidad de carga volumétrica ligada: ${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$
• La densidad de carga superficial unida: ${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$
• La densidad de carga volumétrica libre: ${\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} }$
• La densidad de carga de la superficie libre: ${\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} }$

Densidad de polarización variable en el tiempo

Cuando la densidad de polarización cambia con el tiempo, la densidad de carga ligada dependiente del tiempo crea una densidad de corriente de polarización de

$${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

de modo que la densidad de corriente total que entra en las ecuaciones de Maxwell está dada por

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$$

donde J _f es la densidad de corriente de carga libre y el segundo término es la densidad de corriente de magnetización (también llamada densidad de corriente ligada ), una contribución de los dipolos magnéticos a escala atómica (cuando están presentes).

Ambigüedad de polarización [ dudoso – discutir ]

Ejemplo de cómo la densidad de polarización en un cristal en masa es ambigua. (a) Un cristal sólido. (b) Al emparejar las cargas positiva y negativa de cierta manera, el cristal parece tener una polarización ascendente. (c) Al emparejar las cargas de manera diferente, el cristal parece tener una polarización descendente.

Materiales cristalinos

La polarización dentro de un sólido, en general, no está definida de manera única. Debido a que un sólido en masa es periódico, se debe elegir una celda unitaria para calcular la polarización (ver figura). ^{[11] [12]} En otras palabras, dos personas, Alice y Bob, mirando el mismo sólido, pueden calcular diferentes valores de P , y ninguno de ellos se equivocará. Por ejemplo, si Alice elige una celda unitaria con iones positivos en la parte superior y Bob elige la celda unitaria con iones negativos en la parte superior, sus vectores P calculados tendrán direcciones opuestas. Alice y Bob estarán de acuerdo sobre el campo eléctrico microscópico E en el sólido, pero no estarán de acuerdo sobre el valor del campo de desplazamiento . ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$

Por otro lado, aunque el valor de P no está definido de manera única en un sólido a granel, las variaciones en P sí lo están . ^[11] Si el cristal cambia gradualmente de una estructura a otra, habrá una corriente dentro de cada celda unitaria, debido al movimiento de los núcleos y los electrones. Esta corriente da como resultado una transferencia macroscópica de carga de un lado del cristal al otro y, por lo tanto, se puede medir con un amperímetro (como cualquier otra corriente) cuando se conectan cables a los lados opuestos del cristal. La integral de tiempo de la corriente es proporcional al cambio en P. La corriente se puede calcular en simulaciones por computadora (como la teoría funcional de la densidad ); La fórmula de la corriente integrada resulta ser un tipo de fase de Berry . ^[11]

La no unicidad de P no es problemática, porque cada consecuencia mensurable de P es de hecho una consecuencia de un cambio continuo en P. ^[11] Por ejemplo, cuando un material se coloca en un campo eléctrico E , que aumenta desde cero hasta un valor finito, las posiciones electrónica e iónica del material cambian ligeramente. Esto cambia P y el resultado es la susceptibilidad eléctrica (y por tanto la permitividad ). Como otro ejemplo, cuando algunos cristales se calientan, sus posiciones electrónica e iónica cambian ligeramente, cambiando P . El resultado es la piroelectricidad . En todos los casos, las propiedades de interés están asociadas con un cambio en P.

Aunque en principio la polarización no es única, en la práctica a menudo (no siempre) se define por convención de una manera específica y única. Por ejemplo, en un cristal perfectamente centrosimétrico , P es exactamente cero debido al razonamiento de simetría.

Esto se puede ver en un material piroeléctrico. Por encima de la temperatura de Curie el material no está polarizado y tiene una configuración centrosimétrica. Bajar la temperatura por debajo de la temperatura de Curie induce una transición de fase estructural que rompe la centrosimetría. La P del material crece proporcionalmente a la distorsión, permitiendo así definirla sin ambigüedades.

Materiales amorfos

Otro problema en la definición de P está relacionado con la elección arbitraria del "volumen unitario", o más precisamente con la escala del sistema . ^[5] Por ejemplo, a escala microscópica un plasma puede considerarse como un gas de cargas libres , por lo que P debería ser cero. Por el contrario, a escala macroscópica , el mismo plasma puede describirse como un medio continuo, que exhibe una permitividad y, por tanto, una polarización neta P ≠ 0 . ${\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1}$

Ver también

• Estructura cristalina
• ferroelectricidad
• electreto
• Polarización (desambiguación)

Referencias y notas

1. Introducción a la electrodinámica (tercera edición), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN  81-7758-293-3
2. Enciclopedia de física de McGraw Hill (segunda edición), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 
3. Irodov, IE (1986). Leyes básicas del electromagnetismo . Editores Mir, editores y distribuidores de CBS. ISBN 81-239-0306-5 
4. Matveev. UNA (1986). Electricidad y magnetismo . Editorial Mir.
5. CA Gonano; RE Zich; M. Mussetta (2015). "Definición de polarización P y magnetización M totalmente coherente con las ecuaciones de Maxwell" (PDF) . Avances en la Investigación Electromagnética B. 64 : 83-101. doi : 10.2528/PIERB15100606 .
6. Basado en ecuaciones de Gray, Andrew (1888). La teoría y práctica de las mediciones absolutas en electricidad y magnetismo. Macmillan & Co. págs. 126-127., que hace referencia a artículos de Sir W. Thomson.
7. Feynman, RP; Leighton, RB y Sands, M. (1964) Conferencias Feynman sobre física: Volumen 2 , Addison-Wesley, ISBN 0-201-02117-X 
8. Electromagnetismo (segunda edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 
9. Saleh, BEA; Teich+, MC (2007). Fundamentos de Fotónica . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley . pag. 154.ISBN _ 978-0-471-35832-9.
10. A. Herczynski (2013). «Cargas y corrientes ligadas» (PDF) . Revista Estadounidense de Física . 81 (3): 202-205. Código Bib : 2013AmJPh..81..202H. doi :10.1119/1.4773441.
11. Resta, Raffaele (1994). "Polarización macroscópica en dieléctricos cristalinos: el enfoque de fase geométrica" ​​(PDF) . Mod. Rev. Física . 66 (3): 899–915. Código Bib : 1994RvMP...66..899R. doi :10.1103/RevModPhys.66.899.Ver también: D Vanderbilt, Fases de Berry y curvaturas en la teoría de la estructura electrónica, un powerpoint de nivel introductorio.
12. Spaldin, Nicola A. (2012). "Una guía para principiantes sobre la teoría moderna de la polarización". Revista de química del estado sólido . 195 : 2–10. arXiv : 1202.1831 . Código Bib : 2012JSSCh.195....2S. doi :10.1016/j.jssc.2012.05.010. S2CID  55374298.

enlaces externos

• Medios relacionados con la polarización eléctrica en Wikimedia Commons