Dilatación del tiempo gravitacional

La dilatación del tiempo gravitacional es una forma de dilatación del tiempo , una diferencia real del tiempo transcurrido entre dos eventos medido por observadores situados a diferentes distancias de una masa gravitante . Cuanto menor es el potencial gravitacional (cuanto más cerca está el reloj de la fuente de gravitación), más lento pasa el tiempo, acelerándose a medida que aumenta el potencial gravitacional (el reloj se aleja de la fuente de gravitación). Albert Einstein predijo originalmente este efecto en su teoría de la relatividad y desde entonces ha sido confirmado mediante pruebas de la relatividad general . ^[1]

Esto se ha demostrado observando que los relojes atómicos a diferentes altitudes (y, por tanto, a diferentes potenciales gravitacionales) eventualmente mostrarán horas diferentes. Los efectos detectados en estos experimentos realizados en la Tierra son extremadamente pequeños y las diferencias se miden en nanosegundos . En relación con la edad de la Tierra en miles de millones de años, el núcleo de la Tierra es efectivamente 2,5 años más joven que su superficie. ^[2] Demostrar efectos mayores requeriría mayores distancias de la Tierra o una fuente gravitacional más grande.

La dilatación del tiempo gravitacional fue descrita por primera vez por Albert Einstein en 1907 ^[3] como consecuencia de la relatividad especial en sistemas de referencia acelerados. En la relatividad general , se considera una diferencia en el paso del tiempo propio en diferentes posiciones como lo describe un tensor métrico del espaciotiempo. La existencia de dilatación del tiempo gravitacional fue confirmada directamente por primera vez por el experimento de Pound-Rebka en 1959, y luego refinada por Gravity Probe A y otros experimentos.

La dilatación del tiempo gravitacional está estrechamente relacionada con el corrimiento al rojo gravitacional : ^[4] cuanto más cerca está un cuerpo (que emite luz de frecuencia constante) de un cuerpo gravitante, más se ralentiza su tiempo por la dilatación del tiempo gravitacional, y más bajo (más "desplazado al rojo") Parecería la frecuencia de la luz que emite, medida por un observador fijo.

Definición

Los relojes que están lejos de cuerpos masivos (o con potenciales gravitacionales más altos) funcionan más rápidamente, y los relojes cercanos a cuerpos masivos (o con potenciales gravitacionales más bajos) funcionan más lentamente. Por ejemplo, considerando el lapso de tiempo total de la Tierra (4.600 millones de años), un reloj colocado en una posición geoestacionaria a una altitud de 9.000 metros sobre el nivel del mar, como quizás en la cima del Monte Everest ( prominencia 8.848 m), Se adelantaría unas 39 horas a un reloj fijado al nivel del mar. ^[5]^[6] Esto se debe a que la dilatación del tiempo gravitacional se manifiesta en sistemas de referencia acelerados o, en virtud del principio de equivalencia , en el campo gravitacional de objetos masivos. ^[7]

Según la relatividad general, la masa inercial y la masa gravitacional son iguales, y todos los sistemas de referencia acelerados (como un sistema de referencia que gira uniformemente con su dilatación temporal adecuada) son físicamente equivalentes a un campo gravitacional de la misma fuerza. ^[8]

Considere una familia de observadores a lo largo de una línea recta "vertical", cada uno de los cuales experimenta una fuerza g constante y distinta dirigida a lo largo de esta línea (por ejemplo, una nave espacial en aceleración larga, ^[9]^[10] un rascacielos, un eje en un planeta). . Sea la dependencia de la fuerza g de la "altura", una coordenada a lo largo de la línea antes mencionada. La ecuación con respecto a un observador base en es $g(h)$ $h=0$

T_{d}(h)=\exp \left[{\frac {1}{c^{2}}}\int _{0}^{h}g(h')dh'\right]

donde es la dilatación del tiempo total en una posición distante , es la dependencia de la fuerza g de la "altura" , es la velocidad de la luz y denota la exponenciación por e . $T_{d}(h)$ $h$ $g(h)$ $h$ $c$ $\exp$

Por simplicidad, en una familia de observadores de Rindler en un espacio-tiempo plano , la dependencia sería

g(h)=c^{2}/(H+h)

con constante , lo que produce $H$

T_{d}(h)=e^{\ln(H+h)-\ln H}={\tfrac {H+h}{H}}

Por otro lado, cuando es casi constante y es mucho menor que , también se puede utilizar la aproximación lineal de "campo débil" . $g$ $gh$ $c^{2}$ $T_{d}=1+gh/c^{2}$

Consulte la paradoja de Ehrenfest para conocer la aplicación de la misma fórmula a un marco de referencia giratorio en un espacio-tiempo plano.

Fuera de una esfera no giratoria

Una ecuación común utilizada para determinar la dilatación del tiempo gravitacional se deriva de la métrica de Schwarzschild , que describe el espacio-tiempo en las proximidades de un objeto masivo y esféricamente simétrico que no gira . La ecuación es

t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {v_{e}^{2}}{c^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-\beta _{e}^{2}}}<t_{f}

dónde

$t_{0}$ es el tiempo adecuado entre dos eventos para un observador cercano a la esfera masiva, es decir, en lo profundo del campo gravitacional
$t_{f}$ es el tiempo de coordenadas entre los eventos para un observador a una distancia arbitrariamente grande del objeto masivo (esto supone que el observador lejano está usando las coordenadas de Schwarzschild , un sistema de coordenadas donde un reloj a una distancia infinita de la esfera masiva marcaría un segundo por segundo de tiempo coordinado, mientras que los relojes más cercanos marcarían a menos que esa velocidad),
$G$ es la constante gravitacional ,
$M$ es la masa del objeto que crea el campo gravitacional,
$r$ es la coordenada radial del observador dentro del campo gravitacional (esta coordenada es análoga a la distancia clásica desde el centro del objeto, pero en realidad es una coordenada de Schwarzschild; la ecuación en esta forma tiene soluciones reales para ), $r>r_{\rm {s}}$
$c$ es la velocidad de la luz ,
$r_{\rm {s}}=2GM/c^{2}$ es el radio de Schwarzschild de , $M$
$v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ es la velocidad de escape, y
$\beta _{e}=v_{e}/c$ es la velocidad de escape, expresada como una fracción de la velocidad de la luz c.

Para ilustrar entonces, sin tener en cuenta los efectos de la rotación, la proximidad al pozo gravitacional de la Tierra hará que un reloj en la superficie del planeta acumule alrededor de 0,0219 segundos menos durante un período de un año que el reloj de un observador distante. En comparación, un reloj en la superficie del Sol acumulará alrededor de 66,4 segundos menos en un año.

Órbitas circulares

En la métrica de Schwarzschild, los objetos en caída libre pueden estar en órbitas circulares si el radio orbital es mayor que (el radio de la esfera de fotones ). La fórmula para un reloj en reposo se da arriba; la siguiente fórmula proporciona la dilatación del tiempo relativista general para un reloj en una órbita circular: ^[11]^[12] ${\tfrac {3}{2}}r_{s}$

t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {3}{2}}\!\cdot \!{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\,.

Ambas dilataciones se muestran en la siguiente figura.

Características importantes de la dilatación del tiempo gravitacional.

Según la teoría general de la relatividad , la dilatación del tiempo gravitacional es copresente con la existencia de un sistema de referencia acelerado . Además, todos los fenómenos físicos en circunstancias similares sufren una dilatación del tiempo por igual según el principio de equivalencia utilizado en la teoría general de la relatividad .
La velocidad de la luz en un lugar siempre es igual a c según el observador que se encuentre allí. Es decir, a cada región infinitesimal del espacio-tiempo se le puede asignar su propio tiempo, y la velocidad de la luz según el tiempo propio en esa región es siempre c . Este es el caso independientemente de que una región determinada esté ocupada por un observador o no. Se puede medir un retraso de tiempo para los fotones que se emiten desde la Tierra, se curvan cerca del Sol, viajan a Venus y luego regresan a la Tierra por un camino similar. Aquí no hay ninguna violación de la constancia de la velocidad de la luz, ya que cualquier observador que observe la velocidad de los fotones en su región encontrará que la velocidad de esos fotones es c , mientras que la velocidad a la que observamos que la luz viaja distancias finitas en las proximidades. del Sol diferirá de c .
Si un observador es capaz de rastrear la luz en un lugar remoto y distante que intercepta a un observador remoto y dilatado en el tiempo más cercano a un cuerpo más masivo, ese primer observador detecta que tanto la luz remota como ese observador remoto dilatado en el tiempo tienen un reloj de tiempo más lento. que otra luz que llega al primer observador en c , como toda otra luz que el primer observador realmente puede observar (en su propia ubicación). Si la otra luz remota finalmente intercepta al primer observador, el primer observador también la medirá en c .
La dilatación del tiempo gravitacional en un pozo gravitacional es igual a la dilatación del tiempo de la velocidad para una velocidad que se necesita para escapar de ese pozo gravitacional (dado que la métrica es de la forma , es decir, es invariante en el tiempo y no hay términos de "movimiento" ). Para demostrarlo, se puede aplicar el teorema de Noether a un cuerpo que cae libremente al pozo desde el infinito. Entonces, la invariancia temporal de la métrica implica la conservación de la cantidad , donde es el componente temporal de las 4 velocidades del cuerpo. Al infinito , entonces , o, en coordenadas ajustadas a la dilatación horaria local, ; es decir, la dilatación del tiempo debida a la velocidad adquirida (medida en la posición del cuerpo que cae) es igual a la dilatación del tiempo gravitacional en el pozo en el que cayó el cuerpo. Aplicando este argumento de manera más general, se obtiene que (bajo los mismos supuestos de la métrica) la dilatación del tiempo gravitacional relativa entre dos puntos es igual a la dilatación del tiempo debida a la velocidad necesaria para ascender desde el punto más bajo al más alto. $T$ $g=(dt/T(x))^{2}-g_{space}$ $dxdt$ $g(v,dt)=v^{0}/T^{2}$ $v^{0}$ $v$ $g(v,dt)=1$ $v^{0}=T^{2}$ $v_{loc}^{0}=T$

Confirmación experimental

La dilatación del tiempo gravitacional se ha medido experimentalmente utilizando relojes atómicos en aviones, como el experimento de Hafele-Keating . Los relojes a bordo de los aviones eran ligeramente más rápidos que los relojes en tierra. El efecto es tan significativo que los satélites artificiales del Sistema de Posicionamiento Global necesitan corregir sus relojes. ^[13]

Además, se han verificado experimentalmente en el laboratorio dilataciones del tiempo debidas a diferencias de altura inferiores a un metro. ^[14]

La dilatación del tiempo gravitacional en forma de corrimiento al rojo gravitacional también ha sido confirmada por el experimento de Pound-Rebka y las observaciones del espectro de la enana blanca Sirio B.

La dilatación del tiempo gravitacional se ha medido en experimentos con señales horarias enviadas hacia y desde el módulo de aterrizaje Viking 1 en Marte. ^[15]^[16]

Ver también

Referencias

^ Einstein, A. (febrero de 2004). Relatividad: la teoría general y especial de Albert Einstein. Proyecto Gutenberg .
^ Uggerhøj, interfaz de usuario; Mikkelsen, RE; Faye, J (2016). "El joven centro de la Tierra". Revista Europea de Física . 37 (3): 035602. arXiv : 1604.05507 . Código bibliográfico : 2016EJPh...37c5602U. doi :10.1088/0143-0807/37/3/035602. S2CID 118454696.
^ A. Einstein, "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik 4, 411–462 (1907); traducción al inglés, en "Sobre el principio de la relatividad y las conclusiones extraídas de él", en "The Collected Papers", v.2, 433–484 (1989); también en HM Schwartz, "Ensayo completo de Einstein sobre la relatividad de 1907, parte I", American Journal of Physics vol.45, no.6 (1977) págs.512–517; Parte II en American Journal of Physics vol.45 no.9 (1977), págs.811–817; Parte III en American Journal of Physics vol.45 no.10 (1977), páginas 899–902, véanse las partes I, II y III.
^ Cheng, TP (2010). Relatividad, gravitación y cosmología: una introducción básica. Serie Master de Oxford en Física. OUP Oxford. pag. 72.ISBN 978-0-19-957363-9. Consultado el 7 de noviembre de 2022 .
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^ Primero, David (2012). Cómo Einstein creó la relatividad a partir de la física y la astronomía (edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 118.ISBN 978-1-4614-4781-8.Extracto de la página 118
^ John A. Auping, Actas de la Conferencia Internacional sobre Dos Modelos Cosmológicos, Plaza y Valdés, ISBN 9786074025309
^ Johan F Prins, Sobre la no simultaneidad, la contracción de longitud y la dilatación del tiempo de Einstein
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Otras lecturas

Grøn, Øyvind; Næss, Arne (2011). La teoría de Einstein: una introducción rigurosa para quienes no tienen formación en matemáticas. Saltador. ISBN 9781461407058.