En estadística y geometría computacional , la noción de punto central es una generalización de la mediana a los datos en el espacio euclidiano de dimensiones superiores . Dado un conjunto de puntos en el espacio d -dimensional, un punto central del conjunto es un punto tal que cualquier hiperplano que pase por ese punto divide el conjunto de puntos en dos subconjuntos aproximadamente iguales: la parte más pequeña debe tener al menos una fracción de 1/( d + 1) de los puntos. Al igual que la mediana, un punto central no necesita ser uno de los puntos de datos. Cada conjunto de puntos no vacío (sin duplicados) tiene al menos un punto central.
Conceptos estrechamente relacionados son la profundidad de Tukey de un punto (el número mínimo de puntos de muestra en un lado de un hiperplano que pasa por el punto) y la mediana de Tukey de un conjunto de puntos (un punto que maximiza la profundidad de Tukey). Un punto central es un punto de profundidad al menos n /( d + 1), y una mediana de Tukey debe ser un punto central, pero no todos los puntos centrales son medianas de Tukey. Ambos términos llevan el nombre de John Tukey .
Para una generalización diferente de la mediana a dimensiones superiores, véase mediana geométrica .
Se puede obtener una prueba sencilla de la existencia de un punto central utilizando el teorema de Helly . Supóngase que hay n puntos y considere la familia de semiespacios cerrados que contienen más de dn /( d + 1) de los puntos. Menos de n /( d + 1) puntos están excluidos de cualquiera de estos semiespacios, por lo que la intersección de cualquier subconjunto de d + 1 de estos semiespacios debe ser no vacía. Por el teorema de Helly, se deduce que la intersección de todos estos semiespacios también debe ser no vacía. Cualquier punto en esta intersección es necesariamente un punto central.
Para los puntos en el plano euclidiano , se puede construir un punto central en tiempo lineal . [1] En cualquier dimensión d , se puede construir una mediana de Tukey (y por lo tanto también un punto central) en tiempo O( n d − 1 + n log n ). [2]
Se puede utilizar un algoritmo aleatorio que reemplaza repetidamente conjuntos de d + 2 puntos por su punto Radon para calcular una aproximación a un punto central de cualquier conjunto de puntos, en el sentido de que su profundidad de Tukey es lineal en el tamaño del conjunto de muestra, en una cantidad de tiempo que es polinomial en la dimensión. [3] [4]