Ley de gravitación universal de Newton

Enunciado clásico de la gravedad como fuerza

La ley de gravitación universal de Newton dice que cada partícula atrae a todas las demás partículas del universo con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros. Los objetos separados se atraen y son atraídos como si toda su masa estuviera concentrada en sus centros . La publicación de la ley ha sido conocida como la " primera gran unificación ", ya que marcó la unificación de los fenómenos de gravedad en la Tierra descritos anteriormente con los comportamientos astronómicos conocidos. ^{[1] [2] [3]}

Se trata de una ley física general derivada de observaciones empíricas mediante lo que Isaac Newton llamó razonamiento inductivo . ^[4] Es parte de la mecánica clásica y fue formulada en la obra de Newton Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ("los Principia "), publicada por primera vez el 5 de julio de 1687.

La ecuación de la gravitación universal toma la forma:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$

donde F es la fuerza gravitacional que actúa entre dos objetos, m ₁ y m ₂ son las masas de los objetos, r es la distancia entre los centros de sus masas y G es la constante gravitacional .

La primera prueba de la ley de gravitación de Newton entre masas en el laboratorio fue el experimento de Cavendish realizado por el científico británico Henry Cavendish en 1798. ^[5] Tuvo lugar 111 años después de la publicación de los Principia de Newton y aproximadamente 71 años después de su muerte.

La ley de gravitación de Newton se parece a la ley de Coulomb de las fuerzas eléctricas, que se utiliza para calcular la magnitud de la fuerza eléctrica que surge entre dos cuerpos cargados. Ambas son leyes del cuadrado inverso , donde la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos. La ley de Coulomb tiene carga en lugar de masa y una constante diferente.

La ley de Newton fue reemplazada posteriormente por la teoría de la relatividad general de Albert Einstein , pero la universalidad de la constante gravitacional se mantiene intacta y la ley sigue utilizándose como una excelente aproximación de los efectos de la gravedad en la mayoría de las aplicaciones. La relatividad sólo es necesaria cuando se necesita una precisión extrema o cuando se trabaja con campos gravitacionales muy fuertes, como los que se encuentran cerca de objetos extremadamente masivos y densos, o a distancias pequeñas (como la órbita de Mercurio alrededor del Sol).

Historia

Alrededor de 1600, el método científico comenzó a arraigarse. René Descartes comenzó de nuevo con una visión más fundamental, desarrollando ideas de materia y acción independientes de la teología. Galileo Galilei escribió sobre mediciones experimentales de objetos en caída y en movimiento. Las leyes del movimiento planetario de Johannes Kepler resumieron las observaciones astronómicas de Tycho Brahe . ^{[6] : 132}

Alrededor de 1666, Isaac Newton desarrolló la idea de que las leyes de Kepler también debían aplicarse a la órbita de la Luna alrededor de la Tierra y, por lo tanto, a todos los objetos sobre la Tierra. El análisis requería suponer que la fuerza gravitatoria actuaba como si toda la masa de la Tierra estuviera concentrada en su centro, una conjetura no demostrada en ese momento. Sus cálculos del tiempo de órbita de la Luna estaban dentro del 16% del valor conocido. En 1680, nuevos valores para el diámetro de la Tierra mejoraron su tiempo de órbita hasta un 1,6%, pero lo más importante es que Newton había encontrado una prueba de su conjetura anterior. ^{[7] : 201}

En 1687 Newton publicó sus Principia , que combinaban sus leyes del movimiento con un nuevo análisis matemático para explicar los resultados empíricos de Kepler. ^{[6] : 134} Su explicación tenía la forma de una ley de gravitación universal: dos cuerpos cualesquiera son atraídos por una fuerza proporcional a su masa e inversamente proporcional a su separación al cuadrado. ^{[8] : 28} La fórmula original de Newton era:

${\displaystyle {\rm {Force\,of\,gravity}}\propto {\frac {\rm {mass\,of\,object\,1\,\times \,mass\,of\,object\,2}}{\rm {distance\,from\,centers^{2}}}}}$

donde el símbolo significa "es proporcional a". Para convertir esto en una fórmula o ecuación de lados iguales, era necesario que existiera un factor o constante multiplicador que diera la fuerza de gravedad correcta sin importar el valor de las masas o la distancia entre ellas (la constante gravitacional). Newton necesitaría una medida precisa de esta constante para demostrar su ley del cuadrado inverso. Cuando Newton presentó el Libro 1 del texto inédito en abril de 1686 a la Royal Society , Robert Hooke afirmó que Newton había obtenido la ley del cuadrado inverso de él, en última instancia una acusación frívola. ^{[7] : 204} ${\displaystyle \propto }$

Las "causas hasta ahora desconocidas" de Newton

Aunque Newton fue capaz de formular su ley de la gravedad en su monumental obra, se sentía profundamente incómodo con la noción de "acción a distancia" que implicaban sus ecuaciones. En 1692, en su tercera carta a Bentley, escribió: "Que un cuerpo pueda actuar sobre otro a distancia a través del vacío sin la mediación de nada más, por medio de lo cual su acción y fuerza puedan transmitirse mutuamente, es para mí un absurdo tan grande que, creo, ningún hombre que tenga en cuestiones filosóficas una facultad competente de pensamiento podría caer jamás en él".

En sus propias palabras, nunca "asignó la causa de esta fuerza". En todos los demás casos, utilizó el fenómeno del movimiento para explicar el origen de varias fuerzas que actúan sobre los cuerpos, pero en el caso de la gravedad, no pudo identificar experimentalmente el movimiento que produce la fuerza de gravedad (aunque inventó dos hipótesis mecánicas en 1675 y 1717). Es más, se negó incluso a ofrecer una hipótesis sobre la causa de esta fuerza, argumentando que hacerlo era contrario a la ciencia sólida. Lamentó que "los filósofos han intentado hasta ahora la búsqueda de la naturaleza en vano" para encontrar el origen de la fuerza gravitatoria, ya que estaba convencido "por muchas razones" de que había "causas hasta ahora desconocidas" que eran fundamentales para todos los "fenómenos de la naturaleza". Estos fenómenos fundamentales aún están siendo investigados y, aunque abundan las hipótesis, la respuesta definitiva aún está por encontrar. Y en el Escolio General de Newton de 1713 en la segunda edición de Principia : "Todavía no he podido descubrir la causa de estas propiedades de la gravedad a partir de los fenómenos y no pretendo ninguna hipótesis ... Es suficiente que la gravedad realmente exista y actúe de acuerdo con las leyes que he explicado, y que sirva abundantemente para explicar todos los movimientos de los cuerpos celestes". ^[9]

Forma moderna

En lenguaje moderno, la ley establece lo siguiente:

Gráfico de error que muestra valores experimentales para G.

Suponiendo unidades del SI , F _se mide en newtons (N), m1 y m2 en kilogramos (kg), r en metros (m) y la _constante G es6.674 30 (15) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . ^[11] El valor de la constante G se determinó con precisión por primera vez a partir de los resultados del experimento de Cavendish realizado por el científico británico Henry Cavendish en 1798, aunque Cavendish no calculó él mismo un valor numérico para G . ^[5] Este experimento también fue la primera prueba de la teoría de la gravitación entre masas de Newton en el laboratorio. Tuvo lugar 111 años después de la publicación de los Principia de Newton y 71 años después de la muerte de Newton, por lo que ninguno de los cálculos de Newton podía utilizar el valor de G ; en su lugar, solo podía calcular una fuerza relativa a otra fuerza.

Cuerpos con extensión espacial

Intensidad del campo gravitacional dentro de la Tierra

Campo de gravedad cerca de la superficie de la Tierra: se muestra un objeto acelerando hacia la superficie.

Si los cuerpos en cuestión tienen extensión espacial (en lugar de masas puntuales), entonces la fuerza gravitatoria entre ellos se calcula sumando las contribuciones de las masas puntuales nocionales que constituyen los cuerpos. En el límite, como las masas puntuales componentes se vuelven "infinitamente pequeñas", esto implica integrar la fuerza (en forma vectorial, ver más abajo) sobre las extensiones de los dos cuerpos .

De esta manera, se puede demostrar que un objeto con una distribución de masa esféricamente simétrica ejerce la misma atracción gravitatoria sobre los cuerpos externos que si toda la masa del objeto estuviera concentrada en un punto en su centro. ^[10] (Esto no es generalmente cierto para cuerpos no esféricamente simétricos).

Para los puntos dentro de una distribución esféricamente simétrica de materia, se puede utilizar el teorema de capas de Newton para hallar la fuerza gravitatoria. El teorema nos dice cómo las diferentes partes de la distribución de masa afectan la fuerza gravitatoria medida en un punto ubicado a una distancia r ₀ del centro de la distribución de masa: ^[12]

• La porción de la masa que se encuentra en radios r < r ₀ causa la misma fuerza en el radio r ₀ como si toda la masa encerrada dentro de una esfera de radio r ₀ estuviera concentrada en el centro de la distribución de masa (como se señaló anteriormente).
• La parte de la masa que se encuentra en los radios r > r ₀ no ejerce ninguna fuerza gravitatoria neta en el radio r ₀ desde el centro. Es decir, las fuerzas gravitatorias individuales ejercidas sobre un punto en el radio r ₀ por los elementos de la masa fuera del radio r ₀ se cancelan entre sí.

Como consecuencia, por ejemplo, dentro de una capa de espesor y densidad uniformes no hay aceleración gravitacional neta en ninguna parte dentro de la esfera hueca.

Forma vectorial

Campo de gravedad que rodea la Tierra desde una perspectiva macroscópica.

La ley de gravitación universal de Newton se puede escribir como una ecuación vectorial para tener en cuenta la dirección de la fuerza gravitacional y su magnitud. En esta fórmula, las cantidades en negrita representan vectores.

$${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}_{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{3}}\mathbf {r} _{21}}$$dónde

• F ₂₁ es la fuerza aplicada sobre el cuerpo 2 ejercida por el cuerpo 1,
• G es la constante gravitacional ,
• m ₁ y m ₂ son respectivamente las masas de los cuerpos 1 y 2,
• r ₂₁ = r ₂ − r ₁ es el vector de desplazamiento entre los cuerpos 1 y 2, y
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r_{2}-r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}-r_{1}} |}}}$es el vector unitario del cuerpo 1 al cuerpo 2. ^[13]

Se puede ver que la forma vectorial de la ecuación es la misma que la forma escalar dada anteriormente, excepto que F ahora es una cantidad vectorial y el lado derecho se multiplica por el vector unitario apropiado. También se puede ver que F ₁₂ = − F ₂₁ .

Campo de gravedad

El campo gravitacional es un campo vectorial que describe la fuerza gravitacional que se aplicaría sobre un objeto en cualquier punto del espacio, por unidad de masa. En realidad, es igual a la aceleración gravitacional en ese punto.

Se trata de una generalización de la forma vectorial, que resulta especialmente útil si intervienen más de dos objetos (como un cohete entre la Tierra y la Luna). Para dos objetos (por ejemplo, el objeto 2 es un cohete y el objeto 1 la Tierra), simplemente escribimos r en lugar de r ₁₂ y m en lugar de m ₂ y definimos el campo gravitatorio g ( r ) como:

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}} }$

para que podamos escribir:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).}$

Esta formulación depende de los objetos que provocan el campo. El campo tiene unidades de aceleración; en el SI , esta es m/ ^s2 .

Los campos gravitatorios también son conservativos , es decir, el trabajo realizado por la gravedad desde una posición a otra es independiente de la trayectoria. Esto tiene como consecuencia que existe un campo de potencial gravitatorio V ( r ) tal que

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

Si m ₁ es una masa puntual o la masa de una esfera con distribución de masa homogénea, el campo de fuerza g ( r ) fuera de la esfera es isótropo, es decir, depende únicamente de la distancia r desde el centro de la esfera. En ese caso

${\displaystyle V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.}$

Según la ley de Gauss , el campo en un cuerpo simétrico se puede encontrar mediante la ecuación matemática:

${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{enc}},}$

donde es una superficie cerrada y es la masa encerrada por la superficie. ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle M_{\text{enc}}}$

Por lo tanto, para una esfera hueca de radio y masa total , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$

Para una esfera sólida uniforme de radio y masa total , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$

Limitaciones

La descripción de Newton de la gravedad es lo suficientemente precisa para muchos propósitos prácticos y, por lo tanto, se utiliza ampliamente. Las desviaciones de ella son pequeñas cuando las cantidades adimensionales y son ambas mucho menores que uno, donde es el potencial gravitatorio , es la velocidad de los objetos que se estudian y es la velocidad de la luz en el vacío. ^[14] Por ejemplo, la gravedad newtoniana proporciona una descripción precisa del sistema Tierra/Sol, ya que ${\displaystyle \phi /c^{2}}$ ${\displaystyle (v/c)^{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {\phi }{c^{2}}}={\frac {GM_{\mathrm {sun} }}{r_{\mathrm {orbit} }c^{2}}}\sim 10^{-8},\quad \left({\frac {v_{\mathrm {Earth} }}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {2\pi r_{\mathrm {orbit} }}{(1\ \mathrm {yr} )c}}\right)^{2}\sim 10^{-8},}$

¿Dónde está el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol? ${\displaystyle r_{\text{orbit}}}$

En situaciones en las que cualquiera de los parámetros adimensionales es grande, se debe utilizar la relatividad general para describir el sistema. La relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana en el límite de potencial pequeño y velocidades bajas, por lo que a menudo se dice que la ley de gravitación de Newton es el límite de gravedad baja de la relatividad general.

Observaciones que contradicen la fórmula de Newton

• La teoría de Newton no explica completamente la precesión del perihelio de las órbitas de los planetas, especialmente la de Mercurio, que fue detectada mucho después de la vida de Newton. ^[15] Hay una discrepancia de 43 segundos de arco por siglo entre el cálculo newtoniano, que surge únicamente de las atracciones gravitacionales de los otros planetas, y la precesión observada, realizada con telescopios avanzados durante el siglo XIX.
• La desviación angular prevista de los rayos de luz por la gravedad (tratada como partículas que viajan a la velocidad esperada) que se calcula utilizando la teoría de Newton es solo la mitad de la desviación que observan los astrónomos. ^{[ cita requerida ]} Los cálculos que utilizan la relatividad general concuerdan mucho más con las observaciones astronómicas.
• En las galaxias espirales, la órbita de las estrellas alrededor de sus centros parece contradecir rotundamente tanto la ley de gravitación universal de Newton como la de la relatividad general. Sin embargo, los astrofísicos explican este marcado fenómeno suponiendo la presencia de grandes cantidades de materia oscura .

La solución de Einstein

Los dos primeros conflictos con las observaciones anteriores se explicaron mediante la teoría de la relatividad general de Einstein , en la que la gravitación es una manifestación del espacio-tiempo curvado en lugar de deberse a una fuerza propagada entre cuerpos. En la teoría de Einstein, la energía y el momento distorsionan el espacio-tiempo en su vecindad, y otras partículas se mueven en trayectorias determinadas por la geometría del espacio-tiempo. Esto permitió una descripción de los movimientos de la luz y la masa que era consistente con todas las observaciones disponibles. En la relatividad general, la fuerza gravitatoria es una fuerza ficticia resultante de la curvatura del espacio-tiempo , porque la aceleración gravitatoria de un cuerpo en caída libre se debe a que su línea del universo es una geodésica del espacio-tiempo .

Extensiones

En los últimos años se han llevado a cabo búsquedas de términos no inversos al cuadrado en la ley de la gravedad mediante interferometría de neutrones . ^[16]

Soluciones de la ley de gravitación universal de Newton

El problema de los n cuerpos es un problema antiguo y clásico ^[17] de predicción de los movimientos individuales de un grupo de objetos celestes que interactúan entre sí gravitacionalmente . La solución de este problema, desde la época de los griegos en adelante, ha estado motivada por el deseo de comprender los movimientos del Sol , los planetas y las estrellas visibles . En el siglo XX, la comprensión de la dinámica de los sistemas estelares de cúmulos globulares también se convirtió en un importante problema de n cuerpos. El problema de los n cuerpos en la relatividad general es considerablemente más difícil de resolver.

El problema físico clásico puede enunciarse informalmente como: dadas las propiedades orbitales cuasi-estacionarias ( posición instantánea, velocidad y tiempo ) ^[18] de un grupo de cuerpos celestes, predecir sus fuerzas interactivas; y en consecuencia, predecir sus verdaderos movimientos orbitales para todos los tiempos futuros . ^[19]

El problema de los dos cuerpos ha sido completamente resuelto, al igual que el problema restringido de los tres cuerpos . ^[20]

Véase también

• Portal de física

• Paradoja de Bentley  : paradoja cosmológica que involucra la gravedad
• Ley de la gravedad de Gauss  – Reformulación de la ley de gravitación universal de Newton
• Marcos de Jordan y Einstein  : diferentes convenciones para el tensor métrico, en una teoría de un dilatón acoplado a la gravedadPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Órbita de Kepler  : Órbita celeste cuya trayectoria es una sección cónica en el plano orbital.
• La bala de cañón de Newton  : experimento mental sobre la gravedad
• Leyes del movimiento de Newton  – Leyes de la física sobre fuerza y ​​movimiento
• Gravedad social  – Teoría social
• Fuerzas estáticas e intercambio de partículas virtuales  : interacción física en la física postclásica

Referencias

1. Fritz Rohrlich (25 de agosto de 1989). De la paradoja a la realidad: nuestros conceptos básicos del mundo físico. Cambridge University Press. pp. 28–. ISBN 978-0-521-37605-1.
2. Klaus Mainzer (2 de diciembre de 2013). Simetrías de la naturaleza: Manual de filosofía de la naturaleza y la ciencia. Walter de Gruyter. pp. 8–. ISBN 978-3-11-088693-1.
3. "Física: Fuerzas fundamentales y síntesis de la teoría | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com .
4. Isaac Newton: "En la filosofía [experimental] se infieren proposiciones particulares de los fenómenos y luego se vuelven generales por inducción": " Principia ", Libro 3, Escolio General, en la pág. 392 del Volumen 2 de la traducción al inglés de Andrew Motte publicada en 1729.
5. El experimento de Michell-Cavendish, Laurent Hodges
6. Hesse, Mary B. (2005). Fuerzas y campos: el concepto de acción a distancia en la historia de la física (Dover ed.). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44240-2.
7. Feather, Norman (1959). Introducción a la física de la masa, la longitud y el tiempo . Editorial de la Universidad de Edimburgo.
8. Whittaker, Edmund T. (1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad. 1: Las teorías clásicas (edición repetida). Nueva York: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
9. La construcción de la ciencia moderna: mecanismos y mecánica , de Richard S. Westfall. Cambridge University Press. 1978
10. Proposición 75, Teorema 35: p. 956 – I.Bernard Cohen y Anne Whitman, traductores: Isaac Newton , Los Principia : Principios matemáticos de la filosofía natural . Precedido por Una guía para los Principia de Newton , por I.Bernard Cohen. University of California Press 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4   
11. "Valor CODATA 2022: constante de gravitación newtoniana". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
12. "Aplanamiento rotacional". farside.ph.utexas.edu .
13. La diferencia vectorial r ₂ − r ₁ apunta del objeto 1 al objeto 2. Véase la figura 11–6 de The Feynman Lectures on Physics, Volumen I, ecuación (9.19) de The Feynman Lectures on Physics, Volumen I y vector euclidiano#Suma y resta
14. Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . Nueva York: WHFreeman and Company. ISBN 978-0-7167-0344-0.Página 1049.
15. Max Born (1924), Teoría de la relatividad de Einstein (La edición de Dover de 1962, página 348, incluye una tabla que documenta los valores observados y calculados para la precesión del perihelio de Mercurio, Venus y la Tierra).
16. Greene, Geoffrey L.; Gudkov, Vladimir (2007). "Método interferométrico de neutrones para proporcionar restricciones mejoradas sobre la gravedad no newtoniana a escala nanométrica". Physical Review C . 75 (1): 015501. arXiv : hep-ph/0608346 . Código Bibliográfico :2007PhRvC..75a5501G. doi :10.1103/PhysRevC.75.015501. S2CID  39665455.
17. Leimanis y Minorsky: Nuestro interés está en Leimanis, quien primero analiza algo de historia sobre el problema de los n cuerpos, especialmente el fracaso del enfoque de variables complejas de veinte años de la Sra. Kovalevskaya entre 1868 y 1888; Sección 1: La dinámica de los cuerpos rígidos y la balística exterior matemática (Capítulo 1, el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo ( ecuaciones de Euler y Poisson ); Capítulo 2, Balística exterior matemática ), buen antecedente precursor del problema de los n cuerpos; Sección 2: Mecánica celeste (Capítulo 1, La uniformización del problema de los tres cuerpos (problema restringido de los tres cuerpos); Capítulo 2, Captura en el problema de los tres cuerpos ; Capítulo 3, Problema generalizado de los n cuerpos ).
18. cuasi-estacionarias se refieren a las cargas inerciales instantáneas generadas por velocidades y aceleraciones angulares instantáneas, así como por aceleraciones traslacionales (9 variables). Es como si uno tomara una fotografía, que también registrara la posición instantánea y las propiedades del movimiento. Por el contrario, una condición de estado estable se refiere a que el estado de un sistema es invariante en el tiempo; de lo contrario, las primeras derivadas y todas las derivadas superiores son cero.
19. RM Rosenberg plantea el problema de los n cuerpos de manera similar (ver Referencias): Cada partícula en un sistema de un número finito de partículas está sujeta a una atracción gravitatoria newtoniana de todas las demás partículas, y a ninguna otra fuerza. Si se da el estado inicial del sistema, ¿cómo se moverán las partículas? Rosenberg no se dio cuenta, como todos los demás, de que es necesario determinar las fuerzas primero antes de poder determinar los movimientos.
20. Se sabe que una solución general y clásica en términos de primeras integrales es imposible. Se puede aproximar una solución teórica exacta para un número arbitrario de n mediante series de Taylor , pero en la práctica, una serie infinita de este tipo debe truncarse, lo que da, en el mejor de los casos, solo una solución aproximada; y un enfoque que ahora está obsoleto. Además, el problema de n cuerpos se puede resolver mediante integración numérica , pero estas también son soluciones aproximadas; y nuevamente obsoletas. Consulte el libro de Sverre J. Aarseth Gravitational N -body Simulations que aparece en las Referencias.

Enlaces externos

• Medios relacionados con la ley de gravitación universal de Newton en Wikimedia Commons
• La pluma y el martillo caen sobre la luna en YouTube
• Calculadora Javascript de la Ley de gravitación universal de Newton