Independencia libre

En la teoría matemática de la probabilidad libre , la noción de independencia libre fue introducida por Dan Voiculescu . ^[1] La definición de independencia libre es paralela a la definición clásica de independencia , excepto que el papel de los productos cartesianos de los espacios de medida (correspondientes a los productos tensoriales de sus álgebras de funciones) lo desempeña la noción de un producto libre de espacios de probabilidad (no conmutativos).

En el contexto de la teoría de la probabilidad libre de Voiculescu, muchos teoremas o fenómenos de probabilidad clásica tienen análogos de probabilidad libre: el mismo teorema o fenómeno se cumple (quizás con ligeras modificaciones) si se reemplaza la noción clásica de independencia por la de independencia libre. Algunos ejemplos de esto incluyen: el teorema del límite central libre; las nociones de convolución libre ; la existencia de cálculo estocástico libre, etc.

Sea un espacio de probabilidad no conmutativo, es decir, un álgebra unital sobre dotada de un funcional lineal unital . Como ejemplo, se podría tomar, para una medida de probabilidad , ${\displaystyle (A,\phi )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle A=L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mu ),\phi (f)=\int f(t)\,d\mu (t).}$

Otro ejemplo puede ser el álgebra de matrices con el funcional dado por la traza normalizada . Incluso de manera más general, podría ser un álgebra de von Neumann y un estado en . Un ejemplo final es el álgebra de grupos de un grupo (discreto) con el funcional dado por la traza del grupo . ${\displaystyle A=M_{N}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \phi ={\frac {1}{N}}Tr}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\mathbb {C} \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (g)=\delta _{g=e},g\in \Gamma }$

Sea una familia de subálgebras unitarias de . ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle A}$

Definición . La familia se llama libremente independiente si siempre que , y . ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=0}$ ${\displaystyle \phi (x_{j})=0}$ ${\displaystyle x_{j}\in A_{i(j)}}$ ${\displaystyle i(1)\neq i(2),i(2)\neq i(3),\dots }$

Si , es una familia de elementos de (estos pueden considerarse como variables aleatorias en ), se denominan ${\displaystyle X_{i}\in A}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

libremente independiente si las álgebras generadas por y son libremente independientes. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Ejemplos de libre independencia

• Sea el producto libre de los grupos , sea el álgebra de grupos, sea la traza del grupo y el conjunto . Entonces son libremente independientes. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{i},i\in I}$ ${\displaystyle A=\mathbb {C} \Gamma }$ ${\displaystyle \phi (g)=\delta _{g=e}}$ ${\displaystyle A_{i}=\mathbb {C} \Gamma _{i}\subset A}$ ${\displaystyle A_{i}:i\in I}$
• Sean matrices aleatorias unitarias , tomadas independientemente al azar del grupo unitario ( con respecto a la medida de Haar ). Entonces se vuelven asintóticamente libremente independientes como . (La libertad asintótica significa que la definición de libertad se cumple en el límite como ). ${\displaystyle U_{i}(N),i=1,2}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle U_{1}(N),U_{2}(N)}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle N\to \infty }$
• De manera más general, las matrices aleatorias independientes tienden a ser asintóticamente libremente independientes, bajo ciertas condiciones.

Referencias

1. D. Voiculescu, K. Dykema, A. Nica, "Variables aleatorias libres", Serie de monografías del CIRM, AMS, Providence, RI, 1992

Fuentes

• James A. Mingo, Roland Speicher: Probabilidad libre y matrices aleatorias. Fields Institute Monographs, vol. 35, Springer, Nueva York, 2017.