Ley de Curie

Relación de la magnetización con el campo magnético aplicado y la temperatura

En el caso de muchos materiales paramagnéticos , la magnetización del material es directamente proporcional al campo magnético aplicado , para temperaturas suficientemente altas y campos pequeños. Sin embargo, si el material se calienta, esta proporcionalidad se reduce. Para un valor fijo del campo, la susceptibilidad magnética es inversamente proporcional a la temperatura, es decir

${\displaystyle M=\chi H,\quad \chi ={\frac {C}{T}},}$

dónde

${\displaystyle \chi >0}$es la susceptibilidad magnética (volumen),

${\displaystyle M}$es la magnitud de la magnetización resultante ( A / m ),

${\displaystyle H}$es la magnitud del campo magnético aplicado (A/m),

${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta ( K ),

${\displaystyle C}$es una constante de Curie específica del material (K).

Pierre Curie descubrió esta relación, conocida ahora como ley de Curie, ajustando datos experimentales. Solo se cumple para temperaturas altas y campos magnéticos débiles. Como muestran las derivaciones a continuación, la magnetización se satura en el límite opuesto de temperaturas bajas y campos magnéticos fuertes. Si la constante de Curie es nula, dominan otros efectos magnéticos, como el diamagnetismo de Langevin o el paramagnetismo de Van Vleck .

Derivación con mecánica cuántica

Magnetización de un paramagnético en función de la temperatura inversa

Un modelo simple de un paramagnético se concentra en las partículas que lo componen y que no interactúan entre sí. Cada partícula tiene un momento magnético dado por . La energía de un momento magnético en un campo magnético está dada por ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$

${\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$

donde es la densidad del campo magnético, medida en teslas (T). ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$

Partículas de dos estados (espín 1/2)

Para simplificar el cálculo, vamos a trabajar con una partícula de dos estados : puede alinear su momento magnético con el campo magnético o en contra de él. Por lo tanto, los únicos valores posibles del momento magnético son y . Si es así, entonces dicha partícula tiene solo dos energías posibles, cuando está alineada con el campo y cuando está orientada en sentido opuesto al campo. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\mu }$ ${\displaystyle -\mu B}$ ${\displaystyle +\mu B}$

El grado en que los momentos magnéticos están alineados con el campo se puede calcular a partir de la función de partición . Para una sola partícula, esto es

${\displaystyle Z_{1}=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh(\mu B\beta ).}$

La función de partición para un conjunto de N partículas de este tipo, si no interactúan entre sí, es

${\displaystyle Z=Z_{1}^{N},}$

y por lo tanto la energía libre es

${\displaystyle G=-{\frac {1}{\beta }}\log Z=-Nk_{\rm {B}}T\log Z_{1}.}$

La magnetización es la derivada negativa de la energía libre con respecto al campo aplicado, por lo que la magnetización por unidad de volumen es

${\displaystyle M=n\mu \tanh {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}},}$

donde n es la densidad numérica de los momentos magnéticos. ^{[1] : 117} La fórmula anterior se conoce como ecuación paramagnética de Langevin . Pierre Curie encontró una aproximación a esta ley que se aplica a las temperaturas relativamente altas y los campos magnéticos bajos utilizados en sus experimentos . A medida que aumenta la temperatura y disminuye el campo magnético, el argumento de la tangente hiperbólica disminuye. En el régimen de Curie ,

${\displaystyle {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}}\ll 1.}$

Además, si , entonces ${\displaystyle |x|\ll 1}$

${\displaystyle \tanh x\approx x,}$

Entonces la magnetización es pequeña y podemos escribir , y por lo tanto ${\displaystyle B\approx \mu _{0}H}$

${\displaystyle M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k_{\rm {B}}}}{\frac {H}{T}}.}$

En este régimen, la susceptibilidad magnética dada por

${\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}}$

rendimientos

${\displaystyle \chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},}$

con una constante de Curie dada por , en kelvins (K). ^[2] ${\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k_{\rm {B}}}$

En el régimen de bajas temperaturas o campos elevados, tiende a un valor máximo de , correspondiente a que todas las partículas estén completamente alineadas con el campo. Dado que este cálculo no describe los electrones incrustados en lo profundo de la superficie de Fermi , a los que el principio de exclusión de Pauli les prohíbe invertir sus espines, no ejemplifica las estadísticas cuánticas del problema a bajas temperaturas. Utilizando la distribución de Fermi-Dirac , se encontrará que a bajas temperaturas es linealmente dependiente del campo magnético, de modo que la susceptibilidad magnética se satura hasta una constante. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\mu }$ ${\displaystyle M}$

Caso general

Cuando las partículas tienen un espín arbitrario (cualquier número de estados de espín), la fórmula es un poco más complicada. En campos magnéticos bajos o temperaturas altas, el espín sigue la ley de Curie, con ^[3]

${\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\text{B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}$

donde es el número cuántico del momento angular total y es el factor g (de modo que es el momento magnético). Para un sistema de dos niveles con momento magnético , la fórmula se reduce a lo anterior, mientras que las expresiones correspondientes en unidades gaussianas son ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu =gJ\mu _{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu _{0}\mu ^{2},}$$ $${\displaystyle C={\frac {\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}$$ $${\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu ^{2}.}$$

Para obtener esta fórmula más general y su derivación (que incluye campos elevados y temperaturas bajas), consulte el artículo Función de Brillouin . A medida que el espín se acerca al infinito, la fórmula para la magnetización se acerca al valor clásico que se deriva en la siguiente sección.

Derivación con mecánica estadística clásica

Se aplica un tratamiento alternativo cuando se supone que los paraimanes son momentos magnéticos clásicos que giran libremente. En este caso, su posición estará determinada por sus ángulos en coordenadas esféricas y la energía para uno de ellos será:

${\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}$

donde es el ángulo entre el momento magnético y el campo magnético (que consideramos que apunta en la coordenada). La función de partición correspondiente es ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}$

Vemos que no hay dependencia del ángulo, y también podemos cambiar las variables para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle y=\cos \theta }$

${\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}$

Ahora, el valor esperado del componente de la magnetización (los otros dos se consideran nulos (debido a la integración sobre ), como deberían) estará dado por ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}$

Para simplificar el cálculo, vemos que esto se puede escribir como una diferenciación de : ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}}$

(Este enfoque también se puede utilizar para el modelo anterior, pero el cálculo es tan simple que no resulta tan útil).

Realizando la derivación encontramos

${\displaystyle M=n\left\langle \mu _{z}\right\rangle =n\mu L(\mu B\beta ),}$

¿Dónde está la función de Langevin ? ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}$

Esta función parecería ser singular para valores pequeños de , pero no lo es, ya que los dos términos singulares se cancelan entre sí. De hecho, su comportamiento para argumentos pequeños es , por lo que también se aplica el límite de Curie, pero con una constante de Curie tres veces menor en este caso. De manera similar, la función se satura en para valores grandes de su argumento, y el límite opuesto también se recupera. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(x)\approx x/3}$ ${\displaystyle 1}$

Historia

Pierre Curie observó en 1895 que la susceptibilidad magnética del oxígeno es inversamente proporcional a la temperatura. Paul Langevin presentó una derivación clásica de esta relación diez años después. ^[4]

Véase también

• Ley de Curie-Weiss

Referencias

1. Kardar, Mehran (2007). Física estadística de partículas . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87342-0.OCLC 860391091  .
2. Coey, JMD; Coey, JMD (25 de marzo de 2010). Magnetismo y materiales magnéticos. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81614-4.
3. Kittel, Charles (11 de noviembre de 2004). Introducción a la física del estado sólido (8.ª ed.). Wiley. pp. 304. ISBN 0-471-41526-X.
4. Van Vleck, JH (14 de julio de 1978). "Mecánica cuántica: la clave para comprender el magnetismo". Science . 201 (4351): 113–120. doi :10.1126/science.201.4351.113.

Enlaces externos

• Ley de Curie en Merriam-Webster