En geometría diferencial , la integración a lo largo de fibras de una forma k produce una forma donde m es la dimensión de la fibra, mediante "integración". También se le llama integración de fibras .![{\displaystyle (km)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición
Sea un haz de fibras sobre un colector con fibras orientadas compactas. Si es una forma k en E , entonces para vectores tangentes w i en b , sea![{\displaystyle \pi :E\a B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\pi _{*}\alpha )_{b}(w_{1},\dots ,w_{km})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está la forma superior inducida en la fibra ? es decir, una forma dada por: con elevaciones de a ,![{\displaystyle\beta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi ^{-1}(b)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widetilde {w_{i}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle w_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta (v_{1},\dots ,v_{m})=\alpha (v_{1},\dots ,v_{m},{\widetilde {w_{1}}},\dots , {\widetilde {w_{km}}}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(Para ver que es fluido, resuélvalo en coordenadas; consulte el ejemplo a continuación).![{\displaystyle b\mapsto (\pi _ {*}\alpha )_ {b}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces es un mapa lineal . Según la fórmula de Stokes, si las fibras no tienen límites (es decir ), el mapa desciende a la cohomología de De Rham :![{\displaystyle \pi _{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega ^{k}(E)\to \Omega ^{km}(B)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [d,\int ]=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{*}:\operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{km}(B;\mathbb {R} ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto también se llama integración de fibras.
Ahora, supongamos que es un paquete de esferas ; es decir, la fibra típica es una esfera. Luego hay una secuencia exacta , K el núcleo, que conduce a una secuencia exacta larga, eliminando el coeficiente y usando :
![{\displaystyle 0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _ {*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
llamada secuencia de Gysin .
Ejemplo
Sea una proyección obvia. Primero supongamos con coordenadas y considere una k -forma:![{\displaystyle \pi :M\times [0,1]\to M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha =f\,dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}+g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_ {j_ {k-1}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces, en cada punto de M ,
[1]
A partir de este cálculo local, se desprende fácilmente la siguiente fórmula (ver Poincaré_lemma#Direct_proof ): si hay alguna k -forma en![{\displaystyle \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M\times [0,1],}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está la restricción de a ?![{\displaystyle \alpha _ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M\times \{i\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como aplicación de esta fórmula, sea un mapa suave (considerado como una homotopía). Entonces la composición es un operador de homotopía (también llamado homotopía en cadena):![{\displaystyle f:M\times [0,1]\to N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h=\pi _{*}\circ f^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M ),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo que implica inducir el mismo mapa en cohomología, hecho conocido como invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham . Como corolario, por ejemplo, sea U una bola abierta en R n con centro en el origen y sea . Luego , el hecho conocido como lema de Poincaré .![{\ Displaystyle f_ {1}, f_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{t}:U\to U,x\mapsto tx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fórmula de proyección
Dado un paquete de vectores π : E → B sobre una variedad, decimos que una forma diferencial α en E tiene soporte vertical compacto si la restricción tiene soporte compacto para cada b en B . Escribimos para el espacio vectorial de formas diferenciales en E con soporte vertical compacto. Si E está orientado como un haz de vectores, exactamente como antes, podemos definir la integración a lo largo de la fibra:![{\displaystyle \alpha |_{\pi ^{-1}(b)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega _ {vc}^{*}(E)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Lo siguiente se conoce como fórmula de proyección. [2] Creamos un módulo derecho estableciendo .![{\displaystyle \Omega _ {vc}^{*}(E)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega ^{*}(B)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba: 1. Dado que la afirmación es local, podemos suponer que π es trivial: es decir, es una proyección. Sean las coordenadas de la fibra. Si , entonces, dado que es un homomorfismo de anillo,![{\displaystyle \pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi ^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1} ,\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera similar, ambos lados son cero si α no contiene dt . La prueba de 2. es similar.![{\displaystyle \cuadrado }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Notas
- ^ Si , entonces, en un punto b de M , identificando 's con sus elevaciones, tenemos:
![{\displaystyle \alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle \ parcial _ {x_ {j}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta (\partial _ {t})=\alpha (\partial _ {t},\partial _ {x_ {j_ {1}}}, \ dots, \ partial _ {x_ {j_ {k- 1}}})=g(b,t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y entonces![{\displaystyle \pi _{*}(\alpha )_{b}(\partial _{x_{j_{1}}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})= \int _{[0,1]}\beta =\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto,
mediante el mismo cálculo, si dt no aparece en α .![{\displaystyle \pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}} \wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _ {*}(\alpha )=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Bott y Tu 1982, Proposición 6.15; tenga en cuenta que utilizan una definición diferente a la que aparece aquí, lo que resulta en un cambio de signo.
Referencias
- Michele Audin , Acciones de toro sobre variedades simplécticas, Birkhauser, 2004
- Bott, Raúl ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90613-4