Hidrodinámica de partículas suavizadas

Método de simulación hidrodinámica.

Vista esquemática de una convolución SPH

Flujo alrededor de un cilindro con superficie libre modelado con SPH. Consulte ^[1] para simulaciones similares.

La hidrodinámica de partículas suavizadas ( SPH ) es un método computacional utilizado para simular la mecánica de medios continuos, como la mecánica de sólidos y los flujos de fluidos . Fue desarrollado por Gingold y Monaghan ^[2] y Lucy ^[3] en 1977, inicialmente para problemas astrofísicos. Se ha utilizado en muchos campos de investigación, incluida la astrofísica , la balística , la vulcanología y la oceanografía . Es un método lagrangiano sin malla (donde las coordenadas se mueven con el fluido) y la resolución del método se puede ajustar fácilmente con respecto a variables como la densidad .

Método

Ventajas

• Por construcción, SPH es un método sin malla , lo que lo hace ideal para simular problemas dominados por dinámicas de límites complejas, como flujos superficiales libres o grandes desplazamientos de límites.
• La falta de una malla simplifica significativamente la implementación del modelo y su paralelización, incluso para arquitecturas de muchos núcleos . ^{[4] [5]}

• SPH se puede extender fácilmente a una amplia variedad de campos e hibridar con algunos otros modelos, como se analiza en Modelado de física.
• Como se analizó en la sección sobre SPH débilmente compresible, el método tiene excelentes características de conservación.
• El costo computacional de las simulaciones SPH por número de partículas es significativamente menor que el costo de las simulaciones basadas en cuadrículas por número de celdas cuando la métrica de interés está relacionada con la densidad del fluido (por ejemplo, la función de densidad de probabilidad de las fluctuaciones de densidad). ^[6] Este es el caso porque en SPH la resolución se pone donde está el asunto.

Limitaciones

• Establecer condiciones de contorno en SPH, como entradas y salidas ^[7] y paredes ^[8], es más difícil que con los métodos basados ​​en cuadrículas. De hecho, se ha afirmado que "el tratamiento de las condiciones de contorno es sin duda uno de los puntos técnicos más difíciles del método SPH". ^[9] Este desafío se debe en parte a que en SPH las partículas cercanas al límite cambian con el tiempo. ^[10] No obstante, las condiciones de contorno de la pared para SPH están disponibles ^{[8] [10] [11]}
• El costo computacional de las simulaciones SPH por número de partículas es significativamente mayor que el costo de las simulaciones basadas en cuadrículas por número de celdas cuando la métrica de interés no está (directamente) relacionada con la densidad (por ejemplo, el espectro de energía cinética). ^{[6] Por lo tanto, pasando por alto los problemas de} aceleración paralela , la simulación de flujos de densidad constante (por ejemplo, aerodinámica externa ) es más eficiente con métodos basados ​​en cuadrículas que con SPH.

Ejemplos

Dinámica de fluidos

Fig. Simulación SPH de olas oceánicas usando FLUIDS v.1 (Hoetzlein)

La hidrodinámica de partículas suavizadas también se utiliza cada vez más para modelar el movimiento de fluidos . Esto se debe a varios beneficios sobre las técnicas tradicionales basadas en redes. Primero, SPH garantiza la conservación de la masa sin cálculos adicionales, ya que las partículas mismas representan masa. En segundo lugar, SPH calcula la presión a partir de las contribuciones ponderadas de las partículas vecinas en lugar de resolver sistemas lineales de ecuaciones. Finalmente, a diferencia de las técnicas basadas en cuadrículas, que deben rastrear los límites de los fluidos, SPH crea una superficie libre para fluidos de dos fases que interactúan directamente, ya que las partículas representan el fluido más denso (generalmente agua) y el espacio vacío representa el fluido más ligero (generalmente aire). Por estas razones, es posible simular el movimiento de fluidos utilizando SPH en tiempo real. Sin embargo, tanto las técnicas basadas en cuadrículas como las SPH todavía requieren la generación de una geometría de superficie libre renderizable utilizando una técnica de poligonización como metabolas y cubos de marcha , salpicaduras de puntos o visualización de "alfombra". Para la dinámica de gases, es más apropiado utilizar la propia función kernel para producir una representación de la densidad de la columna de gas (por ejemplo, como se hace en el paquete de visualización SPLASH).

Un inconveniente de las técnicas basadas en cuadrículas es la necesidad de un gran número de partículas para producir simulaciones de resolución equivalente. En la implementación típica de técnicas de cuadrículas uniformes y partículas SPH, se usarán muchos vóxeles o partículas para llenar volúmenes de agua que nunca se renderizan. Sin embargo, la precisión puede ser significativamente mayor con técnicas sofisticadas basadas en cuadrículas, especialmente aquellas combinadas con métodos de partículas (como conjuntos de niveles de partículas), ya que es más fácil imponer la condición de incompresibilidad en estos sistemas. SPH para simulación de fluidos se utiliza cada vez más en animaciones y juegos en tiempo real donde la precisión no es tan crítica como la interactividad.

Trabajos recientes en SPH para simulación de fluidos han aumentado el rendimiento, la precisión y las áreas de aplicación:

• B. Solenthaler, 2009, desarrolla SPH predictivo-correctivo (PCISPH) para permitir mejores restricciones de incompresibilidad ^[12]
• M. Ihmsen et al., 2010, introducen el manejo de límites y el paso de tiempo adaptativo para PCISPH para interacciones precisas con cuerpos rígidos ^[13]
• K. Bodin et al., 2011, reemplazan la ecuación estándar de presión de estado con una restricción de densidad y aplican un integrador de tiempo variacional ^[14]
• R. Hoetzlein, 2012, desarrolla SPH eficiente basado en GPU para escenas grandes en Fluids v.3 ^[15]
• N. Akinci et al., 2012, introducen una técnica de manejo de límites versátil y acoplamiento rígido SPH bidireccional que se basa completamente en fuerzas hidrodinámicas; el enfoque es aplicable a diferentes tipos de solucionadores SPH ^[16]
• M. Macklin et al., 2013 simula flujos incompresibles dentro del marco de dinámica basada en posición, para intervalos de tiempo más grandes ^[17]
• N. Akinci et al., 2013, introducen una técnica versátil de tensión superficial y adhesión fluido-sólido bidireccional que permite simular una variedad de efectos físicos interesantes que se observan en la realidad ^[18]
• J. Kyle y E. Terrell, 2013, aplican SPH a la lubricación de película completa ^[19]
• A. Mahdavi y N. Talebbeydokhti, 2015, proponen un algoritmo híbrido para implementar una condición de contorno sólido y simular el flujo sobre un vertedero de cresta pronunciada ^[20]
• S. Tavakkol et al., 2016, desarrollan curvSPH, que independiza el tamaño horizontal y vertical de las partículas y genera una distribución de masa uniforme a lo largo de límites curvos ^[21]
• W. Kostorz y A. Esmail-Yakas, 2020, proponen un método general, eficiente y simple para evaluar factores de normalización cerca de límites planos por partes ^[11]
• Colagrossi et al., 2019, estudian el flujo alrededor de un cilindro cerca de una superficie libre y lo comparan con otras técnicas ^[1]

Astrofísica

La resolución adaptativa de la hidrodinámica de partículas suavizadas, la conservación numérica de cantidades físicamente conservadas y la capacidad de simular fenómenos que cubren muchos órdenes de magnitud la hacen ideal para cálculos en astrofísica teórica . ^[22]

Simulaciones de formación de galaxias , formación de estrellas , colisiones estelares , ^[23] supernovas ^[24] e impactos de meteoritos son algunos de la amplia variedad de usos astrofísicos y cosmológicos de este método.

SPH se utiliza para modelar flujos hidrodinámicos, incluidos posibles efectos de la gravedad . La incorporación de otros procesos astrofísicos que pueden ser importantes, como la transferencia radiativa y los campos magnéticos , es un área activa de investigación en la comunidad astronómica y ha tenido cierto éxito limitado. ^{[25] [26]}

Mecánica sólida

Libersky y Petschek ^{[27] [28]} extendieron SPH a la Mecánica de Sólidos. La principal ventaja de SPH en esta aplicación es la posibilidad de lidiar con una distorsión local mayor que los métodos basados ​​en red. Esta característica ha sido explotada en muchas aplicaciones de la Mecánica de Sólidos: conformación de metales, impacto, crecimiento de grietas, fractura, fragmentación, etc.

Otra ventaja importante de los métodos sin malla en general, y de SPH en particular, es que los problemas de dependencia de la malla se evitan naturalmente dada la naturaleza sin malla del método. En particular, la alineación de la malla está relacionada con problemas que involucran grietas y se evita en SPH debido al soporte isotrópico de las funciones del núcleo. Sin embargo, las formulaciones clásicas de SPH sufren de inestabilidades de tracción ^[29] y falta de consistencia. ^[30] En los últimos años, se han introducido diferentes correcciones para mejorar la precisión de la solución SPH, lo que llevó al RKPM de Liu et al. ^[31] Randles y Libersky ^[32] y Johnson y Beissel ^[33] intentaron resolver el problema de coherencia en su estudio de los fenómenos de impacto.

Dyka et al. ^{[34] [35]} y Randles y Libersky ^[36] introdujeron la integración del punto de tensión en SPH y Ted Belytschko et al. ^[37] demostraron que la técnica del punto de tensión elimina la inestabilidad debida a modos singulares espurios, mientras que las inestabilidades de tracción pueden evitarse utilizando un núcleo lagrangiano. Se pueden encontrar muchos otros estudios recientes en la literatura dedicada a mejorar la convergencia del método SPH.

Las mejoras recientes en la comprensión de la convergencia y estabilidad de SPH han permitido aplicaciones más amplias en Mecánica de Sólidos. Otros ejemplos de aplicaciones y desarrollos del método incluyen:

• Simulaciones de conformado de metales. ^[38]
• Método SPAM (Mecánica Aplicada de Partículas Suavizadas) basado en SPH para fractura por impacto en sólidos por William G. Hoover . ^[39]
• SPH modificado (SPH/MLSPH) para fractura y fragmentación. ^[40]
• Taylor-SPH (TSPH) para la propagación de ondas de choque en sólidos. ^[41]
• La coordenada generalizada SPH (GSPH) asigna partículas de manera no homogénea en el sistema de coordenadas cartesianas y las organiza mediante mapeo en un sistema de coordenadas generalizado en el que las partículas están alineadas con un espaciado uniforme. ^[42]

herramientas numéricas

Interpolaciones

El método de hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH) funciona dividiendo el fluido en un conjunto de elementos móviles discretos , denominados partículas. Su naturaleza lagrangiana permite fijar su posición mediante la integración de su velocidad como: ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {v}}_{i}.}$

Estas partículas interactúan a través de una función del núcleo con un radio característico conocido como "longitud de suavizado", típicamente representada en ecuaciones por . Esto significa que la cantidad física de cualquier partícula se puede obtener sumando las propiedades relevantes de todas las partículas que se encuentran dentro del rango del núcleo, utilizándose este último como función de ponderación . Esto se puede entender en dos pasos. Primero, se escribe un campo arbitrario como una convolución con : ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})=\int A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}}|,h)\,\mathrm {d} V\!\left({\boldsymbol {r'}}\right).}$

El error al realizar la aproximación anterior es el orden . En segundo lugar, la integral se aproxima mediante una suma de Riemann sobre las partículas: ${\displaystyle h^{2}}$

${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})=\sum _{j}V_{j}A_{j}W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{j}|,h),}$

donde la suma incluye todas las partículas de la simulación. es el volumen de la partícula , es el valor de la cantidad de la partícula y denota la posición. Por ejemplo, la densidad de una partícula se puede expresar como: ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \rho _{i}=\rho ({\boldsymbol {r}}_{i})=\sum _{j}m_{j}W_{ij},}$

donde denota la masa de la partícula y la densidad de la partícula, mientras que es una notación corta para . El error cometido al aproximar la integral mediante una suma discreta depende de , del tamaño de las partículas (es decir , que es la dimensión espacial) y de la disposición de las partículas en el espacio. Este último efecto aún es poco conocido. ^[43] ${\displaystyle m_{j}=\rho _{j}V_{j}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$ ${\displaystyle W(|{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}|,h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V_{j}^{1/d}}$ ${\displaystyle d}$

Las funciones del núcleo comúnmente utilizadas incluyen la función gaussiana , el spline quíntico y el núcleo de Wendland. ^[44] Los dos últimos núcleos tienen un soporte compacto (a diferencia del gaussiano, donde hay una pequeña contribución a cualquier distancia finita), con un soporte proporcional a . Esto tiene la ventaja de ahorrar esfuerzo computacional al no incluir las contribuciones relativamente menores de partículas distantes. ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle h}$

Aunque el tamaño de la longitud de suavizado se puede fijar tanto en el espacio como en el tiempo , esto no aprovecha todo el poder de SPH. Al asignar a cada partícula su propia longitud de suavizado y permitir que varíe con el tiempo, se puede hacer que la resolución de una simulación se adapte automáticamente dependiendo de las condiciones locales. Por ejemplo, en una región muy densa donde muchas partículas están muy juntas, la longitud de suavizado se puede hacer relativamente corta, lo que produce una alta resolución espacial. Por el contrario, en regiones de baja densidad donde las partículas individuales están muy separadas y la resolución es baja, se puede aumentar la longitud del suavizado, optimizando el cálculo para las regiones de interés.

Discretización de ecuaciones gobernantes.

Para partículas de masa constante, diferenciar la densidad interpolada con respecto al tiempo produce ${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=\sum _{j}m_{j}\left({\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\cdot \nabla W_{ij},}$

¿ Dónde está el gradiente de con respecto a ? Comparando esta ecuación con la ecuación de continuidad en la descripción lagrangiana (usando derivadas materiales ), ${\displaystyle \nabla W_{ij}=-\nabla W_{ji}}$ ${\displaystyle W_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=-\rho \nabla \cdot {\boldsymbol {v}},}$

es evidente que su lado derecho es una aproximación de ; por tanto, se define un operador de divergencia discreto de la siguiente manera: ${\displaystyle -\rho \nabla \cdot \mathbf {v} }$

${\displaystyle \operatorname {D} _{i}\left\{{\boldsymbol {v}}_{j}\right\}=-{\frac {1}{\rho _{i}}}\sum _{j}m_{j}\left({\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\cdot \nabla W_{ij}.}$

Este operador proporciona una aproximación SPH de la partícula para un conjunto dado de partículas con masas , posiciones y velocidades dadas . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {r} _{j}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {v} _{j}\right\}}$

La otra ecuación importante para un fluido no viscoso compresible es la ecuación de Euler para el equilibrio del momento:

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\boldsymbol {g}}}$

De manera similar a la continuidad, la tarea es definir un operador de gradiente discreto para escribir

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {v}}_{i}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {\mathbf {G} } _{i}\left\{p_{j}\right\}+{\boldsymbol {g}}}$

Una opción es

${\displaystyle \operatorname {\mathbf {G} } _{i}\left\{p_{j}\right\}=\rho _{i}\sum _{j}m_{j}\left({\frac {p_{i}}{\rho _{i}^{2}}}+{\frac {p_{j}}{\rho _{j}^{2}}}\right)\nabla W_{ij},}$

que tiene la propiedad de ser adjunto sesgado con el operador de divergencia anterior, en el sentido de que

${\displaystyle \sum _{i}V_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}\cdot \operatorname {\mathbf {G} } _{i}\left\{p_{j}\right\}=-\sum _{i}V_{i}p_{i}\operatorname {D} _{i}\left\{{\boldsymbol {v}}_{j}\right\},}$

siendo esta una versión discreta de la identidad continua

${\displaystyle \int {\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} p=-\int p\operatorname {div} \cdot {\boldsymbol {v}}.}$

Esta propiedad conduce a buenas propiedades de conservación. ^[45]

Observe también que esta elección conduce a un operador de divergencia simétrico y a un gradiente antisimétrico. Aunque hay varias formas de discretizar el gradiente de presión en las ecuaciones de Euler, la forma antisimétrica anterior es la más reconocida. Admite una conservación estricta del momento lineal y angular. Esto significa que una fuerza que se ejerce sobre partícula a partícula es igual a la que se ejerce sobre partícula a partícula incluyendo el cambio de signo de la dirección efectiva, gracias a la propiedad de antisimetría . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \nabla W_{ij}=-\nabla W_{ji}}$

Sin embargo, se han propuesto otros operadores que pueden funcionar mejor numérica o físicamente. Por ejemplo, una desventaja de estos operadores es que si bien la divergencia es consistente con el orden cero (es decir, produce cero cuando se aplica a un campo vectorial constante), se puede ver que el gradiente no lo es. Se han propuesto varias técnicas para evitar este problema, lo que lleva a operadores renormalizados (ver, por ejemplo, ^[46] ). ${\displaystyle \operatorname {D} }$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {G} } }$

Principio variacional

Las ecuaciones que rigen SPH anteriores se pueden derivar de un principio de acción mínima , comenzando por el lagrangiano de un sistema de partículas:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{j}m_{j}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}_{j}^{2}-e_{j}+{\boldsymbol {g}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{j}\right)}$,

¿ Dónde está la energía interna específica de la partícula ? La ecuación de Euler-Lagrange de mecánica variacional dice, para cada partícula: ${\displaystyle e_{j}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {v}}_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}.}$

Cuando se aplica al lagrangiano anterior, se obtiene la siguiente ecuación de impulso:

${\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\sum _{j}m_{j}{\frac {\partial e_{j}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}+m_{i}{\boldsymbol {g}}=-\sum _{j}m_{j}{\frac {\partial e_{j}}{\partial \rho _{j}}}{\frac {\partial \rho _{j}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}+m_{i}{\boldsymbol {g}}}$

donde se ha utilizado la regla de la cadena, ya que depende de , y ésta última, de la posición de las partículas. Usando la propiedad termodinámica podemos escribir ${\displaystyle e_{j}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} e=\left(p/\rho ^{2}\right)\mathrm {d} \rho }$

${\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\sum _{j}m_{j}{\frac {p_{j}}{\rho _{j}^{2}}}{\frac {\partial \rho _{j}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}+m_{i}{\boldsymbol {g}},}$

Conectar la interpolación de densidad SPH y diferenciar explícitamente conduce a ${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho _{j}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\sum _{j}m_{j}\left({\frac {p_{i}}{\rho _{i}^{2}}}+{\frac {p_{j}}{\rho _{j}^{2}}}\right)\nabla W_{ij}+{\boldsymbol {g}},}$

que es la ecuación de momento SPH ya mencionada, donde reconocemos al operador. Esto explica por qué se conserva el momento lineal y también permite conservar el momento angular y la energía. ^[47] ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {G} } }$

Integración horaria

A partir del trabajo realizado en los años 80 y 90 sobre la integración numérica de partículas puntuales en grandes aceleradores, se han desarrollado integradores de tiempo apropiados con propiedades de conservación precisas a largo plazo; se les llama integradores simplécticos . El más popular en la literatura SPH es el esquema de salto , que dice para cada partícula : ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}_{i}^{n+1/2}&={\boldsymbol {v}}_{i}^{n}+{\boldsymbol {a}}_{i}^{n}{\frac {\Delta t}{2}},\\{\boldsymbol {r}}_{i}^{n+1}&={\boldsymbol {r}}_{i}^{n}+{\boldsymbol {v}}_{i}^{i+1/2}\Delta t,\\{\boldsymbol {v}}_{i}^{n+1}&={\boldsymbol {v}}_{i}^{n+1/2}+{\boldsymbol {a}}_{i}^{i+1}{\frac {\Delta t}{2}},\end{aligned}}}$

donde es el paso de tiempo, los superíndices representan iteraciones de tiempo, mientras que es la aceleración de las partículas, dada por el lado derecho de la ecuación del momento. ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{i}}$

Existen otros integradores simplécticos (consulte el libro de texto de referencia ^[48] ). Se recomienda utilizar un esquema simpléctico (incluso de orden bajo) en lugar de un esquema no simpléctico de orden alto, para evitar la acumulación de errores después de muchas iteraciones.

La integración de la densidad no se ha estudiado extensamente (ver más abajo para más detalles).

Los esquemas simplécticos son conservadores pero explícitos, por lo que su estabilidad numérica requiere condiciones de estabilidad, análogas a la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (ver más abajo).

Técnicas de límites

El soporte de convolución SPH se divide cerca de un límite

En caso de que la convolución SPH se practique cerca de un límite, es decir, más cerca que s · h , entonces el soporte integral se trunca. De hecho, cuando la convolución se ve afectada por un límite, la convolución se dividirá en 2 integrales,

${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})=\int _{\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}}|,h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}+\int _{B({\boldsymbol {r}})-\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}}|,h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}},}$

donde B( r ) es la bola de soporte compacta centrada en r , con radio s · h , y Ω( r ) denota la parte del soporte compacto dentro del dominio computacional, Ω ∩ B( r ) . Por lo tanto, imponer condiciones de contorno en SPH se basa completamente en aproximar la segunda integral del lado derecho. Por supuesto, lo mismo se puede aplicar al cálculo de los operadores diferenciales,

${\displaystyle \nabla A({\boldsymbol {r}})=\int _{\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)\nabla W({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}},h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}+\int _{B({\boldsymbol {r}})-\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)\nabla W({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}},h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}.}$

En el pasado se han introducido varias técnicas para modelar límites en SPH.

Negligencia integral

Modelo de superficie libre SPH mediante negligencia integral

El modelo de límites más sencillo es ignorar la integral,

${\displaystyle \int _{B({\boldsymbol {r}})-\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)\nabla W({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}},h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}\simeq {\boldsymbol {0}},}$

de modo que solo se tengan en cuenta las interacciones masivas,

${\displaystyle \nabla A_{i}=\sum _{j\in \Omega _{i}}V_{j}A_{j}\nabla W_{ij}.}$

Este es un enfoque popular cuando se considera la superficie libre en simulaciones monofásicas. ^[49]

El principal beneficio de esta condición de frontera es su obvia simplicidad. Sin embargo, se deberán considerar varias cuestiones de coherencia cuando se aplique esta técnica de límites. ^[49] Esto es, de hecho, una gran limitación en sus aplicaciones potenciales.

Extensión de fluidos

Técnica de límite de extensión de fluido SPH

Probablemente la metodología más popular, o al menos la más tradicional, para imponer condiciones de contorno en SPH, es la técnica de Extensión de Fluidos. Esta técnica se basa en poblar el soporte compacto a lo largo del límite con las llamadas partículas fantasma, imponiendo convenientemente sus valores de campo. ^[50]

En esta línea, la metodología de negligencia integral puede considerarse como un caso particular de extensiones de fluidos, donde el campo, A , desaparece fuera del dominio computacional.

El principal beneficio de esta metodología es la simplicidad, siempre que la contribución de los límites se calcule como parte de las interacciones masivas. Además, esta metodología ha sido profundamente analizada en la literatura. ^{[51] [50] [52]}

Por otro lado, desplegar partículas fantasma en el dominio truncado no es una tarea trivial, de modo que modelar formas de límites complejas se vuelve engorroso. Los dos enfoques más populares para poblar el dominio vacío con partículas fantasma son las partículas reflejadas ^[53] y las partículas fijas. ^[50]

Integral de límite

Modelo integral de límites SPH

La técnica de límites más nueva es la metodología Integral de límites. ^[54] En esta metodología, la integral de volumen vacío se reemplaza por una integral de superficie y una renormalización:

${\displaystyle \nabla A_{i}={\frac {1}{\gamma _{i}}}\left(\sum _{j\in \Omega _{i}}V_{j}A_{j}\nabla W_{ij}+\sum _{j\in \partial \Omega _{i}}S_{j}A_{j}{\boldsymbol {n}}_{j}W_{ij}\right),}$

${\displaystyle \gamma _{i}=\sum _{j\in \Omega _{i}}V_{j}W_{ij},}$

con n _j la normal del j -ésimo elemento límite genérico. El término de superficie también se puede resolver considerando una expresión semianalítica. ^[54]

Modelado de física

Hidrodinámica

Enfoque débilmente compresible

Otra forma de determinar la densidad se basa en el propio operador de suavizado SPH. Por lo tanto, la densidad se estima a partir de la distribución de partículas utilizando la interpolación SPH. Para superar errores no deseados en la superficie libre debido al truncamiento del grano, se puede volver a integrar en el tiempo la formulación de densidad. ^[54]

El SPH débilmente compresible en dinámica de fluidos se basa en la discretización de las ecuaciones de Navier-Stokes o ecuaciones de Euler para fluidos compresibles. Para cerrar el sistema, se utiliza una ecuación de estado apropiada para vincular la presión y la densidad . Generalmente, en SPH se utiliza la llamada ecuación de Cole ^[55] (a veces denominada erróneamente " ecuación de Tait "). Se lee ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}c^{2}}{\gamma }}\left(\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{\gamma }-1\right)+p_{0},}$

¿Dónde está la densidad de referencia y la velocidad del sonido ? Para el agua, se utiliza comúnmente. La presión de fondo se añade para evitar valores de presión negativos. ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma =7}$ ${\displaystyle p_{0}}$

Los fluidos reales casi incompresibles, como el agua, se caracterizan por velocidades de sonido muy altas del orden de . Por lo tanto, la información de presión viaja rápido en comparación con el flujo total real, lo que conduce a números de Mach muy pequeños . La ecuación del momento conduce a la siguiente relación: ${\displaystyle 10^{3}\mathrm {m/s} }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\frac {\delta \rho }{\rho _{0}}}\approx {\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{c^{2}}}=M^{2}}$

¿Dónde está el cambio de densidad y el vector velocidad? En la práctica se adopta un valor de c menor que el real para evitar pasos de tiempo demasiado pequeños en el esquema de integración temporal. Generalmente se adopta una velocidad numérica del sonido tal que se permite una variación de densidad inferior al 1%. Éste es el llamado supuesto de compresibilidad débil. Esto corresponde a un número de Mach menor que 0,1, lo que implica: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle c=10v_{\text{max}}}$

donde es necesario estimar la velocidad máxima , por ejemplo mediante la ley de Torricelli o una suposición fundamentada. Dado que sólo se producen pequeñas variaciones de densidad, se puede adoptar una ecuación de estado lineal: ^[56] ${\displaystyle v_{\text{max}}}$

${\displaystyle p=c^{2}\left(\rho -\rho _{0}\right)}$

Generalmente, los esquemas débilmente compresibles se ven afectados por un ruido espurio de alta frecuencia en los campos de presión y densidad. ^[57] Este fenómeno es causado por la interacción no lineal de ondas acústicas y por el hecho de que el esquema es explícito en el tiempo y centrado en el espacio. ^[58]

A lo largo de los años, se han propuesto varias técnicas para solucionar este problema. Se pueden clasificar en tres grupos diferentes:

1. los esquemas que adoptan filtros de densidad,
2. los modelos que añaden un término difusivo en la ecuación de continuidad,
3. los esquemas que emplean solucionadores de Riemann para modelar la interacción de partículas.

Técnica de filtro de densidad

Los esquemas del primer grupo aplican un filtro directamente sobre el campo de densidad para eliminar el ruido numérico espurio. Los filtros más utilizados son el MLS (mínimos cuadrados móviles) y el filtro Shepard ^[57] que se puede aplicar en cada paso de tiempo o cada n pasos de tiempo. Cuanto más frecuente es el uso del procedimiento de filtrado, más regulares se obtienen los campos de densidad y presión. Por otro lado, esto conduce a un aumento de los costes computacionales. En simulaciones de largo plazo, el uso del procedimiento de filtrado puede conducir a la alteración del componente de presión hidrostática y a una inconsistencia entre el volumen global de fluido y el campo de densidad. Además, no garantiza el cumplimiento de la condición de frontera dinámica de superficie libre.

Técnica del término difusivo

Una forma diferente de suavizar el campo de densidad y presión es agregar un término difusivo dentro de la ecuación de continuidad (grupo 2):

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=\sum _{j}m_{j}\left({\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\cdot \nabla W_{ij}+{\mathcal {D}}_{i}(\rho ),}}$

Los primeros esquemas que adoptaron tal enfoque se describieron en Ferrari ^[59] y en Molteni ^[56] , donde el término difusivo se modeló como un Laplaciano del campo de densidad. También se utilizó un enfoque similar en Fatehi y Manzari. ^[60]

Simulación SPH: distribución de presión de un flujo de rotura de presa utilizando una formulación SPH estándar

Simulación SPH: distribución de presión de un flujo de rotura de presa utilizando la formulación estándar δ-SPH

En Antuono et al. ^[61] se propuso una corrección al término difusivo de Molteni ^[56] para eliminar algunas inconsistencias cerca de la superficie libre. En este caso, el término difusivo adoptado es equivalente a un operador diferencial de alto orden en el campo de densidad. ^[62] El esquema se llama δ-SPH y preserva todas las propiedades de conservación del SPH sin difusión (por ejemplo, momentos lineales y angulares, energía total, ver ^[63] ) junto con una representación suave y regular de los campos de densidad y presión. .

En el tercer grupo están aquellos esquemas SPH que emplean flujos numéricos obtenidos mediante solucionadores de Riemann para modelar las interacciones de partículas. ^{[64] [65] [66]}

Técnica de resolución de Riemann

Simulación SPH: distribución de presión de un flujo de rotura de presa utilizando un solucionador de Riemann con limitador de baja disipación.

Para un método SPH basado en solucionadores de Riemann, se construye un problema de Riemann entre partículas a lo largo de un vector unitario que apunta de partícula a partícula . En este problema de Riemann, los estados iniciales izquierdo y derecho están en partículas y , respectivamente. Los estados y son ${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=-\mathbf {r} _{ij}/r_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\begin{cases}(\rho _{L},U_{L},P_{L})=(\rho _{i},\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {e} _{ij},P_{i})\\(\rho _{R},U_{R},P_{R})=(\rho _{j},\mathbf {v} _{j}\cdot \mathbf {e} _{ij},P_{j}).\end{cases}}}$$

La solución del problema de Riemann da como resultado tres ondas que emanan de la discontinuidad. Dos ondas, que pueden ser de choque o de rarefacción, que viajan con la velocidad de onda más pequeña o más grande. La onda media es siempre una discontinuidad de contacto y separa dos estados intermedios, denotados por y . Suponiendo que el estado intermedio satisface y , un solucionador de Riemann linealizado para flujos suaves o con shocks sólo moderadamente fuertes se puede escribir como ${\displaystyle (\rho _{L}^{\ast },U_{L}^{\ast },P_{L}^{\ast })}$ ${\displaystyle (\rho _{R}^{\ast },U_{R}^{\ast },P_{R}^{\ast })}$ ${\displaystyle U_{L}^{\ast }=U_{R}^{\ast }=U^{\ast }}$ ${\displaystyle P_{L}^{\ast }=P_{R}^{\ast }=P^{\ast }}$

$${\displaystyle {\begin{cases}U^{\ast }={\overline {U}}+{\frac {1}{2}}{\frac {(P_{L}-P_{R})}{{\bar {\rho }}c_{0}}}\\P^{\ast }={\overline {P}}+{\frac {1}{2}}{\bar {\rho }}c_{0}{(U_{L}-U_{R})},\end{cases}}}$$

donde y son promedios entre partículas. Con la solución del problema de Riemann, es decir y , la discretización del método SPH es ${\displaystyle {\overline {U}}=(U_{L}+U_{R})/2}$ ${\displaystyle {\overline {P}}=(P_{L}+P_{R})/2}$ ${\displaystyle U^{\ast }}$ ${\displaystyle P^{\ast }}$

$${\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=2\rho _{i}\sum _{j}{\frac {m_{j}}{\rho _{j}}}(\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} ^{\ast })\cdot \nabla _{i}W_{ij},}$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{i}}{dt}}=-2\sum _{j}m_{j}\left({\frac {P^{\ast }}{\rho _{i}\rho _{j}}}\right)\nabla _{i}W_{ij}.}$$

dónde . Esto indica que la velocidad y presión promedio entre partículas simplemente se reemplazan por la solución del problema de Riemann. Al comparar ambas, se puede ver que la velocidad intermedia y la presión de los promedios entre partículas equivalen a una disipación implícita, es decir, regularización de la densidad y viscosidad numérica, respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\ast }=U^{\ast }\mathbf {e} _{ij}+({\overline {\mathbf {v} }}_{ij}-{\overline {U}}\mathbf {e} _{ij})}$

Dado que la discretización anterior es muy disipativa, una modificación sencilla es aplicar un limitador para disminuir las disipaciones numéricas implícitas introducidas al limitar la presión intermedia en ^[67]

$${\displaystyle P^{\ast }={\overline {P}}+{\frac {1}{2}}\beta {\overline {\rho }}{(U_{L}-U_{R})},}$$

donde el limitador se define como

$${\displaystyle \beta =\min {\big (}\eta \max(U_{L}-U_{R},0),{\overline {c}}{\big )}.}$$

Tenga en cuenta que garantiza que no haya disipación cuando el fluido está bajo la acción de una onda de expansión, es decir , y que el parámetro se utiliza para modular la disipación cuando el fluido está bajo la acción de una onda de compresión, es decir . Los experimentos numéricos encontraron que es generalmente efectivo. Tenga en cuenta también que la disipación introducida por la velocidad intermedia no está limitada. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle U_{L}<U_{R}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle U_{L}\geq U_{R}}$ ${\displaystyle \eta =3}$

Enfoque incompresible

Modelado de viscosidad

En general, la descripción de flujos hidrodinámicos requiere un tratamiento conveniente de los procesos difusivos para modelar la viscosidad en las ecuaciones de Navier-Stokes . Necesita una consideración especial porque involucra al operador diferencial laplaciano . Dado que el cálculo directo no proporciona resultados satisfactorios, se han propuesto varios enfoques para modelar la difusión.

• Viscosidad artificial

Introducida por Monaghan y Gingold ^[68], la viscosidad artificial se utilizó para tratar flujos de fluidos con alto número de Mach . Se lee

${\displaystyle \Pi _{ij}={\begin{cases}{\dfrac {-\alpha {\bar {c}}_{ij}\phi _{ij}+\beta \phi _{ij}^{2}}{{\bar {\rho }}_{ij}}}&\quad {\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}<0\\0&\quad {\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}\geq 0\end{cases}}}$

Aquí, se controla la viscosidad del volumen mientras actúa de manera similar a la viscosidad artificial de Neumann Richtmeyr. El está definido por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \phi _{ij}}$

${\displaystyle \phi _{ij}={\frac {h{\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}}{\Vert {\boldsymbol {r}}_{ij}\Vert ^{2}+\eta _{h}^{2}}},}$

donde η _h es una pequeña fracción de h (por ejemplo, 0,01 h ) para evitar posibles infinitos numéricos en distancias cercanas.

La viscosidad artificial también ha demostrado mejorar la estabilidad general de las simulaciones de flujo general. Por lo tanto, se aplica a problemas no viscosos de la siguiente forma.

${\displaystyle \Pi _{ij}=\alpha hc{\frac {{\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}}{\Vert {\boldsymbol {r}}_{ij}\Vert ^{2}+\eta _{h}^{2}}}.}$

Es posible no sólo estabilizar simulaciones no viscosas sino también modelar la viscosidad física mediante este enfoque. para hacerlo

${\displaystyle \alpha hc=2(n+2){\frac {\mu }{\rho }}}$

se sustituye en la ecuación anterior, donde es el número de dimensiones parciales del modelo. Este enfoque introduce la viscosidad aparente . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta ={\frac {5}{3}}\mu }$

• morris

Para números de Reynolds bajos se propuso el modelo de viscosidad de Morris ^{[69] .}

${\displaystyle [\nu \Delta {\boldsymbol {v}}]_{ij}=2\nu {\frac {m_{j}}{\rho _{j}}}\,{\frac {{\boldsymbol {r}}_{ij}\cdot \nabla w_{h,ij}}{\Vert {\boldsymbol {r}}_{ij}\Vert ^{2}+\eta _{h}^{2}}}\,{\boldsymbol {v}}_{ij}.}$

• LoShao

Física adicional

• Tensión superficial
• Transferencia de calor
• Turbulencia

Extensiones multifase

Astrofísica

A menudo en astrofísica se desea modelar la autogravedad además de la hidrodinámica pura. La naturaleza basada en partículas de SPH lo hace ideal para combinarlo con un solucionador de gravedad basado en partículas, por ejemplo, código de gravedad de árbol , ^[70] malla de partículas o malla de partículas-partículas .

Mecánica de sólidos e interacción fluido-estructura (FSI)

Formulación lagrangiana total para mecánica de sólidos.

Para discretizar las ecuaciones rectoras de la dinámica de sólidos, primero se introduce una matriz de corrección ^{[71] [72]} para reproducir la rotación de un cuerpo rígido como ${\displaystyle \mathbb {B} ^{0}}$

dónde

$${\displaystyle \nabla _{a}^{0}W_{a}={\frac {\partial W\left(|\mathbf {r} _{ab}^{0}|,h\right)}{\partial |\mathbf {r} _{ab}^{0}|}}\mathbf {e} _{ab}^{0}}$$

representa el gradiente de la función del núcleo evaluado en la configuración de referencia inicial. Tenga en cuenta que los subíndices y se utilizan para indicar partículas sólidas, y la longitud de suavizado es idéntica a la de la discretización de ecuaciones de fluidos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

Usando la configuración inicial como referencia, la densidad del sólido se evalúa directamente como

¿Dónde está el determinante jacobiano del tensor de deformación ? ${\displaystyle J=\det(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Ahora podemos discretizar la ecuación de momento de la siguiente forma

donde el primer esfuerzo de Piola-Kirchhoff promediado entre partículas se define como ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}}$

Además y corresponden a la presión del fluido y las fuerzas viscosas que actúan sobre la partícula sólida , respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:p}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:v}}$ ${\displaystyle a}$

Acoplamiento fluido-estructura

En el acoplamiento fluido-estructura, la estructura sólida circundante se comporta como un límite móvil para el fluido, y la condición de límite antideslizante se impone en la interfaz fluido-estructura. Las fuerzas de interacción que actúan sobre una partícula fluida , debido a la presencia de la partícula sólida vecina , se pueden obtener como ^[73] ${\displaystyle \mathbf {f} _{i}^{S:p}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{i}^{S:v}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a}$

y

Aquí, la presión y la velocidad imaginarias están definidas por ${\displaystyle p_{a}^{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{a}^{d}}$

donde denota la dirección normal a la superficie de la estructura sólida, y la densidad de partículas imaginarias se calcula mediante la ecuación de estado. ${\displaystyle \mathbf {n} ^{S}}$ ${\displaystyle \rho _{a}^{d}}$

En consecuencia, las fuerzas de interacción y que actúan sobre una partícula sólida están dadas por ${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:p}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:v}}$ ${\displaystyle a}$

y

La propiedad antisimétrica de la derivada de la función kernel asegurará la conservación del momento para cada par de partículas que interactúan y . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a}$

Otros

El método de elementos discretos , utilizado para simular materiales granulares , está relacionado con SPH.

Variantes del método.

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Otras lecturas

• Hoover, Grupo de Trabajo (2006). Mecánica aplicada de partículas suaves: el estado del arte, World Scientific.
• Modelado de impacto con SPH Stellingwerf, RF, Wingate, CA, Memorie della Societa Astronomia Italiana, vol. 65, pág. 1117 (1994).
• Amada, T., Imura, M., Yasumuro, Y., Manabe, Y. y Chihara, K. (2004) Simulación de fluidos basada en partículas en GPU, en actas del Taller ACM sobre informática de propósito general en procesadores gráficos (agosto , 2004, Los Ángeles, California).
• Desbrun, M. y Cani, MP. (1996). Partículas suavizadas: un nuevo paradigma para animar cuerpos altamente deformables. En Actas del Taller Eurographics sobre simulación y animación por ordenador (agosto de 1996, Poitiers, Francia).
• Hegeman, K., Carr, NA y Miller, GSP Simulación de fluidos basada en partículas en la GPU. En Actas de la Conferencia Internacional sobre Ciencias Computacionales (Reading, Reino Unido, mayo de 2006). Actas publicadas como Lecture Notes in Computer Science v. 3994/2006 (Springer-Verlag).
• Sr. Kelager. (2006) Dinámica de fluidos lagrangianos utilizando hidrodinámica de partículas suavizadas, M. Kelagar (tesis de maestría, Univ. Copenhague).
• Kolb, A. y Cuntz, N. (2005). Acoplamiento dinámico de partículas para simulación de fluidos basada en GPU. En Actas del 18º Simposio sobre técnicas de simulación (2005), págs. 722–727.
• Liu, GR y Liu, MB Hidrodinámica de partículas suavizadas: un método de partículas sin malla. Singapur: World Scientific (2003).
• Monaghan, JJ (1992). Hidrodinámica de partículas suavizadas. Año. Rev. Astron. Astrofia. (1992). 30: 543–74.
• Muller, M., Charypar, D. y Gross, M. Simulación de fluidos basada en partículas para aplicaciones interactivas, en Actas del Simposio Eurographics/SIGGRAPH sobre animación por computadora (2003), eds. D. Breen y M. Lin.
• Vesterlund, M. Simulación y representación de un fluido viscoso mediante hidrodinámica de partículas suavizadas (tesis de maestría, Universidad de Umea, Suecia).
• Violeau, D., Mecánica de fluidos y método SPH. Prensa de la Universidad de Oxford (2012).

enlaces externos

• Primera gran simulación de formación estelar utilizando SPH
• SPHERIC (Comunidad Internacional de Investigación e Ingeniería SPH)
• ITVO es el sitio web del Observatorio Virtual Teórico Italiano creado para consultar una base de datos de archivos de simulación numérica.
• La galería de imágenes SPHC muestra una amplia variedad de casos de prueba, validaciones experimentales y aplicaciones comerciales del código SPH SPHC.
• Una derivación del modelo SPH a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes

Software

• Algodoo es un marco de simulación 2D para educación utilizando SPH
• AQUAgpusph es el SPH gratuito (GPLv3) de los investigadores, por los investigadores, para los investigadores.
• dive Solutions es un software comercial de ingeniería SPH basado en la web para fines CFD
• DualSPHysics es un código SPH de código abierto basado en SPHysics y que utiliza computación GPU. Los componentes de código abierto están disponibles bajo LGPL.
• FLUIDS v.1 es una implementación 3D SPH simple, de código abierto (Zlib) y en tiempo real en C++ para líquidos para CPU y GPU.
• Fluidix es una API de simulación de partículas basada en GPU disponible en OneZero Software
• GADGET [1] es un código ( GPL ) disponible gratuitamente para simulaciones cosmológicas de N-cuerpos/SPH
• Simulador GPUSPH SPH con viscosidad (GPLv3)
• Pasimodo es un paquete de programas para métodos de simulación basados ​​en partículas, por ejemplo SPH
• LAMMPS es un código de dinámica molecular clásica de código abierto y masivamente paralelo que puede realizar simulaciones SPH
• Physics Abstraction Layer es un sistema de abstracción de código abierto que admite motores de física en tiempo real con soporte SPH.
• PreonLab es un software de ingeniería comercial desarrollado por FIFTY2 Technology que implementa un método SPH implícito
• Punto es una herramienta de visualización disponible gratuitamente para simulaciones de partículas.
• pysph Marco de código abierto para hidrodinámica de partículas suavizadas en Python (nueva licencia BSD)
• Py-SPHViewer Herramienta de visualización de Python de código abierto para simulaciones de hidrodinámica de partículas suavizadas. ^[1]
• Solucionador RealFlow Commercial SPH para la industria del cine.
• RheoCube es un producto SaaS comercial de Lorenz Research para el estudio y predicción de la reología y estabilidad de fluidos complejos.
• SimPARTIX es un paquete de simulación comercial para simulaciones SPH y método de elementos discretos (DEM) de Fraunhofer IWM.
• flujo SPH
• ESFERA
• SPHinXsys es una biblioteca SPH de múltiples físicas y múltiples resoluciones de código abierto. Proporciona API de C++ para una simulación física precisa y tiene como objetivo modelar sistemas dinámicos industriales acoplados, incluida la dinámica de fluidos, sólidos, de cuerpos múltiples y más.
• SPHysics es una implementación SPH de código abierto en Fortran
• SPLASH es una herramienta de visualización de código abierto (GPL) para simulaciones SPH
• SYMPLER: Un simulador gratuito de partículas simbólicas de la Universidad de Friburgo.
• Nauticle es una herramienta computacional de propósito general para métodos numéricos basados ​​en partículas.
• NDYNAMICS es un software comercial de simulación de fluidos basado en SPH implícito desarrollado por CENTROID LAB que actualmente se utiliza para aplicaciones de ingeniería química/nuclear/inundaciones internas/externas.

1. Benítez-Llambay, Alejandro (28 de julio de 2015), "Py-Sphviewer: Py-Sphviewer V1.0.0", Zenodo , Bibcode :2015zndo.....21703B, doi :10.5281/zenodo.21703 , recuperado 2022- 03-30