Métrica de Lévy-Prokhorov

En matemáticas , la métrica de Lévy-Prokhorov (a veces conocida simplemente como métrica de Prokhorov ) es una métrica (es decir, una definición de distancia) sobre el conjunto de medidas de probabilidad en un espacio métrico dado . Lleva el nombre del matemático francés Paul Lévy y del matemático soviético Yuri Vasilyevich Prokhorov ; Prokhorov la introdujo en 1956 como una generalización de la anterior métrica de Lévy .

Definición

Sea un espacio métrico con su álgebra sigma de Borel . Denotemos la colección de todas las medidas de probabilidad en el espacio medible . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ ${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}$

Para un subconjunto , defina el ε-vecindario de por ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M~|~\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p).}$

¿Dónde está la bola abierta de radio con centro en ? ${\displaystyle B_{\varepsilon }(p)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$

La métrica de Lévy-Prokhorov se define estableciendo la distancia entre dos medidas de probabilidad y siendo ${\displaystyle \pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0~|~\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{and}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{for all}}\ A\in {\mathcal {B}}(M)\right\}.}$

Para medidas de probabilidad claramente . ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leq 1}$

Algunos autores omiten una de las dos desigualdades o eligen sólo abierta o cerrada ; cualquiera de las desigualdades implica la otra, y , pero restringir a conjuntos abiertos puede cambiar la métrica así definida (si no es polaca ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ({\bar {A}})^{\varepsilon }=A^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle M}$

Propiedades

• Si es separable , la convergencia de medidas en la métrica de Lévy-Prokhorov equivale a una convergencia débil de medidas . Por tanto, se trata de una metrización de la topología de convergencia débil en . ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$
• El espacio métrico es separable si y sólo si es separable. ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ ${\displaystyle (M,d)}$
• Si está completo, entonces está completo. Si todas las medidas en tienen soporte separable , entonces también se cumple la implicación inversa: si está completo, entonces está completo. En particular, este es el caso si es separable. ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ ${\displaystyle (M,d)}$
• Si es separable y completo, un subconjunto es relativamente compacto si y sólo si su cierre es compacto. ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$
• Si es separable , entonces , ¿dónde está la métrica de Ky Fan ? ^{[1] [2]} ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y):{\text{Law}}(X)=\mu ,{\text{Law}}(Y)=\nu \}}$ ${\displaystyle \alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0:\mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leq \varepsilon \}}$

Relación con otras distancias

Sea separable. Entonces ${\displaystyle (M,d)}$

• ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leq \delta (\mu ,\nu )}$, donde es la distancia de variación total de las medidas de probabilidad ^[3] ${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )}$
• ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )^{2}\leq W_{p}(\mu ,\nu )^{p}}$, donde está la métrica de Wasserstein con y tiene momento finito. ^[4] ${\displaystyle W_{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle p}$

Ver también

• Métrica de Levy
• Teorema de Prokhorov
• Rigidez de las medidas
• Débil convergencia de medidas
• Métrica de Wasserstein
• Distancia de radón
• Distancia de variación total de las medidas de probabilidad.

Notas

1. Dudley 1989, pág. 322
2. Račev 1991, pag. 159
3. Gibbs, Alison L.; Su, Francis Edward: Sobre la elección y la delimitación de métricas de probabilidad , International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique, Vol 70 (3), págs. 419-435, Lecture Notes in Math., 2002.
4. Račev 1991, pag. 175

Referencias

• Billingsley, Patricio (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. ISBN 0-471-19745-9. OCLC  41238534.
• Zolotarev, VM (2001) [1994], "Métrica de Lévy-Prokhorov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Dudley, RM (1989). Análisis real y probabilidad . Pacific Grove, California: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-10050-3.
• Račev, Svetlozar T. (1991). Métricas de probabilidad y estabilidad de modelos estocásticos . Chichester [ua]: Wiley. ISBN 0-471-92877-1.