curvatura p

En geometría algebraica , la p -curvatura es un invariante de una conexión en un haz coherente para esquemas de característica p > 0. Es una construcción similar a una curvatura usual , pero solo existe en característica finita.

Definición

Supóngase que X/S es un morfismo suave de esquemas de característica finita p > 0 , E un fibrado vectorial en X y una conexión en E . La p -curvatura de es una función definida por ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \psi :E\to E\otimes \Omega _{X/S}^{1}}$

${\displaystyle \psi (e)(D)=\nabla _{D}^{p}(e)-\nabla _{D^{p}}(e)}$

para cualquier derivación D de sobre S . Aquí usamos que la potencia p de una derivación sigue siendo una derivación sobre esquemas de característica p . Una propiedad útil es que la expresión es -lineal en e , en contraste con la regla de Leibniz para conexiones. Además, la expresión es p -lineal en D . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Por definición, la p -curvatura mide el fracaso de la función de ser un homomorfismo de álgebras de Lie restringidas , de la misma manera que la curvatura usual en geometría diferencial mide qué tan lejos está esta función de ser un homomorfismo de álgebras de Lie . ${\displaystyle \operatorname {Der} _{X/S}\to \operatorname {End} (E)}$

Véase también

• Conjetura de la p-curvatura de Grothendieck-Katz
• Álgebra de Lie restringida

Referencias

• Katz, N., "Conexiones nilpotentes y el teorema de monodromía", IHES Publ. Math. 39 (1970) 175–232.
• Ogus, A., "Cohomología de Higgs, p -curvatura y isomorfismo de Cartier", Compositio Mathematica , 140.1 (enero de 2004): 145-164.