Paradoja del cuervo

Paradoja que surge de la pregunta de qué constituye evidencia de una afirmación

Un cuervo negro y una colección de cuervos que no son negros. La paradoja del cuervo sugiere que ambas imágenes aportan evidencia a la suposición de que todos los cuervos son negros.

La paradoja del cuervo , también conocida como paradoja de Hempel , cuervos de Hempel o, en raras ocasiones, como paradoja de la ornitología de interior , ^[1] es una paradoja que surge de la pregunta de qué constituye una evidencia de la verdad de una afirmación. Observar objetos que no son negros ni cuervos puede aumentar formalmente la probabilidad de que todos los cuervos sean negros, aunque, intuitivamente, estas observaciones no estén relacionadas.

Este problema fue propuesto por el lógico Carl Gustav Hempel en la década de 1940 para ilustrar una contradicción entre la lógica inductiva y la intuición . ^[2]

Paradoja

Hempel describe la paradoja en términos de la hipótesis : ^{[3] [4]}

(1) Todos los cuervos son negros . En forma de implicación, esto se puede expresar como: Si algo es un cuervo, entonces es negro.

Por contraposición , esta afirmación es equivalente a:

(2) Si algo no es negro, entonces no es un cuervo.

En todas las circunstancias en las que (2) es verdadero, (1) también es verdadero—y, de la misma manera, en todas las circunstancias en las que (2) es falso (es decir, si se imagina un mundo en el que existiera algo que no fuera negro, pero sí un cuervo), (1) también es falso.

Dada una afirmación general como que todos los cuervos son negros , una forma de la misma afirmación que se refiera a una instancia observable específica de la clase general se consideraría típicamente como evidencia de esa afirmación general. Por ejemplo,

(3) Mi cuervo mascota es negro.

Es evidencia que apoya la hipótesis de que todos los cuervos son negros .

La paradoja surge cuando se aplica este mismo proceso a la afirmación (2). Al observar una manzana verde, se puede observar:

(4) Esta manzana verde no es negra, y no es un cuervo.

Por el mismo razonamiento, esta afirmación es evidencia de que (2) si algo no es negro entonces no es un cuervo. Pero dado que (como antes) esta afirmación es lógicamente equivalente a (1) todos los cuervos son negros , se deduce que la visión de una manzana verde es evidencia que apoya la noción de que todos los cuervos son negros. Esta conclusión parece paradójica porque implica que se ha obtenido información sobre los cuervos al mirar una manzana.

Resoluciones propuestas

El criterio de Nicod dice que sólo las observaciones de cuervos deberían afectar la opinión de uno sobre si todos los cuervos son negros. La observación de más casos de cuervos negros debería apoyar la opinión, la observación de cuervos blancos o de colores debería contradecirla, y las observaciones de animales que no son cuervos no deberían tener ninguna influencia. ^[5]

La condición de equivalencia de Hempel establece que cuando una proposición, X, proporciona evidencia a favor de otra proposición Y, entonces X también proporciona evidencia a favor de cualquier proposición que sea lógicamente equivalente a Y. ^[6]

La paradoja muestra que el criterio de Nicod y la condición de equivalencia de Hempel no son mutuamente consistentes. Para resolver la paradoja se debe rechazar al menos una de las siguientes opciones: ^[7]

1. instancias negativas que no tienen influencia (!PC),
2. condición de equivalencia (CE), o,
3. Validación por instancias positivas (NC).

Una resolución satisfactoria también debería explicar por qué ingenuamente parece existir una paradoja. Las soluciones que aceptan la conclusión paradójica pueden hacerlo presentando una proposición que intuitivamente sabemos que es falsa pero que se confunde fácilmente con (PC), mientras que las soluciones que rechazan (EC) o (NC) deberían presentar una proposición que intuitivamente sabemos que es verdadera pero que se confunde fácilmente con (EC) o (NC).

Aceptando a los no cuervos como relevantes

Aunque esta conclusión de la paradoja parece contraintuitiva, algunos enfoques aceptan que las observaciones de cuervos (de colores) no vivos pueden, de hecho, constituir evidencia válida en apoyo de hipótesis sobre (la negritud universal de) los cuervos.

La resolución de Hempel

El propio Hempel aceptó la conclusión paradójica, argumentando que la razón por la que el resultado parece paradójico es que poseemos información previa sin la cual la observación de un no cuervo no negro de hecho proporcionaría evidencia de que todos los cuervos son negros.

Lo ilustra con el ejemplo de la generalización "Todas las sales de sodio arden de color amarillo", y nos pide que consideremos la observación que ocurre cuando alguien sostiene un trozo de hielo puro en una llama incolora que no se vuelve amarilla: ^{[3] : 19–20}

Este resultado confirmaría la afirmación de que "lo que no se pone amarillo no es sal de sodio" y, en consecuencia, en virtud de la condición de equivalencia, confirmaría la formulación original. ¿Por qué nos parece paradójico? La razón se hace evidente cuando comparamos la situación anterior con el caso de un experimento en el que se coloca un objeto cuya constitución química aún desconocemos sobre una llama y no se vuelve amarillo, y donde el análisis posterior revela que no contiene sal de sodio. Este resultado, sin duda estaremos de acuerdo, es lo que se esperaba sobre la base de la hipótesis... por lo tanto, los datos aquí obtenidos constituyen una evidencia confirmatoria de la hipótesis...

En los casos aparentemente paradójicos de confirmación, a menudo no estamos juzgando realmente la relación de la evidencia dada, E por sí sola, con la hipótesis H... introducimos tácitamente una comparación de H con un conjunto de evidencia que consiste en E junto con una cantidad adicional de información que tenemos a nuestra disposición; en nuestro ejemplo, esta información incluye el conocimiento (1) de que la sustancia utilizada en el experimento es hielo, y (2) de que el hielo no contiene sal de sodio. Si asumimos esta información adicional como dada, entonces, por supuesto, el resultado del experimento no puede agregar fuerza a la hipótesis en consideración. Pero si tenemos cuidado de evitar esta referencia tácita a conocimiento adicional... las paradojas desaparecen.

Solución bayesiana estándar

Una de las resoluciones propuestas más populares es aceptar la conclusión de que la observación de una manzana verde proporciona evidencia de que todos los cuervos son negros, pero argumentar que la cantidad de confirmación proporcionada es muy pequeña, debido a la gran discrepancia entre el número de cuervos y el número de objetos no negros. Según esta resolución, la conclusión parece paradójica porque estimamos intuitivamente que la cantidad de evidencia proporcionada por la observación de una manzana verde es cero, cuando en realidad es distinta de cero, pero extremadamente pequeña.

La presentación de este argumento por parte de IJ Good en 1960 ^[8] es quizás la más conocida, y variaciones del argumento han sido populares desde entonces ^[9] , aunque había sido presentado en 1958 ^[10] y las primeras formas del argumento aparecieron ya en 1940. ^[11]

El argumento de Good consiste en calcular el peso de la evidencia que proporciona la observación de un cuervo negro o un zapato blanco a favor de la hipótesis de que todos los cuervos de una colección de objetos son negros. El peso de la evidencia es el logaritmo del factor de Bayes , que en este caso es simplemente el factor por el cual cambian las probabilidades de la hipótesis cuando se realiza la observación. El argumento es el siguiente:

... supongamos que hay objetos que podrían verse en cualquier momento, de los cuales son cuervos y son negros, y que cada uno de los objetos tiene probabilidad de ser visto. Sea la hipótesis de que hay cuervos que no son negros, y supongamos que las hipótesis son inicialmente equiprobables. Entonces, si vemos un cuervo negro, el factor de Bayes a favor de es ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2},...,H_{r}}$ ${\displaystyle H_{0}}$

$${\displaystyle {\tfrac {r}{N}}{\Big /}{\text{average}}\left({\tfrac {r-1}{N}},{\tfrac {r-2}{N}},...\ ,{\tfrac {1}{N}}\right)\ =\ {\tfrac {2r}{r-1}}}$$

es decir, aproximadamente 2 si se sabe que el número de cuervos que existen es grande. Pero el factor si vemos un zapato blanco es solo

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\tfrac {N-b}{N}}{\Big /}{\text{average}}\left({\tfrac {N-b-1}{N}},{\tfrac {N-b-2}{N}},...\ ,\max(0,{\tfrac {N-b-r}{N}})\right)\\\ =\ {\frac {N-b}{\max \left(N-b-{\tfrac {r}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\ ,\ {\tfrac {1}{2}}(N-b-1)\right)}}\end{array}}}$$

y esto excede la unidad por sólo aproximadamente si es grande comparado con . Por lo tanto, el peso de la evidencia proporcionada por la visión de un zapato blanco es positivo, pero es pequeño si se sabe que el número de cuervos es pequeño en comparación con el número de objetos no negros. ^[12] ${\displaystyle r/(2N-2b)}$ ${\displaystyle N-b}$ ${\displaystyle r}$

Muchos de los defensores de esta resolución y variantes de la misma han sido defensores de la probabilidad bayesiana, y ahora se la denomina comúnmente solución bayesiana, aunque, como observa Chihara ^[13] , "no existe tal cosa como la solución bayesiana. Hay muchas 'soluciones' diferentes que los bayesianos han propuesto utilizando técnicas bayesianas". Entre los enfoques notables que utilizan técnicas bayesianas (algunas de las cuales aceptan !PC y en su lugar rechazan NC) se incluyen Earman, ^[14] Eells, ^[15] Gibson, ^[16] Hosiasson-Lindenbaum , ^[11] Howson y Urbach, ^[17] Mackie, ^[18] y Hintikka, ^[19] quien afirma que su enfoque es "más bayesiano que la llamada 'solución bayesiana' de la misma paradoja". Entre los enfoques bayesianos que utilizan la teoría de inferencia inductiva de Carnap se incluyen Humburg, ^[20] Maher, ^[7] y Fitelson y Hawthorne. ^[9] Vranas ^[21] introdujo el término "Solución bayesiana estándar" para evitar confusiones.

Enfoque de Carnap

Maher ^[7] acepta la conclusión paradójica y la perfecciona:

Un no cuervo (de cualquier color) confirma que todos los cuervos son negros porque

• (i) la información de que este objeto no es un cuervo elimina la posibilidad de que este objeto sea un contraejemplo de la generalización, y
• (ii) reduce la probabilidad de que los objetos no observados sean cuervos, reduciendo así la probabilidad de que sean contraejemplos de la generalización.

Para llegar a (ii), apela a la teoría de la probabilidad inductiva de Carnap, que es (desde el punto de vista bayesiano) una forma de asignar probabilidades previas que implementa naturalmente la inducción. Según la teoría de Carnap, la probabilidad posterior, , de que un objeto, , tenga un predicado, , después de que se haya observado la evidencia , es: ${\displaystyle P(Fa|E)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle P(Fa|E)\ =\ {\frac {n_{F}+\lambda P(Fa)}{n+\lambda }}}$$

donde es la probabilidad inicial de que tenga el predicado ; es el número de objetos que han sido examinados (según la evidencia disponible ); es el número de objetos examinados que resultaron tener el predicado , y es una constante que mide la resistencia a la generalización. ${\displaystyle P(Fa)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n_{F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \lambda }$

Si es cercano a cero, estará muy cerca de uno después de una sola observación de un objeto que resultó tener el predicado , mientras que si es mucho mayor que , estará muy cerca de independientemente de la fracción de objetos observados que tenían el predicado . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle P(Fa|E)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(Fa|E)}$ ${\displaystyle P(Fa)}$ ${\displaystyle F}$

Utilizando este enfoque de Carnap, Maher identifica una proposición que intuitivamente (y correctamente) sabemos que es falsa, pero que fácilmente confundimos con la conclusión paradójica. La proposición en cuestión es que observar animales que no son cuervos nos dice cuál es el color de los cuervos. Si bien esto es intuitivamente falso y también es falso según la teoría de inducción de Carnap, observar animales que no son cuervos (según esa misma teoría) hace que reduzcamos nuestra estimación del número total de cuervos y, por lo tanto, reduce el número estimado de posibles contraejemplos a la regla de que todos los cuervos son negros.

Por lo tanto, desde el punto de vista bayesiano-carnapiano, la observación de un no cuervo no nos dice nada sobre el color de los cuervos, pero nos dice sobre la prevalencia de los cuervos y apoya la afirmación "Todos los cuervos son negros" al reducir nuestra estimación del número de cuervos que podrían no ser negros.

El papel del conocimiento previo

Gran parte de la discusión sobre la paradoja en general y el enfoque bayesiano en particular se ha centrado en la relevancia del conocimiento de fondo. Sorprendentemente, Maher ^[7] muestra que, para una gran clase de posibles configuraciones de conocimiento de fondo, la observación de un no-cuervo no negro proporciona exactamente la misma cantidad de confirmación que la observación de un cuervo negro. Las configuraciones de conocimiento de fondo que él considera son aquellas proporcionadas por una proposición de muestra , a saber, una proposición que es una conjunción de proposiciones atómicas, cada una de las cuales atribuye un solo predicado a un solo individuo, sin que haya dos proposiciones atómicas que involucren al mismo individuo. Por lo tanto, una proposición de la forma "A es un cuervo negro y B es un zapato blanco" puede considerarse una proposición de muestra tomando "cuervo negro" y "zapato blanco" como predicados.

La prueba de Maher parece contradecir el resultado del argumento bayesiano, que era que la observación de un no cuervo no negro proporciona mucha menos evidencia que la observación de un cuervo negro. La razón es que el conocimiento de fondo que Good y otros utilizan no puede expresarse en forma de una proposición de muestra; en particular, las variantes del enfoque bayesiano estándar a menudo suponen (como hizo Good en el argumento citado anteriormente) que el número total de cuervos, objetos no negros y/o el número total de objetos son cantidades conocidas. Maher comenta que "la razón por la que pensamos que hay más cosas no negras que cuervos es porque eso ha sido cierto con respecto a las cosas que hemos observado hasta la fecha. La evidencia de este tipo puede representarse mediante una proposición de muestra. Pero... dada cualquier proposición de muestra como evidencia de fondo, un no cuervo no negro confirma A con la misma fuerza que un cuervo negro... Por lo tanto, mi análisis sugiere que esta respuesta a la paradoja [es decir, la bayesiana estándar] no puede ser correcta".

Fitelson y Hawthorne ^[9] examinaron las condiciones en las que la observación de un cuervo que no es negro proporciona menos evidencia que la observación de un cuervo negro. Demuestran que, si es un objeto seleccionado al azar, es la proposición de que el objeto es negro y es la proposición de que el objeto es un cuervo, entonces la condición: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Ba}$ ${\displaystyle Ra}$

$${\displaystyle {\frac {P({\overline {Ba}}|{\overline {H}})}{P(Ra|{\overline {H}})}}\ -\ P({\overline {Ba}}|Ra{\overline {H}})\ \geq \ P(Ba|Ra{\overline {H}}){\frac {P({\overline {Ba}}|H)}{P(Ra|H)}}}$$

Es suficiente que la observación de un no cuervo que no sea negro proporcione menos evidencia que la observación de un cuervo negro. Aquí, una línea sobre una proposición indica la negación lógica de esa proposición.

Esta condición no nos dice qué tan grande es la diferencia en la evidencia proporcionada, pero un cálculo posterior en el mismo artículo muestra que el peso de la evidencia proporcionada por un cuervo negro excede al proporcionado por un cuervo no negro en aproximadamente . Esto es igual a la cantidad de información adicional (en bits, si la base del logaritmo es 2) que se proporciona cuando se descubre que un cuervo de color desconocido es negro, dada la hipótesis de que no todos los cuervos son negros. ${\displaystyle -\log P(Ba|Ra{\overline {H}})}$

Fitelson y Hawthorne ^[9] explican que:

En circunstancias normales, puede estar en torno a 0,9 o 0,95; por lo tanto, está en torno a 1,11 o 1,05. Por lo tanto, puede parecer que una única instancia de un cuervo negro no arrojaría mucho más respaldo que un cuervo no negro. Sin embargo, en condiciones plausibles se puede demostrar que una secuencia de instancias (es decir, de n cuervos negros, en comparación con n cuervos no negros) arroja una razón de razones de verosimilitud del orden de , que se dispara significativamente para valores grandes de . ${\displaystyle p=P(Ba|Ra{\overline {H}})}$ ${\displaystyle 1/p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (1/p)^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Los autores señalan que su análisis es completamente consistente con la suposición de que un no-cuervo que no es negro proporciona una cantidad extremadamente pequeña de evidencia, aunque no intentan probarlo; simplemente calculan la diferencia entre la cantidad de evidencia que proporciona un cuervo negro y la cantidad de evidencia que proporciona un no-cuervo que no es negro.

Disputando la inducción a partir de instancias positivas

Algunos enfoques para resolver la paradoja se centran en el paso inductivo y cuestionan si la observación de un caso particular (como un cuervo negro) es el tipo de evidencia que necesariamente aumenta la confianza en la hipótesis general (como que los cuervos son siempre negros).

Pista falsa

Good ^[22] da un ejemplo de conocimiento de fondo con respecto al cual la observación de un cuervo negro disminuye la probabilidad de que todos los cuervos sean negros:

Supongamos que sabemos que estamos en uno u otro de dos mundos, y la hipótesis, H, que se está considerando es que todos los cuervos de nuestro mundo son negros. Sabemos de antemano que en un mundo hay cien cuervos negros, ningún cuervo que no sea negro y un millón de otros pájaros; y que en el otro mundo hay mil cuervos negros, un cuervo blanco y un millón de otros pájaros. Se selecciona un pájaro al azar de forma equiprobable entre todos los pájaros de nuestro mundo. Resulta ser un cuervo negro. Esto es una prueba contundente... de que estamos en el segundo mundo, en el que no todos los cuervos son negros.

Good concluye que el zapato blanco es una « pista falsa »: a veces, incluso un cuervo negro puede constituir una prueba contra la hipótesis de que todos los cuervos son negros, por lo que el hecho de que la observación de un zapato blanco pueda apoyarla no es sorprendente y no merece atención. El criterio de Nicod es falso, según Good, y por lo tanto la conclusión paradójica no se sigue.

Hempel rechazó esto como una solución a la paradoja, insistiendo en que la proposición 'c es un cuervo y es negro' debe ser considerada "por sí misma y sin referencia a ninguna otra información", y señalando que "se enfatizó en la sección 5.2(b) de mi artículo en Mind ... que la apariencia misma de paradójicamente en casos como el del zapato blanco resulta en parte de una falla en la observación de esta máxima". ^[23]

La pregunta que surge entonces es si la paradoja debe entenderse en el contexto de absolutamente ninguna información de fondo (como sugiere Hempel), o en el contexto de la información de fondo que realmente poseemos sobre los cuervos y los objetos negros, o con respecto a todas las configuraciones posibles de información de fondo.

Good había demostrado que, para algunas configuraciones de conocimiento de fondo, el criterio de Nicod es falso (siempre que estemos dispuestos a equiparar "apoyar inductivamente" con "aumentar la probabilidad de" – ver más abajo). Quedaba la posibilidad de que, con respecto a nuestra configuración actual de conocimiento, que es muy diferente del ejemplo de Good, el criterio de Nicod pudiera ser todavía cierto y, por lo tanto, todavía podríamos llegar a la conclusión paradójica. Hempel, por otra parte, insiste en que nuestro propio conocimiento de fondo es la pista falsa, y que deberíamos considerar la inducción con respecto a una condición de ignorancia perfecta.

El bebé del bien

En su propuesta de resolución, Maher implícitamente hizo uso del hecho de que la proposición “Todos los cuervos son negros” es altamente probable cuando es altamente probable que no haya cuervos. Good había usado este hecho antes para responder a la insistencia de Hempel en que el criterio de Nicod debía entenderse válido en ausencia de información de fondo: ^[24]

... Imaginemos un bebé recién nacido infinitamente inteligente que tiene circuitos neuronales incorporados que le permiten manejar la lógica formal, la sintaxis inglesa y la probabilidad subjetiva. Ahora podría argumentar, después de definir un cuervo en detalle, que es extremadamente improbable que existan cuervos y, por lo tanto, es extremadamente probable que todos los cuervos sean negros, es decir, que eso es cierto. "Por otro lado", continúa argumentando, "si hay cuervos, entonces hay una probabilidad razonable de que sean de una variedad de colores. Por lo tanto, si descubriera que existe incluso un cuervo negro, lo consideraría menos probable de lo que era inicialmente". ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Según Good, esto es lo más cerca que se puede llegar razonablemente a una condición de ignorancia perfecta, y parece que la condición de Nicod sigue siendo falsa. Maher hizo más preciso el argumento de Good al utilizar la teoría de la inducción de Carnap para formalizar la noción de que si hay un cuervo, entonces es probable que haya muchos. ^[25]

El argumento de Maher considera un universo de exactamente dos objetos, cada uno de los cuales tiene muy poca probabilidad de ser un cuervo (una probabilidad entre mil) y es razonablemente improbable que sea negro (una probabilidad entre diez). Utilizando la fórmula de inducción de Carnap, descubre que la probabilidad de que todos los cuervos sean negros disminuye de 0,9985 a 0,8995 cuando se descubre que uno de los dos objetos es un cuervo negro.

Maher concluye que no sólo es verdadera la conclusión paradójica, sino que el criterio de Nicod es falso en ausencia de conocimiento de fondo (excepto el conocimiento de que el número de objetos en el universo es dos y que los cuervos son menos probables que las cosas negras).

Predicados distinguidos

Quine ^[26] argumentó que la solución a la paradoja radica en el reconocimiento de que ciertos predicados , a los que llamó clases naturales , tienen un estatus distinguido con respecto a la inducción. Esto puede ilustrarse con el ejemplo de Nelson Goodman del predicado grue . Un objeto es grue si es azul antes (digamos) de 2024 y verde después. Claramente, esperamos que los objetos que eran azules antes de 2024 sigan siendo azules después, pero no esperamos que los objetos que se encontraron como grue antes de 2024 sean azules después de 2024, ya que después de 2024 serían verdes. La explicación de Quine es que "azul" es una clase natural; un predicado privilegiado que podemos usar para la inducción, mientras que "grue" no es una clase natural y usar la inducción con él conduce a error.

Esto sugiere una solución a la paradoja: el criterio de Nicod es verdadero para los tipos naturales, como "azul" y "negro", pero es falso para predicados artificialmente inventados, como "grue" o "no-cuervo". La paradoja surge, según esta solución, porque interpretamos implícitamente el criterio de Nicod como aplicable a todos los predicados cuando, de hecho, sólo se aplica a los tipos naturales.

^{Hintikka [19]} adoptó otro enfoque que favorece predicados específicos sobre otros. Hintikka se sintió motivado a encontrar un enfoque bayesiano para la paradoja que no hiciera uso del conocimiento sobre las frecuencias relativas de los cuervos y las cosas negras. Los argumentos sobre las frecuencias relativas, sostiene, no siempre pueden explicar la irrelevancia percibida de la evidencia consistente en observaciones de objetos de tipo A para los fines de aprender sobre objetos de tipo no-A.

Su argumento puede ilustrarse reformulando la paradoja utilizando predicados distintos de "cuervo" y "negro". Por ejemplo, "Todos los hombres son altos" es equivalente a "Todas las personas bajas son mujeres", y por lo tanto, observar que una persona seleccionada al azar es una mujer baja debería proporcionar evidencia de que todos los hombres son altos. A pesar del hecho de que carecemos de conocimientos de fondo que indiquen que hay dramáticamente menos hombres que personas bajas, todavía nos sentimos inclinados a rechazar la conclusión. El ejemplo de Hintikka es el siguiente: "una generalización como 'ningún cuerpo material es infinitamente divisible' parece no verse afectada en absoluto por cuestiones relativas a entidades inmateriales, independientemente de lo que uno piense de las frecuencias relativas de entidades materiales e inmateriales en su universo de discurso". ^[19]

Su solución consiste en introducir un orden en el conjunto de predicados. Cuando el sistema lógico está dotado de este orden, es posible restringir el alcance de una generalización como “Todos los cuervos son negros” de modo que se aplique únicamente a los cuervos y no a las cosas que no son negras, ya que el orden privilegia a los cuervos sobre las cosas que no son negras. Como él lo expresa:

Si tenemos derecho a suponer que el alcance de la generalización “Todos los cuervos son negros” puede restringirse a los cuervos, entonces esto significa que tenemos cierta información externa en la que podemos confiar en relación con la situación fáctica. La paradoja surge del hecho de que esta información, que colorea nuestra visión espontánea de la situación, no está incorporada en los tratamientos habituales de la situación inductiva. ^[19]

Rechazos de la condición de equivalencia de Hempel

Algunos enfoques para la resolución de la paradoja rechazan la condición de equivalencia de Hempel. Es decir, no pueden considerar que la evidencia que respalda la afirmación de que todos los objetos no negros no son cuervos respalde necesariamente afirmaciones lógicamente equivalentes como que todos los cuervos son negros .

Confirmación selectiva

Scheffler y Goodman ^[27] adoptaron un enfoque de la paradoja que incorpora la visión de Karl Popper de que las hipótesis científicas nunca se confirman realmente, solo se refutan.

El enfoque comienza señalando que la observación de un cuervo negro no prueba que “todos los cuervos son negros”, sino que refuta la hipótesis contraria: “ningún cuervo es negro”. Por otra parte, un cuervo que no es negro es coherente tanto con “todos los cuervos son negros” como con “ningún cuervo es negro”. Como lo expresan los autores:

... la afirmación de que todos los cuervos son negros no sólo se satisface con la evidencia de un cuervo negro, sino que se ve favorecida por dicha evidencia, puesto que un cuervo negro refuta la afirmación contraria de que no todos los cuervos son negros, es decir, satisface su negación. En otras palabras, un cuervo negro satisface la hipótesis de que todos los cuervos son negros en lugar de no serlo: por lo tanto, confirma selectivamente que todos los cuervos son negros .

La confirmación selectiva viola la condición de equivalencia ya que un cuervo negro confirma selectivamente "Todos los cuervos son negros" pero no "Todas las cosas que no son negras no son cuervos".

Inducción probabilística o no probabilística

El concepto de confirmación selectiva de Scheffler y Goodman es un ejemplo de una interpretación de "proporciona evidencia a favor de..." que no coincide con "aumenta la probabilidad de...". Esta debe ser una característica general de todas las resoluciones que rechazan la condición de equivalencia, ya que las proposiciones lógicamente equivalentes siempre deben tener la misma probabilidad.

Es imposible que la observación de un cuervo negro aumente la probabilidad de la proposición “Todos los cuervos son negros” sin provocar exactamente el mismo cambio en la probabilidad de que “Todas las cosas que no son negras no sean cuervos”. Si una observación apoya inductivamente la primera pero no la segunda, entonces “apoya inductivamente” debe referirse a algo distinto de cambios en las probabilidades de las proposiciones. Una posible escapatoria es interpretar “Todos” como “Casi todos” – “Casi todos los cuervos son negros” no es equivalente a “Casi todas las cosas que no son negras no son cuervos”, y estas proposiciones pueden tener probabilidades muy diferentes. ^[28]

Esto plantea la cuestión más amplia de la relación entre la teoría de la probabilidad y el razonamiento inductivo. Karl Popper sostuvo que la teoría de la probabilidad por sí sola no puede explicar la inducción. Su argumento implica dividir una hipótesis, , en una parte que se deduce deductivamente de la evidencia, , y otra parte. Esto se puede hacer de dos maneras. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$

En primer lugar, consideremos la división: ^[29]

$${\displaystyle H=A\ and\ B\ \ \ \ \ \ E=B\ and\ C}$$

donde , y son probabilísticamente independientes: y así sucesivamente. La condición necesaria para que sea posible dicha división de H y E es , es decir, que esté respaldada probabilísticamente por . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$ ${\displaystyle P(H|E)>P(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$

La observación de Popper es que la parte, , de que recibe apoyo de en realidad se sigue deductivamente de , mientras que la parte de que no se sigue deductivamente de no recibe apoyo en absoluto de , es decir, . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P(A|E)=P(A)}$

En segundo lugar, la división: ^[30]

$${\displaystyle H=(H\ or\ E)\ and\ (H\ or\ {\overline {E}})}$$

se separa en , que como dice Popper, "es la parte lógicamente más fuerte de (o del contenido de ) que se sigue [deductivamente] de ", y , que, dice, "contiene todo lo que va más allá ". Continúa: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H\ or\ E)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$

¿ Acaso en este caso , proporciona algún respaldo al factor , que en presencia de es el único necesario para obtener ? La respuesta es: no. Nunca lo hace. De hecho, contrarresta a menos que o (que son posibilidades sin interés). ... ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (H\ or\ {\overline {E}})}$ ${\displaystyle P(H|E)=1}$ ${\displaystyle P(E)=1}$

Este resultado es completamente devastador para la interpretación inductiva del cálculo de probabilidades. Todo respaldo probabilístico es puramente deductivo: la parte de una hipótesis que no se desprende deductivamente de la evidencia siempre está fuertemente contrarrestada por la evidencia... Existe algo llamado respaldo probabilístico; incluso podría existir algo llamado respaldo inductivo (aunque difícilmente lo creamos). Pero el cálculo de probabilidades revela que el respaldo probabilístico no puede ser respaldo inductivo.

Enfoque ortodoxo

La teoría ortodoxa de Neyman-Pearson sobre las pruebas de hipótesis considera cómo decidir si se acepta o rechaza una hipótesis, en lugar de qué probabilidad asignar a la hipótesis. Desde este punto de vista, la hipótesis de que "todos los cuervos son negros" no se acepta gradualmente , a medida que su probabilidad aumenta hacia uno cuando se realizan más y más observaciones, sino que se acepta en una sola acción como resultado de evaluar los datos que ya se han recopilado. Como lo expresaron Neyman y Pearson:

Sin esperar saber si cada hipótesis por separado es verdadera o falsa, podemos buscar reglas que rijan nuestro comportamiento con respecto a ellas, y al seguirlas aseguraremos que, a largo plazo, no nos equivocaremos con demasiada frecuencia. ^[31]

Según este enfoque, no es necesario asignar ningún valor a la probabilidad de una hipótesis , aunque ciertamente hay que tener en cuenta la probabilidad de los datos dada la hipótesis, o dada una hipótesis competidora, a la hora de decidir si se acepta o se rechaza. La aceptación o el rechazo de una hipótesis conlleva el riesgo de error .

Esto contrasta con el enfoque bayesiano, que requiere que a la hipótesis se le asigne una probabilidad previa, que se revisa a la luz de los datos observados para obtener la probabilidad final de la hipótesis. Dentro del marco bayesiano no hay riesgo de error ya que las hipótesis no se aceptan ni se rechazan, sino que se les asignan probabilidades.

Se ha realizado un análisis de la paradoja desde el punto de vista ortodoxo, que conduce, entre otras cosas, al rechazo de la condición de equivalencia:

Parece obvio que no se puede aceptar la hipótesis de que todos los P son Q y al mismo tiempo rechazar la contrapositiva, es decir, que todos los no Q son no P. Sin embargo, es fácil ver que en la teoría de pruebas de Neyman-Pearson, una prueba de "Todos los P son Q" no es necesariamente una prueba de "Todos los no Q son no P" o viceversa. Una prueba de "Todos los P son Q" requiere referencia a alguna hipótesis estadística alternativa de la forma de todos los P son Q, , mientras que una prueba de "Todos los no Q son no P" requiere referencia a alguna alternativa estadística de la forma de todos los no Q son no P, . Pero estos dos conjuntos de alternativas posibles son diferentes... Por lo tanto, se podría tener una prueba de sin tener una prueba de su contrapositiva. ^[32] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle H}$

Rechazando la implicación material

Las siguientes proposiciones se implican entre sí: «Todo objeto es negro o no es un cuervo», «Todo cuervo es negro» y «Todo objeto no negro es un no cuervo». Por tanto, son, por definición, lógicamente equivalentes. Sin embargo, las tres proposiciones tienen dominios diferentes: la primera proposición dice algo sobre «todo objeto», mientras que la segunda dice algo sobre «todo cuervo».

La primera proposición es la única cuyo dominio de cuantificación es irrestricto ("todos los objetos"), por lo que es la única que puede expresarse en lógica de primer orden . Es lógicamente equivalente a:

$${\displaystyle \forall \ x,Rx\ \rightarrow \ Bx}$$

y también a

$${\displaystyle \forall \ x,{\overline {Bx}}\ \rightarrow \ {\overline {Rx}}}$$

donde indica el condicional material , según el cual "Si entonces " puede entenderse como " o ". ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$

Varios autores han argumentado que la implicación material no capta completamente el significado de “Si entonces ” (ver las paradojas de la implicación material ). “Para cada objeto, , es negro o no es un cuervo” es verdadero cuando no hay cuervos. Es por esto que “Todos los cuervos son negros” se considera verdadero cuando no hay cuervos. Además, los argumentos que Good y Maher usaron para criticar el criterio de Nicod (ver § El bebé de Good, arriba) se basaron en este hecho: que “Todos los cuervos son negros” es altamente probable cuando es altamente probable que no haya cuervos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Decir que todos los cuervos son negros en ausencia de cuervos es una afirmación vacía. No se refiere a nada. "Todos los cuervos son blancos" es igualmente relevante y verdadera, si se considera que esta afirmación tiene alguna verdad o relevancia.

Algunas aproximaciones a la paradoja han buscado encontrar otras formas de interpretar "Si entonces " y "Todos son ", lo que eliminaría la equivalencia percibida entre "Todos los cuervos son negros" y "Todas las cosas no negras no son cuervos". ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Una de esas estrategias consiste en introducir una lógica polivalente según la cual “Si entonces ” tiene el valor de verdad , es decir, “Indeterminado” o “Inapropiado” cuando es falso. ^[33] En un sistema de este tipo, la contraposición no está permitida automáticamente: “Si entonces ” no es equivalente a “Si entonces ”. En consecuencia, “Todos los cuervos son negros” no es equivalente a “Todas las cosas que no son negras no son cuervos”. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\overline {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$

En este sistema, cuando se produce la contraposición, la modalidad del condicional implicado cambia del indicativo (“Si ese trozo de mantequilla se hubiera calentado a 32 °C, entonces se habría derretido”) al contrafáctico (“Si ese trozo de mantequilla se hubiera calentado a 32 °C, entonces se habría derretido”). Según este argumento, esto elimina la supuesta equivalencia que es necesaria para concluir que las vacas amarillas pueden informarnos sobre los cuervos:

En el uso gramatical correcto, un argumento contrapositivo no debería enunciarse íntegramente en indicativo. Así:

Del hecho de que si se raya este fósforo se encenderá, se deduce que si no se enciende es que no se ha rayado.

es incómodo. Deberíamos decir:

Del hecho de que si se raya este fósforo se encenderá, se sigue que si no se encendiera no se habría rayado. ...

Uno podría preguntarse qué efecto tiene esta interpretación de la Ley de Contraposición sobre la paradoja de confirmación de Hempel. “Si es un cuervo entonces es negro” es equivalente a “Si no fuera negro entonces no sería un cuervo”. Por lo tanto, lo que confirma lo último también debería, por la Condición de Equivalencia, confirmar lo primero. Es cierto, pero las vacas amarillas todavía no pueden figurar en la confirmación de “Todos los cuervos son negros” porque, en ciencia, la confirmación se logra por predicción, y las predicciones se formulan correctamente en el modo indicativo. No tiene sentido preguntar qué confirma un contrafáctico. ^[33] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Diferentes resultados de la aceptación de las hipótesis

Varios comentaristas han observado que las proposiciones “Todos los cuervos son negros” y “Todas las cosas que no son negras no son cuervos” sugieren diferentes procedimientos para probar las hipótesis. Por ejemplo, Good escribe: ^[8]

Como proposiciones, las dos afirmaciones son lógicamente equivalentes, pero tienen un efecto psicológico diferente en el experimentador. Si se le pide que pruebe si todos los cuervos son negros, buscará un cuervo y luego decidirá si es negro. Pero si se le pide que pruebe si todas las cosas que no son negras no son cuervos, puede buscar un objeto que no sea negro y luego decidir si es un cuervo.

Más recientemente, se ha sugerido que "Todos los cuervos son negros" y "Todas las cosas que no son negras no son cuervos" pueden tener diferentes efectos cuando se aceptan . ^[34] El argumento considera situaciones en las que se desconocen los números totales o las prevalencias de cuervos y objetos negros, pero se estiman. Cuando se acepta la hipótesis "Todos los cuervos son negros", según el argumento, el número estimado de objetos negros aumenta, mientras que el número estimado de cuervos no cambia.

Esto se puede ilustrar considerando la situación de dos personas que tienen información idéntica sobre los cuervos y los objetos negros, y que tienen estimaciones idénticas de la cantidad de cuervos y objetos negros. Para ser más concretos, supongamos que hay 100 objetos en total y, según la información disponible para las personas involucradas, cada objeto tiene la misma probabilidad de ser un cuervo que de no serlo, y la misma probabilidad de ser negro que de no serlo:

$${\displaystyle P(Ra)={\frac {1}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ P(Ba)={\frac {1}{2}}}$$

y las proposiciones son independientes para diferentes objetos , y así sucesivamente. Entonces, el número estimado de cuervos es 50; el número estimado de cosas negras es 50; el número estimado de cuervos negros es 25, y el número estimado de cuervos no negros (contraejemplos de las hipótesis) es 25. ${\displaystyle Ra,\ Rb}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Una de las personas realiza una prueba estadística (por ejemplo, una prueba de Neyman-Pearson o la comparación del peso acumulado de la evidencia con un umbral) de la hipótesis de que "Todos los cuervos son negros", mientras que la otra prueba la hipótesis de que "Todos los objetos no negros no son cuervos". Para simplificar, supongamos que la evidencia utilizada para la prueba no tiene nada que ver con la colección de 100 objetos tratados aquí. Si la primera persona acepta la hipótesis de que "Todos los cuervos son negros", entonces, según el argumento, alrededor de 50 objetos cuyos colores antes estaban en duda (los cuervos) ahora se consideran negros, mientras que no se piensa nada diferente sobre los objetos restantes (los no cuervos). En consecuencia, debería estimar el número de cuervos negros en 50, el número de no cuervos negros en 25 y el número de no cuervos no negros en 25. Al especificar estos cambios, este argumento restringe explícitamente el dominio de "Todos los cuervos son negros" a los cuervos.

Por otra parte, si la segunda persona acepta la hipótesis de que "Todos los objetos no negros no son cuervos", entonces los aproximadamente 50 objetos no negros sobre los cuales no se sabía con certeza si cada uno era un cuervo, se considerarán no cuervos. Al mismo tiempo, no se pensará nada diferente sobre los aproximadamente 50 objetos restantes (los objetos negros). En consecuencia, debería estimar el número de cuervos negros en 25, el número de no cuervos negros en 25 y el número de no cuervos no negros en 50. Según este argumento, dado que las dos personas no están de acuerdo sobre sus estimaciones después de haber aceptado las diferentes hipótesis, aceptar "Todos los cuervos son negros" no es equivalente a aceptar "Todas las cosas no negras no son cuervos"; aceptar lo primero significa estimar que más cosas son negras, mientras que aceptar lo segundo implica estimar que más cosas no son cuervos. En consecuencia, el argumento continúa, el primero requiere como evidencia cuervos que resulten ser negros y el segundo requiere cosas no negras que resulten no ser cuervos. ^[34]

Presuposiciones existenciales

Varios autores han argumentado que las proposiciones de la forma "Todos son " presuponen que hay objetos que son . ^[35] Este análisis se ha aplicado a la paradoja del cuervo: ^[36] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

... : "Todos los cuervos son negros" y : "Todas las cosas no negras son no cuervos" no son estrictamente equivalentes ... debido a sus diferentes presuposiciones existenciales. Además, aunque y describen la misma regularidad –la inexistencia de cuervos no negros– tienen diferentes formas lógicas. Las dos hipótesis tienen sentidos diferentes e incorporan diferentes procedimientos para probar la regularidad que describen. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Una lógica modificada puede tener en cuenta las presuposiciones existenciales utilizando el operador presuposicional '*'. Por ejemplo,

$${\displaystyle \forall \ x,\ *Rx\rightarrow Bx}$$

puede denotar "Todos los cuervos son negros" al tiempo que indica que son cuervos y no objetos no negros los que se supone que existen en este ejemplo.

... la forma lógica de cada hipótesis la distingue con respecto a su tipo recomendado de evidencia de apoyo: las instancias de sustitución posiblemente verdaderas de cada hipótesis se relacionan con diferentes tipos de objetos. El hecho de que las dos hipótesis incorporen diferentes tipos de procedimientos de prueba se expresa en el lenguaje formal anteponiendo el operador '*' a un predicado diferente. El operador presuposicional sirve así también como operador de relevancia. Se antepone al predicado ' es un cuervo' en porque los objetos relevantes para el procedimiento de prueba incorporado en "Todos los cuervos son negros" incluyen sólo cuervos; se antepone al predicado ' no es negro', en , porque los objetos relevantes para el procedimiento de prueba incorporado en "Todas las cosas no negras son no cuervos" incluyen sólo cosas no negras. ... Utilizando términos fregeanos : siempre que sus presuposiciones se cumplen, las dos hipótesis tienen el mismo referente (valor de verdad), pero diferentes sentidos ; es decir, expresan dos formas diferentes de determinar ese valor de verdad. ^[36] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Véase también

• Falacia de asociación
• Epistemología bayesiana
• Teoría del cisne negro
• Lista de paradojas

Notas

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4. Hempel, CG (1945). "Estudios sobre la lógica de la confirmación II" (PDF) . Mind . 54 (214): 97–121. doi :10.1093/mind/LIV.214.97. JSTOR  2250948. Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09.
5. Fetzer, James (otoño de 2017). "Carl Hempel". Stanford Encyclopedia of Philosophy . Nicod había propuesto que, en relación con las hipótesis condicionales, las instancias de sus antecedentes que también son instancias de sus consecuentes las confirman; las instancias de sus antecedentes que no son instancias de sus consecuentes las refutan; y las no instancias de sus antecedentes son neutrales, ni confirman ni refutan.
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12. Nota: Good utilizó "cuervo" en lugar de "cuervo", pero "cuervo" se ha utilizado aquí en todo momento para mantener la coherencia.
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Lectura adicional

• Chang, Hasok ; Fisher, Grant (2011). "Lo que los cuervos realmente nos enseñan: la contextualidad intrínseca de la evidencia". En Dawid, Philip; Twining, William L.; Vasilaki, Mimi (eds.). Evidencia, inferencia e investigación . Actas de la Academia Británica. Vol. 171. Oxford; Nueva York: Oxford University Press. doi :10.5871/bacad/9780197264843.003.0013. ISBN 9780197264843.OCLC 709682874  .
• Franceschi, Paul (4 de febrero de 2011). "El argumento del fin del mundo y el problema de Hempel". paulfranceschi.com . Consultado el 27 de abril de 2020 .Traducción al inglés de un artículo publicado inicialmente en francés como: Franceschi, Paul (marzo de 1999). "Comentar l'Urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel". Revista Canadiense de Filosofía . 29 (1): 139-156. doi :10.1080/00455091.1999.10717508. JSTOR  40232048. S2CID  170342519.
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• Whiteley, CH (abril de 1945). "Las paradojas de confirmación de Hempel". Mind . 54 (214): 156–158. doi :10.1093/mind/liv.214.156. JSTOR  2250951.