Lista de identidades logarítmicas

En matemáticas existen muchas identidades logarítmicas . A continuación se presenta una recopilación de las más importantes, muchas de las cuales se utilizan con fines computacionales.

Identidades triviales

Las identidades matemáticas triviales son relativamente simples (para un matemático experimentado), aunque no necesariamente poco importantes. Las identidades logarítmicas triviales son:

Explicaciones

Por definición, sabemos que:

${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff b^{x}=y}$,

donde y . ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle b\neq 1}$

Al establecer , podemos ver que: . Por lo tanto, al sustituir estos valores en la fórmula, vemos que: , lo que nos da la primera propiedad. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle b^{x}=y\iff b^{(0)}=y\iff 1=y\iff y=1}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff \log _{b}(1)=0}$

Al establecer , podemos ver que: . Por lo tanto, al sustituir estos valores en la fórmula, vemos que: , lo que nos da la segunda propiedad. ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle b^{x}=y\iff b^{(1)}=y\iff b=y\iff y=b}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff \log _{b}(b)=1}$

Cancelación de exponenciales

Los logaritmos y las exponenciales con la misma base se cancelan entre sí. Esto es así porque los logaritmos y las exponenciales son operaciones inversas, de la misma manera que la multiplicación y la división son operaciones inversas, y la suma y la resta son operaciones inversas.

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ because }}{\mbox{antilog}}_{b}(\log _{b}(x))=x}$

${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log _{b}({\mbox{antilog}}_{b}(x))=x}$^[1]

Ambos términos anteriores se derivan de las dos ecuaciones siguientes que definen un logaritmo: (tenga en cuenta que en esta explicación, las variables de y pueden no referirse al mismo número) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff b^{x}=y}$

Observando la ecuación y sustituyendo el valor de , obtenemos la siguiente ecuación: , que nos lleva a la primera ecuación. Otra forma más aproximada de pensarlo es que , y que " " es . ${\displaystyle b^{x}=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)=x}$ ${\displaystyle b^{x}=y\iff b^{\log _{b}(y)}=y\iff b^{\log _{b}(y)}=y}$ ${\displaystyle b^{\text{something}}=y}$ ${\displaystyle {\text{something}}}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$

Observando la ecuación y sustituyendo el valor de , obtenemos la siguiente ecuación: , que nos lleva a la segunda ecuación. Otra forma más aproximada de pensarlo es que , y que ese algo " " es . ${\displaystyle \log _{b}(y)=x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b^{x}=y}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff \log _{b}(b^{x})=x\iff \log _{b}(b^{x})=x}$ ${\displaystyle \log _{b}({\text{something}})=x}$ ${\displaystyle {\text{something}}}$ ${\displaystyle b^{x}}$

Usando operaciones más simples

Los logaritmos se pueden utilizar para facilitar los cálculos. Por ejemplo, dos números se pueden multiplicar simplemente utilizando una tabla de logaritmos y sumándolos. Estas suelen conocerse como propiedades logarítmicas, que se documentan en la tabla siguiente. ^[2] Las primeras tres operaciones siguientes suponen que x = b ^c y/o y = b ^d , de modo que log _b ( x ) = c y log _b ( y ) = d . Las derivaciones también utilizan las definiciones de logaritmo x = b ^{log _b ( x )} y x = log _b ( b ^x ) .

Donde , , y son números reales positivos y , y y son números reales. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

Las leyes resultan de la cancelación de exponenciales y de la ley de índices correspondiente. Empezando por la primera ley:

${\displaystyle xy=b^{\log _{b}(x)}b^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}\Rightarrow \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$

La ley de potencias explota otra de las leyes de índices:

${\displaystyle x^{y}=(b^{\log _{b}(x)})^{y}=b^{y\log _{b}(x)}\Rightarrow \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)}$

La ley relativa a los cocientes es entonces:

${\displaystyle \log _{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(xy^{-1})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y^{-1})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$

${\displaystyle \log _{b}{\bigg (}{\frac {1}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(y^{-1})=-\log _{b}(y)}$

De manera similar, la ley de la raíz se deriva reescribiendo la raíz como una potencia recíproca:

${\displaystyle \log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log _{b}(x)}$

Derivaciones de las reglas del producto, cociente y potencia

Estas son las tres leyes/reglas/principios principales de los logaritmos ^[3] , a partir de los cuales se pueden demostrar las demás propiedades enumeradas anteriormente. Cada una de estas propiedades de los logaritmos corresponde a su respectiva ley exponencial, y sus derivaciones/pruebas dependerán de esos hechos. Hay múltiples formas de derivar/demostrar cada ley de los logaritmos; este es solo un método posible.

Logaritmo de un producto

Para enunciar formalmente el logaritmo de una ley de producto:

${\displaystyle \forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$

Derivación:

Sea , donde , y sea . Queremos relacionar las expresiones y . Esto se puede hacer más fácilmente reescribiendo en términos de exponenciales, cuyas propiedades ya conocemos. Además, dado que vamos a hacer referencia a y con bastante frecuencia, les daremos algunos nombres de variable para que trabajar con ellas sea más fácil: Sea , y sea . ${\displaystyle b\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$ ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$ ${\displaystyle n=\log _{b}(y)}$

Reescribiéndolos como exponenciales, vemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x,\\n&=\log _{b}(y)\iff b^{n}=y.\end{aligned}}}$

A partir de aquí, podemos relacionar (ie ) y (ie ) usando leyes de exponentes como ${\displaystyle b^{m}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle xy=(b^{m})(b^{n})=b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}}$

Para recuperar los logaritmos, aplicamos a ambos lados de la igualdad. ${\displaystyle \log _{b}}$

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{m+n})}$

El lado derecho se puede simplificar usando una de las propiedades del logaritmo de antes: sabemos que , dando ${\displaystyle \log _{b}(b^{m+n})=m+n}$

${\displaystyle \log _{b}(xy)=m+n}$

Ahora sustituimos nuevamente los valores de y en nuestra ecuación, por lo que nuestra expresión final solo está en términos de , y . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$

Esto completa la derivación.

Logaritmo de un cociente

Para enunciar formalmente el logaritmo de una ley del cociente:

${\displaystyle \forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$

Derivación:

Sea , donde , y sea . ${\displaystyle b\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{+}}$

Queremos relacionar las expresiones y . Esto se puede hacer más fácilmente reescribiéndolas en términos de exponenciales, cuyas propiedades ya conocemos. Además, dado que vamos a hacer referencia a y con bastante frecuencia, les daremos algunos nombres de variable para que trabajar con ellas sea más fácil: Sea , y sea . ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(y)}$ ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$ ${\displaystyle n=\log _{b}(y)}$

Reescribiéndolos como exponenciales, vemos que:

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x,\\n&=\log _{b}(y)\iff b^{n}=y.\end{aligned}}}$

A partir de aquí, podemos relacionar (ie ) y (ie ) usando leyes de exponentes como ${\displaystyle b^{m}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {(b^{m})}{(b^{n})}}={\frac {b^{m}}{b^{n}}}=b^{m-n}}$

Para recuperar los logaritmos, aplicamos a ambos lados de la igualdad. ${\displaystyle \log _{b}}$

${\displaystyle \log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}\left(b^{m-n}\right)}$

El lado derecho se puede simplificar usando una de las propiedades del logaritmo de antes: sabemos que , dando ${\displaystyle \log _{b}(b^{m-n})=m-n}$

${\displaystyle \log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=m-n}$

Ahora sustituimos nuevamente los valores de y en nuestra ecuación, por lo que nuestra expresión final solo está en términos de , y . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$

Esto completa la derivación.

Logaritmo de una potencia

Para enunciar formalmente el logaritmo de una ley de potencia:

${\displaystyle \forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x\in \mathbb {R} _{+},\forall r\in \mathbb {R} ,\log _{b}(x^{r})=r\log _{b}(x)}$

Derivación:

Sea , donde , sea , y sea . Para esta derivación, queremos simplificar la expresión . Para ello, comenzamos con la expresión más simple . Como la usaremos con frecuencia, la definiremos como una nueva variable: Sea . ${\displaystyle b\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \log _{b}(x^{r})}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$

Para manipular la expresión más fácilmente, la reescribimos como exponencial. Por definición, , por lo que tenemos ${\displaystyle m=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x}$

${\displaystyle b^{m}=x}$

De manera similar a las derivaciones anteriores, aprovechamos otra ley de exponentes. Para obtener nuestra expresión final, elevamos ambos lados de la igualdad a la potencia de : ${\displaystyle x^{r}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(b^{m})^{r}&=(x)^{r}\\b^{mr}&=x^{r}\end{aligned}}}$

donde utilizamos la ley del exponente . ${\displaystyle (b^{m})^{r}=b^{mr}}$

Para recuperar los logaritmos, aplicamos a ambos lados de la igualdad. ${\displaystyle \log _{b}}$

${\displaystyle \log _{b}(b^{mr})=\log _{b}(x^{r})}$

El lado izquierdo de la igualdad se puede simplificar utilizando una ley de logaritmo, que establece que . ${\displaystyle \log _{b}(b^{mr})=mr}$

${\displaystyle mr=\log _{b}(x^{r})}$

Sustituyendo el valor original por , reordenando y simplificando se obtiene ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\log _{b}(x)\right)r&=\log _{b}(x^{r})\\r\log _{b}(x)&=\log _{b}(x^{r})\\\log _{b}(x^{r})&=r\log _{b}(x)\end{aligned}}}$

Esto completa la derivación.

Cambiando la base

Para enunciar formalmente la fórmula del cambio de logaritmo base: $${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} _{+},a,b\neq 1,\forall x\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$$

Esta identidad es útil para evaluar logaritmos en calculadoras. Por ejemplo, la mayoría de las calculadoras tienen botones para ln y para log ₁₀ , pero no todas tienen botones para el logaritmo de una base arbitraria.

Prueba/derivación

Sea , donde Sea . Aquí, y son las dos bases que usaremos para los logaritmos. No pueden ser 1, porque la función logaritmo no está bien definida para la base 1. ^{[ cita requerida ]} El número será lo que el logaritmo esté evaluando, por lo que debe ser un número positivo. Dado que trataremos el término con bastante frecuencia, lo definimos como una nueva variable: Sea . ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle a,b\neq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$

Para manipular más fácilmente la expresión, se puede reescribir como exponencial. $${\displaystyle b^{m}=x}$$

Aplicando a ambos lados de la igualdad, ${\displaystyle \log _{a}}$ $${\displaystyle \log _{a}(b^{m})=\log _{a}(x)}$$

Ahora, utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia, que establece que , ${\displaystyle \log _{a}(b^{m})=m\log _{a}(b)}$ $${\displaystyle m\log _{a}(b)=\log _{a}(x)}$$

Aislando , obtenemos lo siguiente: ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle m={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$$

Sustituyendo nuevamente en la ecuación, ${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$ $${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$$

Con esto se completa la prueba de que . ${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

$${\displaystyle \log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}}$$

$${\displaystyle \log _{b^{n}}a={\log _{b}a \over n}}$$

$${\displaystyle b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}}$$

$${\displaystyle -\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1/b}a}$$

$${\displaystyle \log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},}$$

donde es cualquier permutación de los subíndices 1, ..., n . Por ejemplo ${\textstyle \pi }$ $${\displaystyle \log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.}$$

Suma/resta

La siguiente regla de suma/resta es especialmente útil en teoría de probabilidad cuando se trata de una suma de probabilidades logarítmicas:

Tenga en cuenta que la identidad de la resta no está definida si , ya que el logaritmo de cero no está definido. Tenga en cuenta también que, al programar, y puede que deban cambiarse en el lado derecho de las ecuaciones si para evitar perder el "1 +" debido a errores de redondeo. Muchos lenguajes de programación tienen una función específica que calcula sin desbordamiento (cuando es pequeño). ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\gg a}$log1p(x) ${\displaystyle \log _{e}(1+x)}$ ${\displaystyle x}$

De manera más general: $${\displaystyle \log _{b}\sum _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)}$$

Exponentes

Una identidad útil que involucra exponentes: o más universalmente: $${\displaystyle x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)}$$ $${\displaystyle x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a}$$

Otras identidades/identidades resultantes

$${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}+{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{xy}(a)}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}-{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{\frac {x}{y}}(a)}$$

Desigualdades

Basado en, ^{[4] [5]} y ^[6]

${\displaystyle {\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ for all }}{-1}<x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\[4pt]&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\[4pt]&{\text{ for }}0\leq x{\text{, reverse for }}{-1}<x\leq 0\end{aligned}}}$

Todos son precisos para números grandes , pero no para números grandes. ${\displaystyle x=0}$

Identidades de cálculo

Límites

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{b}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}b>0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0}$

El último límite a menudo se resume como "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier potencia o raíz de x ".

Derivadosde funciones logarítmicas

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},x>0}$

${\displaystyle {d \over dx}\ln |x|={1 \over x},x\neq 0}$

${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a},x>0,a>0,{\text{ and }}a\neq 1}$

Definición integral

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\ dt}$

Para modificar los límites de integración para que vayan de a , cambiamos el orden de integración, lo que cambia el signo de la integral: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle -\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt}$

Por lo tanto:

${\displaystyle \ln {\frac {1}{x}}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt}$

Suma de Riemann

${\displaystyle \ln(n+1)=}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{x_{i}}}\Delta x=}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{1+{\frac {i-1}{k}}n}}\cdot {\frac {n}{k}}=}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{x=1}^{k\cdot n}{\frac {1}{1+{\frac {x}{k}}}}\cdot {\frac {1}{k}}=}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{x=1}^{k\cdot n}{\frac {1}{k+x}}=\lim _{k\to \infty }\sum _{x=k+1}^{k\cdot n+k}{\frac {1}{x}}=\lim _{k\to \infty }\sum _{x=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{x}}}$

para y es un punto de muestra en cada intervalo. ${\displaystyle \textstyle \Delta x={\frac {n}{k}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Representación en serie

El logaritmo natural tiene una expansión en serie de Taylor ^[7] bien conocida que converge para en el intervalo abierto-cerrado : ${\displaystyle \ln(1+x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (-1,1]}$

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{6}}{6}}+\cdots .}$

Dentro de este intervalo, para , la serie es condicionalmente convergente , y para todos los demás valores, es absolutamente convergente . Para o , la serie no converge a . En estos casos, se deben utilizar diferentes representaciones ^[8] o métodos para evaluar el logaritmo. ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle x\leq -1}$ ${\displaystyle \ln(1+x)}$

Diferencia de números armónicos

No es raro en matemáticas avanzadas, particularmente en la teoría analítica de números y el análisis asintótico , encontrar expresiones que involucran diferencias o proporciones de números armónicos en índices escalados. ^[9] La identidad que involucra la diferencia límite entre números armónicos en índices escalados y su relación con la función logarítmica proporciona un ejemplo intrigante de cómo las secuencias discretas pueden relacionarse asintóticamente con funciones continuas . Esta identidad se expresa como ^[10]

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }(H_{k(n+1)}-H_{k})=\ln(n+1)}$

que caracteriza el comportamiento de los números armónicos a medida que crecen. Esta aproximación (que es exactamente igual en el límite) refleja cómo la suma sobre segmentos crecientes de la serie armónica exhibe propiedades integrales , lo que brinda información sobre la interacción entre el análisis discreto y continuo. También ilustra cómo la comprensión del comportamiento de las sumas y las series a gran escala puede llevar a conclusiones reveladoras sobre sus propiedades. Aquí denota el -ésimo número armónico, definido como ${\displaystyle \ln(n+1)}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle H_{k}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j}}}$

Los números armónicos son una secuencia fundamental en la teoría y el análisis de números, conocidos por su crecimiento logarítmico. Este resultado aprovecha el hecho de que la suma de las inversas de los números enteros (es decir, los números armónicos) puede aproximarse estrechamente mediante la función logaritmo natural, más una constante , especialmente cuando se extiende sobre intervalos grandes. ^{[11] [9] [12]} Como tiende hacia el infinito, la diferencia entre los números armónicos y converge a un valor distinto de cero. Esta diferencia persistente distinta de cero, , excluye la posibilidad de que la serie armónica se acerque a un límite finito, proporcionando así una articulación matemática clara de su divergencia. ^{[13] [14]} La técnica de aproximación de sumas por integrales (específicamente utilizando la prueba integral o por aproximación integral directa) es fundamental para derivar tales resultados. Esta identidad específica puede ser una consecuencia de estas aproximaciones, considerando: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H_{k(n+1)}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle \ln(n+1)}$

${\displaystyle \sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}\approx \int _{k}^{k(n+1)}{\frac {dx}{x}}}$

Derivación del límite armónico

El límite explora el crecimiento de los números armónicos cuando los índices se multiplican por un factor de escala y luego se diferencian. Captura específicamente la suma de a : ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k(n+1)}$

${\displaystyle H_{k(n+1)}-H_{k}=\sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}}$

Esto se puede estimar utilizando la prueba integral de convergencia, o más directamente comparándola con la integral de de a : ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(n+1)}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}=\int _{k}^{k(n+1)}{\frac {dx}{x}}=\ln(k(n+1))-\ln(k)=\ln \left({\frac {k(n+1)}{k}}\right)=\ln(n+1)}$

Como el límite inferior de la ventana comienza en y el límite superior se extiende hasta , los cuales tienden hacia el infinito a medida que , la ventana de suma abarca una porción cada vez más amplia de los términos más pequeños posibles de la serie armónica (aquellos con denominadores astronómicamente grandes), creando una suma discreta que se extiende hacia el infinito, lo que refleja cómo las integrales continuas acumulan valor a lo largo de una partición infinitesimalmente fina del dominio. En el límite, el intervalo es efectivamente de hasta donde el inicio implica esta región mínimamente discreta. ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle k(n+1)}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k}$

Fórmula de doble serie

La fórmula de diferencia de números armónicos para es una extensión ^{[10] de la} identidad alterna clásica de : ${\displaystyle \ln(m)}$ ${\displaystyle \ln(2)}$

${\displaystyle \ln(2)=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)}$

que puede generalizarse como la serie doble sobre los residuos de : ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \ln(m)=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }\left({\frac {1}{x-r}}-{\frac {1}{x}}\right)=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }{\frac {r}{x(x-r)}}}$

donde es el ideal principal generado por . Al restar de cada término (es decir, equilibrar cada término con el módulo) se reduce la magnitud de la contribución de cada término, lo que garantiza la convergencia al controlar la tendencia de la serie hacia la divergencia a medida que aumenta. Por ejemplo: ${\displaystyle \langle m\rangle }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x-r}}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \ln(4)=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n}}\right)}$

Este método aprovecha las diferencias sutiles entre términos estrechamente relacionados para estabilizar la serie. La suma de todos los residuos garantiza que los ajustes se apliquen de manera uniforme en todos los posibles desplazamientos dentro de cada bloque de términos. Esta distribución uniforme de la "corrección" en diferentes intervalos definidos por funciona de manera similar a la telescopía en una secuencia muy grande. Ayuda a aplanar las discrepancias que, de lo contrario, podrían conducir a un comportamiento divergente en una serie armónica sencilla. ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x-r}$

La prueba de Deveci

Una característica fundamental de la prueba es la acumulación de los sustraendos en una fracción unitaria, es decir, para , por lo tanto en lugar de , donde los extremos de son si y en caso contrario , con el mínimo de siendo implícito en el último caso debido a los requisitos estructurales de la prueba. Dado que la cardinalidad de depende de la selección de uno de los dos mínimos posibles, la integral , como un procedimiento de teoría de conjuntos, es una función del máximo (que permanece consistente en ambas interpretaciones) más , no la cardinalidad (que es ambigua ^{[15] [16]} debido a las diferentes definiciones del mínimo). Mientras que la diferencia de números armónicos calcula la integral en una ventana deslizante global, la serie doble, en paralelo, calcula la suma en una ventana deslizante local (una -tupla cambiante) sobre la serie armónica, avanzando la ventana por posiciones para seleccionar la siguiente -tupla, y desplazando cada elemento de cada tupla por en relación con la posición absoluta de la ventana. La suma corresponde a que escala sin límite. La suma corresponde al prefijo recortado de la serie para establecer el límite inferior móvil de la ventana , y es el límite de la ventana deslizante (la serie escalada y truncada ^[17] ): ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {m}{x}}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle m\mid x}$ ${\displaystyle m=\omega +1}$ ${\displaystyle m=|\mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} |}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }$ ${\displaystyle [0,\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle [1,\omega ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle \int {\frac {1}{t}}dt}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{m}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{k}\sum {\frac {1}{x-r}}}$ ${\displaystyle H_{km}}$ ${\displaystyle H_{m}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{k}-{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \ln(m)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\sum _{r=1}^{\omega }\left({\frac {1}{mn-r}}-{\frac {1}{mn}}\right)=\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=0}^{\omega }\left({\frac {1}{mn-r}}-{\frac {1}{mn}}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{k}\left(-{\frac {1}{n}}+\sum _{r=0}^{\omega }{\frac {1}{mn-r}}\right)}$

${\displaystyle =-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=0}^{\omega }{\frac {1}{mn-r}}}$

${\displaystyle =-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\sum _{r=0}^{\omega }{\frac {1}{(n-1)m+m-r}}}$

${\displaystyle =-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\sum _{j=1}^{m}{\frac {1}{(n-1)m+j}}}$

${\displaystyle =-H_{k}+\sum _{n=1}^{k}\left(H_{nm}-H_{m(n-1)}\right)}$

${\displaystyle =-H_{k}+H_{mk}}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }=H_{km}-H_{k}=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }\left({\frac {1}{x-r}}-{\frac {1}{x}}\right)=\ln(\omega +1)=\ln(m)}$

Integralesde funciones logarítmicas

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C}$

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x(\ln x-1)}{\ln a}}+C}$

Para recordar integrales superiores, es conveniente definir

${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$

¿Dónde está el n ^-ésimo número armónico ? ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}}$

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}}$

Entonces

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}}$

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$

Aproximación de números grandes

Las identidades de los logaritmos se pueden utilizar para aproximar números grandes. Nótese que log _b ( a ) + log _b ( c ) = log _b ( ac ) , donde a , b y c son constantes arbitrarias. Supongamos que uno quiere aproximar el 44.º primo de Mersenne , 2 ^32.582.657 −1 . Para obtener el logaritmo de base 10, multiplicaríamos 32.582.657 por log ₁₀ (2) , obteniendo 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543 . Podemos entonces obtener 10 ^9.808.357 × 10 ^0,09543 ≈ 1,25 × 10 ^9.808.357 .

De manera similar, los factoriales se pueden aproximar sumando los logaritmos de los términos.

Identidades logarítmicas complejas

El logaritmo complejo es el análogo numérico complejo de la función logaritmo. Ninguna función de un solo valor en el plano complejo puede satisfacer las reglas normales para los logaritmos. Sin embargo, se puede definir una función multivaluada que satisfaga la mayoría de las identidades. Es habitual considerarla como una función definida en una superficie de Riemann . Se puede definir una versión de un solo valor, llamada valor principal del logaritmo, que es discontinua en el eje x negativo y es igual a la versión multivaluada en un corte de rama único .

Definiciones

En lo que sigue, se utiliza la primera letra mayúscula para el valor principal de las funciones y la versión en minúscula para la función multivalor. La versión de valor único de las definiciones e identidades siempre se proporciona primero, seguida de una sección separada para las versiones de valor múltiple.

• ln( r ) es el logaritmo natural estándar del número real r .
• Arg( z ) es el valor principal de la función arg ; su valor está restringido a (− π , π ] . Se puede calcular utilizando Arg( x + iy ) = atan2 ( y , x ) .
• Log( z ) es el valor principal de la función logaritmo complejo y tiene parte imaginaria en el rango (− π , π ] .
• ${\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)}$
• ${\displaystyle e^{\operatorname {Log} (z)}=z}$

La versión de valores múltiples de log( z ) es un conjunto, pero es más fácil escribirla sin llaves y su uso en fórmulas sigue reglas obvias.

• log( z ) es el conjunto de números complejos v que satisfacen e ^v = z
• arg( z ) es el conjunto de valores posibles de la función arg aplicada a z .

Cuando k es cualquier número entero:

${\displaystyle \log(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)}$

${\displaystyle \log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik}$

${\displaystyle e^{\log(z)}=z}$

Constantes

Formas de valor principales:

${\displaystyle \operatorname {Log} (1)=0}$

${\displaystyle \operatorname {Log} (e)=1}$

Formas de valores múltiples, para cualquier k entero:

${\displaystyle \log(1)=0+2\pi ik}$

${\displaystyle \log(e)=1+2\pi ik}$

Suma

Formas de valor principales:

${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}}$

${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g., }}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z_{2}>0)}$^[18]

${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}}$

${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g., }}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z_{2}>0)}$^[18]

Formas de valores múltiples:

${\displaystyle \log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})}$

${\displaystyle \log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})}$

Potestades

Una potencia compleja de un número complejo puede tener muchos valores posibles.

Forma del valor principal:

${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}}$

${\displaystyle \operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}}$

Formas de valores múltiples:

${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}}$

Donde k ₁ , k ₂ son números enteros cualesquiera:

${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}}$

${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}}$

Véase también

• Lista de fórmulas que involucran π
• Lista de integrales de funciones logarítmicas
• Lista de identidades matemáticas
• Listas de temas de matemáticas
• Lista de identidades trigonométricas  – Igualdades que involucran funciones trigonométricas

Referencias

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2. "4.3 - Propiedades de los logaritmos". people.richland.edu . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
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7. Weisstein, Eric W. "Serie Mercator". MathWorld--Un recurso web de Wolfram . Consultado el 24 de abril de 2024 .
8. Para extender la utilidad de la serie de Mercator más allá de sus límites convencionales, se puede calcular para y y luego negar el resultado, , para derivar . Por ejemplo , si se establece , se obtiene . ${\displaystyle \textstyle \ln(1+x)}$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle \textstyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \textstyle \ln \left({\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \ln(n+1)}$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n2^{n}}}}$
9. Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Combinatoria analítica . Cambridge University Press. pág. 389. ISBN 978-0521898065.Consulte la página 117 y la definición de números armónicos desplazados en VI.8 en la página 389
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11. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Matemáticas concretas: una base para la informática . Addison-Wesley. pág. 429. ISBN 0-201-55802-5.
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15. Harremoës, Peter (2011). "¿Es el cero un número natural?". arXiv : 1102.0418 [matemáticas HO].Una sinopsis sobre la naturaleza del 0 que enmarca la elección del mínimo como la dicotomía entre ordinales y cardinales.
16. Barton, N. (2020). "Percepción de la ausencia y la filosofía del cero". Síntesis . 197 (9): 3823–3850. doi :10.1007/s11229-019-02220-x. PMC 7437648 . PMID  32848285. Véase la sección 3.1
17. El desplazamiento es característico de la suma de Riemann a la derecha empleada para evitar que la integral degenere en la serie armónica, evitando así la divergencia. Aquí, funciona de manera análoga, sirviendo para regular la serie. La operación sucesora señala la inclusión implícita del módulo (la región omitida de ). La importancia de esto, desde una perspectiva axiomática, se hace evidente cuando los residuos de se formulan como , donde se aplica mediante bootstrap para producir los residuos de módulo . En consecuencia, representa un valor límite en este contexto. ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle m=\omega +1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e^{\ln(\omega +1)}}$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle m=\omega =\omega _{0}+1=1}$ ${\displaystyle \omega }$
18. Abramowitz, Milton (1965). Manual de funciones matemáticas, con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas. Irene A. Stegun. Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4.OCLC 429082  .

Enlaces externos

• Se puede encontrar una lección sobre logaritmos en Wikiversidad.
• Logaritmo en Mathwords