En óptica , la ley del coseno de Lambert dice que la intensidad radiante o intensidad luminosa observada desde una superficie ideal reflectante difusa o radiador difuso ideal es directamente proporcional al coseno del ángulo θ entre la línea de visión del observador y la normal a la superficie ; I = I 0 porque θ . [1] [2] La ley también se conoce como ley de emisión del coseno [3] o ley de emisión de Lambert . Lleva el nombre de Johann Heinrich Lambert , de su Photometria , publicada en 1760. [4]
Una superficie que obedece la ley de Lambert se dice que es lambertiana y exhibe reflectancia lambertiana . Una superficie de este tipo tiene el mismo resplandor / luminancia cuando se ve desde cualquier ángulo. Esto significa, por ejemplo, que para el ojo humano tiene el mismo brillo aparente. Tiene el mismo resplandor porque, aunque la potencia emitida por un elemento de área determinado se reduce en el coseno del ángulo de emisión, el ángulo sólido, subtendido por la superficie visible para el espectador, se reduce en la misma cantidad. Debido a que la relación entre potencia y ángulo sólido es constante, la radiancia (potencia por unidad de ángulo sólido por unidad de área de fuente proyectada) permanece igual.
Cuando un elemento de área irradia como resultado de ser iluminado por una fuente externa, la irradiancia (energía o fotones/tiempo/área) que cae sobre ese elemento de área será proporcional al coseno del ángulo entre la fuente de iluminación y la normal. Un dispersor lambertiano dispersará esta luz según la misma ley del coseno que un emisor lambertiano. Esto significa que aunque el resplandor de la superficie depende del ángulo entre la normal y la fuente de iluminación, no dependerá del ángulo entre la normal y el observador. Por ejemplo, si la luna fuera un dispersor lambertiano, uno esperaría ver su brillo disperso disminuir apreciablemente hacia el terminador debido al mayor ángulo en el que la luz solar incide en la superficie. El hecho de que no disminuya ilustra que la Luna no es un dispersor lambertiano y, de hecho, tiende a dispersar más luz en los ángulos oblicuos que un dispersor lambertiano.
La emisión de un radiador lambertiano no depende de la cantidad de radiación incidente, sino de la radiación que se origina en el propio cuerpo emisor. Por ejemplo, si el sol fuera un radiador lambertiano, se esperaría ver un brillo constante en todo el disco solar. El hecho de que el sol muestre un oscurecimiento de sus extremidades en la región visible ilustra que no es un radiador lambertiano. Un cuerpo negro es un ejemplo de radiador lambertiano.
La situación de una superficie lambertiana (emisora o dispersante) se ilustra en las Figuras 1 y 2. Para mayor claridad conceptual pensaremos en términos de fotones en lugar de energía o energía luminosa . Cada una de las cuñas en el círculo representa un ángulo igual d Ω, de un tamaño elegido arbitrariamente, y para una superficie lambertiana, el número de fotones por segundo emitidos en cada cuña es proporcional al área de la cuña.
La longitud de cada cuña es el producto del diámetro del círculo y cos( θ ). La tasa máxima de emisión de fotones por unidad de ángulo sólido está a lo largo de la normal y disminuye a cero para θ = 90°. En términos matemáticos, la radiancia a lo largo de la normal es I fotones/(s·m 2 ·sr) y el número de fotones por segundo emitidos en la cuña vertical es I d Ω dA . El número de fotones por segundo emitidos dentro de la cuña en el ángulo θ es I cos( θ ) d Ω dA .
La figura 2 representa lo que ve un observador. El observador directamente encima del elemento de área verá la escena a través de una apertura de área dA 0 y el elemento de área dA subtenderá un ángulo (sólido) de d Ω 0 , que es una parte del campo de visión angular total del observador. de la escena. Dado que el tamaño de la cuña d Ω se eligió arbitrariamente, por conveniencia podemos suponer sin pérdida de generalidad que coincide con el ángulo sólido subtendido por la apertura cuando "se ve" desde el lugar geométrico del elemento del área emisora dA. Por lo tanto, el observador normal registrará los mismos fotones I d Ω dA por segundo de emisión derivados anteriormente y medirá una radiancia de
El observador en el ángulo θ con respecto a la normal verá la escena a través de la misma apertura del área dA 0 (todavía correspondiente a una cuña d Ω) y desde esta posición oblicua el elemento del área dA se escorza y subtenderá un ángulo (sólido) de d Ω 0 porque( θ ). Este observador registrará I cos( θ ) d Ω dA fotones por segundo, por lo que medirá una radiancia de
que es lo mismo que el observador normal.
En general, la intensidad luminosa de un punto de una superficie varía según la dirección; para una superficie lambertiana, esa distribución está definida por la ley del coseno, con una intensidad luminosa máxima en la dirección normal. Por lo tanto, cuando se cumple la suposición lambertiana, podemos calcular el flujo luminoso total , , a partir de la intensidad luminosa máxima , , integrando la ley del coseno:
donde está el determinante de la matriz jacobiana para la esfera unitaria , y teniendo en cuenta que es el flujo luminoso por estereorradián . [5] Del mismo modo, la intensidad máxima será la del flujo luminoso total radiado. Para las superficies lambertianas, el mismo factor relaciona la luminancia con la emitancia luminosa , la intensidad radiante con el flujo radiante y la radiancia con la emitancia radiante . [ cita necesaria ] Los radianes y los estereorradián, por supuesto, no tienen dimensiones, por lo que "rad" y "sr" se incluyen solo para mayor claridad.
Ejemplo: una superficie con una luminancia de, digamos, 100 cd/m 2 (= 100 nits, monitor de PC típico), si es un emisor Lambert perfecto, tendrá una emitancia luminosa de 100π lm/m 2 . Si su área es de 0,1 m 2 (monitor de ~19"), entonces la luz total emitida, o flujo luminoso, sería de 31,4 lm.
