En geometría , las coordenadas de línea se utilizan para especificar la posición de una línea, del mismo modo que las coordenadas de punto (o simplemente coordenadas ) se utilizan para especificar la posición de un punto.
Existen varias formas posibles de especificar la posición de una línea en el plano. Una forma sencilla es mediante el par ( m , b ) donde la ecuación de la línea es y = mx + b . Aquí m es la pendiente y b es la intersección con el eje y . Este sistema especifica las coordenadas de todas las líneas que no son verticales. Sin embargo, es más común y más simple algebraicamente utilizar las coordenadas ( l , m ) donde la ecuación de la línea es lx + my + 1 = 0. Este sistema especifica las coordenadas de todas las líneas excepto las que pasan por el origen. Las interpretaciones geométricas de l y m son los recíprocos negativos de la intersección con el eje x y el eje y respectivamente.
La exclusión de las rectas que pasan por el origen se puede resolver utilizando un sistema de tres coordenadas ( l , m , n ) para especificar la recta con la ecuación lx + my + n = 0. Aquí l y m pueden no ser ambos 0. En esta ecuación, solo las razones entre l , m y n son significativas, en otras palabras, si las coordenadas se multiplican por un escalar distinto de cero, la recta representada sigue siendo la misma. Por tanto, ( l , m , n ) es un sistema de coordenadas homogéneo para la recta.
Si los puntos en el plano proyectivo real se representan por coordenadas homogéneas ( x , y , z ) , la ecuación de la recta es lx + my + nz = 0, siempre que ( l , m , n ) ≠ (0,0,0) . En particular, la coordenada de recta (0, 0, 1) representa la recta z = 0, que es la recta en el infinito en el plano proyectivo . Las coordenadas de recta (0, 1, 0) y (1, 0, 0) representan los ejes x e y respectivamente.
Así como f ( x , y ) = 0 puede representar una curva como un subconjunto de los puntos en el plano, la ecuación φ( l , m ) = 0 representa un subconjunto de las líneas en el plano. El conjunto de líneas en el plano puede, en un sentido abstracto, considerarse como el conjunto de puntos en un plano proyectivo, el dual del plano original. La ecuación φ( l , m ) = 0 representa entonces una curva en el plano dual.
Para una curva f ( x , y ) = 0 en el plano, las tangentes a la curva forman una curva en el espacio dual llamada curva dual . Si φ( l , m ) = 0 es la ecuación de la curva dual, entonces se llama ecuación tangencial , para la curva original. Una ecuación dada φ( l , m ) = 0 representa una curva en el plano original determinada como la envolvente de las líneas que satisfacen esta ecuación. De manera similar, si φ( l , m , n ) es una función homogénea entonces φ( l , m , n ) = 0 representa una curva en el espacio dual dada en coordenadas homogéneas, y puede llamarse ecuación tangencial homogénea de la curva envolvente.
Las ecuaciones tangenciales son útiles en el estudio de curvas definidas como envolventes, así como las ecuaciones cartesianas son útiles en el estudio de curvas definidas como lugares geométricos.
Una ecuación lineal en coordenadas de línea tiene la forma al + bm + c = 0, donde a , b y c son constantes. Supóngase que ( l , m ) es una línea que satisface esta ecuación. Si c no es 0 entonces lx + my + 1 = 0, donde x = a / c e y = b / c , por lo que toda línea que satisface la ecuación original pasa por el punto ( x , y ). A la inversa, cualquier línea que pase por ( x , y ) satisface la ecuación original, por lo que al + bm + c = 0 es la ecuación del conjunto de líneas que pasan por ( x , y ). Para un punto dado ( x , y ), la ecuación del conjunto de líneas es lx + my + 1 = 0, por lo que esta puede definirse como la ecuación tangencial del punto. De manera similar, para un punto ( x , y , z ) dado en coordenadas homogéneas, la ecuación del punto en coordenadas tangenciales homogéneas es lx + my + nz = 0.
La intersección de las rectas ( l 1 , m 1 ) y ( l 2 , m 2 ) es la solución de las ecuaciones lineales
Por la regla de Cramer , la solución es
Las rectas ( l 1 , m 1 ), ( l 2 , m 2 ) y ( l 3 , m 3 ) son concurrentes cuando el determinante
Para coordenadas homogéneas, la intersección de las rectas ( l 1 , m 1 , n 1 ) y ( l 2 , m 2 , n 2 ) es
Las rectas ( l 1 , m 1 , n 1 ), ( l 2 , m 2 , n 2 ) y ( l 3 , m 3 , n 3 ) son concurrentes cuando el determinante
Dualmente, las coordenadas de la recta que contiene ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) son
Para dos puntos dados en el plano proyectivo real , ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ), los tres determinantes
determinar la recta proyectiva que los contiene.
De manera similar, para dos puntos en RP 3 , ( x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 , w 2 ), la línea que los contiene está determinada por los seis determinantes
Esta es la base de un sistema de coordenadas de líneas homogéneas en el espacio tridimensional llamado coordenadas de Plücker . Seis números en un conjunto de coordenadas solo representan una línea cuando satisfacen una ecuación adicional. Este sistema asigna el espacio de líneas en el espacio tridimensional al espacio proyectivo RP 5 , pero con el requisito adicional de que el espacio de líneas corresponde a la cuádrica de Klein , que es una variedad de dimensión cuatro.
De manera más general, las líneas en el espacio proyectivo n -dimensional están determinadas por un sistema de n ( n − 1)/2 coordenadas homogéneas que satisfacen un conjunto de ( n − 2)( n − 3)/2 condiciones, lo que da como resultado una variedad de dimensión 2 n − 2.
Isaak Yaglom ha demostrado [1] cómo los números duales proporcionan coordenadas para líneas orientadas en el plano euclidiano, y los números complejos divididos forman coordenadas de línea para el plano hiperbólico . Las coordenadas dependen de la presencia de un origen y una línea de referencia en ella. Luego, dada una línea arbitraria, sus coordenadas se encuentran a partir de la intersección con la línea de referencia. Se utilizan la distancia s desde el origen hasta la intersección y el ángulo θ de inclinación entre las dos líneas:
Como hay líneas ultraparalelas a la línea de referencia en el plano de Lobachevski, también necesitan coordenadas: hay una única perpendicular común , digamos s es la distancia desde el origen a esta perpendicular, y d es la longitud del segmento entre la referencia y la línea dada.
Los movimientos de la geometría lineal se describen con transformaciones fraccionarias lineales en los planos complejos apropiados. [1] : 87, 123
