Subaditividad fuerte de la entropía cuántica

En la teoría de la información cuántica, la subaditividad fuerte de la entropía cuántica ( SSA ) es la relación entre las entropías de von Neumann de varios subsistemas cuánticos de un sistema cuántico más grande que consta de tres subsistemas (o de un sistema cuántico con tres grados de libertad). Es un teorema básico en la teoría de la información cuántica moderna . Fue conjeturado por DW Robinson y D. Ruelle ^[1] en 1966 y OE Lanford III y DW Robinson ^[2] en 1968 y demostrado en 1973 por EH Lieb y MB Ruskai ^[3] , basándose en los resultados obtenidos por Lieb en su prueba de la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson. ^[4]

La versión clásica de SSA se conocía y apreciaba desde hacía mucho tiempo en la teoría clásica de la probabilidad y la teoría de la información. La demostración de esta relación en el caso clásico es bastante sencilla, pero el caso cuántico es difícil debido a la no conmutatividad de las matrices de densidad reducida que describen los subsistemas cuánticos.

Algunas referencias útiles aquí incluyen:

• "Computación cuántica e información cuántica" ^[5]
• "La entropía cuántica y su uso" ^[6]
• Desigualdades de trazas y entropía cuántica: un curso introductorio ^[7]

Definiciones

Usamos la siguiente notación en todo lo que sigue: Un espacio de Hilbert se denota por , y denota los operadores lineales acotados en . Los productos tensoriales se denotan por superíndices, p. ej., . La traza se denota por . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle {\rm {Tr}}}$

Matriz de densidad

Una matriz de densidad es una matriz semidefinida positiva hermítica de traza uno. Permite la descripción de un sistema cuántico en un estado mixto . Las matrices de densidad en un producto tensorial se denotan mediante superíndices, p. ej., es una matriz de densidad en . ${\displaystyle \rho ^{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$

Entropía

La entropía cuántica de von Neumann de una matriz de densidad es ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho ):=-{\rm {Tr}}(\rho \log \rho )}$.

Entropía relativa

La entropía relativa cuántica de dos matrices de densidad de Umegaki ^[8] es ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle S(\rho ||\sigma )={\rm {Tr}}(\rho \log \rho -\rho \log \sigma )\geq 0}$.

Concavidad articular

Se dice que una función de dos variables es conjuntamente cóncava si para cualquiera de las siguientes condiciones se cumple: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\geq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$

Subaditividad de la entropía

La subaditividad ordinaria ^[9] concierne únicamente a dos espacios y una matriz de densidad . Establece que ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ ${\displaystyle \rho ^{12}}$

${\displaystyle S(\rho ^{12})\leq S(\rho ^{1})+S(\rho ^{2})}$

Esta desigualdad es cierta, por supuesto, en la teoría de probabilidad clásica, pero esta última también contiene el teorema de que las entropías condicionales y son ambas no negativas. En el caso cuántico, sin embargo, ambas pueden ser negativas, por ejemplo, puede ser cero mientras que . No obstante, el límite superior de subaditividad en sigue siendo válido. Lo más cercano que se puede encontrar es la desigualdad triangular de Araki-Lieb ^[9]. ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{2})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{2})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{1})=S(\rho ^{2})>0}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})\geq 0}$

${\displaystyle S(\rho ^{12})\geq |S(\rho ^{1})-S(\rho ^{2})|}$

que se deriva en ^[9] de la subaditividad mediante una técnica matemática conocida como purificación .

Subaditividad fuerte (SSA)

Supongamos que el espacio de Hilbert del sistema es un producto tensorial de tres espacios: . Físicamente, estos tres espacios pueden interpretarse como el espacio de tres sistemas diferentes, o bien como tres partes o tres grados de libertad de un sistema físico. ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}.}$

Dada una matriz de densidad en , definimos una matriz de densidad en como una traza parcial : . De manera similar, podemos definir matrices de densidad: , , , , . ${\displaystyle \rho ^{123}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho ^{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle \rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}}$ ${\displaystyle \rho ^{23}}$ ${\displaystyle \rho ^{13}}$ ${\displaystyle \rho ^{1}}$ ${\displaystyle \rho ^{2}}$ ${\displaystyle \rho ^{3}}$

Declaración

Para cualquier estado tripartito se cumple lo siguiente: ${\displaystyle \rho ^{123}}$

${\displaystyle S(\rho ^{123})+S(\rho ^{2})\leq S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})}$,

donde , por ejemplo. ${\displaystyle S(\rho ^{12})=-{\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{12}}\rho ^{12}\log \rho ^{12}}$

De manera equivalente, la afirmación puede reformularse en términos de entropías condicionales para mostrar que para el estado tripartito , ${\displaystyle \rho ^{ABC}}$

${\displaystyle S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)}$.

Esto también puede replantearse en términos de información mutua cuántica .

${\displaystyle I(A:BC)\geq I(A:B)}$.

Estas afirmaciones son paralelas a la intuición clásica, excepto que las entropías condicionales cuánticas pueden ser negativas y la información mutua cuántica puede exceder el límite clásico de la entropía marginal.

La fuerte desigualdad de subaditividad fue mejorada de la siguiente manera por Carlen y Lieb ^[10]

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13}),0\}}$,

con la constante óptima . ${\displaystyle 2}$

J. Kiefer ^{[11] [12]} demostró en 1959 un resultado de convexidad periféricamente relacionada, que es un corolario de una desigualdad de Schwarz del operador demostrada por EHLieb y MBRuskai. ^[3] Sin embargo, estos resultados son comparativamente simples, y las demostraciones no utilizan los resultados del artículo de Lieb de 1973 sobre funcionales de trazas convexas y cóncavas. ^[4] Fue este artículo el que proporcionó la base matemática de la demostración de SSA de Lieb y Ruskai. La extensión de un entorno de espacio de Hilbert a un entorno de álgebra de von Neumann, donde los estados no están dados por matrices de densidad, fue realizada por Narnhofer y Thirring. ^[13]

El teorema también puede obtenerse demostrando numerosas afirmaciones equivalentes, algunas de las cuales se resumen a continuación.

Conjetura de Wigner-Yanase-Dyson

EP Wigner y MM Yanase ^[14] propusieron una definición diferente de entropía, que fue generalizada por Freeman Dyson .

El Wigner–Yanase–Dysonpag-información sesgada

La información de sesgo de Wigner–Yanase–Dyson ${\displaystyle p}$ de una matriz de densidad con respecto a un operador es ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle I_{p}(\rho ,K)={\frac {1}{2}}{\rm {Tr}}[\rho ^{p},K^{*}][\rho ^{1-p},K],}$

donde es un conmutador, es el adjunto de y es fijo. ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

Concavidad depag-información sesgada

EP Wigner y MM Yanase conjeturaron en ^[15] que la información sesgada es cóncava como función de una matriz de densidad para un valor fijo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

Como el término es cóncavo (es lineal), la conjetura se reduce al problema de la concavidad de . Como se señala en ^[4] , esta conjetura (para todos los ) implica SSA, y se demostró para en ^[15] y para todos en ^[4] en la siguiente forma más general: La función de dos variables matriciales ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\rm {Tr}}\rho KK^{*}}$ ${\displaystyle Tr\rho ^{p}K^{*}\rho ^{1-p}K}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$

es conjuntamente cóncava en y cuando y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle p+r\leq 1}$

Este teorema es una parte esencial de la prueba del SSA en. ^[3]

En su artículo ^[15] EP Wigner y MM Yanase también conjeturaron la subaditividad de la información -skew para , lo que fue refutado por Hansen ^[16] dando un contraejemplo. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$

Las dos primeras afirmaciones son equivalentes a la SSA

Se señaló en ^[9] que la primera declaración a continuación es equivalente a SSA y A. Ulhmann en ^[17] mostró la equivalencia entre la segunda declaración a continuación y SSA.

• ${\displaystyle S(\rho ^{1})+S(\rho ^{3})-S(\rho ^{12})-S(\rho ^{23})\leq 0.}$Téngase en cuenta que las entropías condicionales y no tienen que ser ambas no negativas. ${\displaystyle S(\rho ^{12}|\rho ^{1})}$ ${\displaystyle S(\rho ^{23}|\rho ^{3})}$
• El mapa es convexo. ${\displaystyle \rho ^{12}\mapsto S(\rho ^{1})-S(\rho ^{12})}$

Ambas afirmaciones fueron probadas directamente en ^{[3] .}

Convexidad conjunta de entropía relativa

Como lo señalan Lindblad ^[18] y Uhlmann, ^[19] si, en la ecuación ( 1 ), se toma y y y se diferencia en en , se obtiene la convexidad conjunta de la entropía relativa : es decir, si , y , entonces ${\displaystyle K=1}$ ${\displaystyle r=1-p,A=\rho }$ ${\displaystyle B=\sigma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \rho =\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$ ${\displaystyle \sigma =\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}}$

donde con . ${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}\lambda _{k}=1}$

Monotonía de la entropía relativa cuántica

La entropía relativa disminuye monótonamente bajo operaciones de preservación de trazas completamente positivas (CPTP) en matrices de densidad, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\leq S(\rho \|\sigma )}$.

Esta desigualdad se denomina monotonía de la entropía relativa cuántica. Debido al teorema de factorización de Stinespring , esta desigualdad es consecuencia de una elección particular del mapa CPTP, un mapa de traza parcial que se describe a continuación.

La clase más importante y básica de mapas CPTP es una operación de traza parcial , dada por . Entonces ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{12})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{1})}$ ${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}}$

lo que se llama Monotonía de la entropía relativa cuántica bajo traza parcial .

Para ver cómo esto se desprende de la convexidad conjunta de la entropía relativa, observe que se puede escribir en la representación de Uhlmann como ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T(\rho ^{12})=N^{-1}\sum _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j}^{*}),}$

para algunas matrices finitas y algunas colecciones de matrices unitarias en (alternativamente, integrar sobre la medida de Haar ). Puesto que la traza (y por tanto la entropía relativa) es unitariamente invariante, la desigualdad ( 3 ) se sigue ahora de ( 2 ). Este teorema se debe a Lindblad ^[18] y a Uhlmann, ^[17] cuya prueba es la que se da aquí. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$

SSA se obtiene de ( 3 ) con reemplazado por y reemplazado . Tome . Entonces ( 3 ) se convierte en ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{12}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{3}}$ ${\displaystyle \rho =\rho ^{123},}$ ${\displaystyle \sigma =\rho ^{1}\otimes \rho ^{23},}$ ${\displaystyle T=1_{{\mathcal {H}}^{12}}\otimes Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}}$

${\displaystyle S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})\leq S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23}).}$

Por lo tanto,

${\displaystyle S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23})-S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,}$

que es SSA. Por lo tanto, la monotonía de la entropía relativa cuántica (que se desprende de ( 1 ) implica SSA.

Relación entre desigualdades

Todas las desigualdades importantes mencionadas anteriormente son equivalentes entre sí y también se pueden demostrar directamente. Las siguientes son equivalentes:

• Monotonía de la entropía relativa cuántica (MONO);
• Monotonía de la entropía relativa cuántica bajo traza parcial (MPT);
• Subaditividad fuerte (SSA);
• Convexidad conjunta de la entropía relativa cuántica (JC);

Las siguientes implicaciones muestran la equivalencia entre estas desigualdades.

• MONO MPT: se deduce que el MPT es un caso particular de MONO; ${\displaystyle \Rightarrow }$
• MPT MONO: fue demostrado por Lindblad, ^[20] utilizando una representación de mapas estocásticos como un trazo parcial sobre un sistema auxiliar; ${\displaystyle \Rightarrow }$
• MPT SSA: continúa tomando una elección particular de estados tripartitos en MPT, descrita en la sección anterior, "Monotonicidad de la entropía relativa cuántica"; ${\displaystyle \Rightarrow }$
• SSA MPT: al elegir que sea diagonal de bloques, se puede demostrar que SSA implica que el mapa ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \rho _{123}}$

${\displaystyle \rho _{12}\mapsto S(\rho _{1})-S(\rho _{12})}$es convexa. En ^[3] se observó que esta convexidad produce MPT;

• MPT JC: como se mencionó anteriormente, al elegir (y de manera similar, ) ser una matriz diagonal de bloques con bloques (y ), la traza parcial es una suma sobre bloques de modo que , por lo que a partir de MPT se puede obtener JC; ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \rho _{12}}$ ${\displaystyle \sigma _{12}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\rho _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\sigma _{k}}$ ${\displaystyle \rho :=\rho _{2}=\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}}$
• JC SSA: utilizando el 'proceso de purificación', Araki y Lieb, ^{[9] [21]} observaron que se podían obtener nuevas desigualdades útiles a partir de las conocidas. Al purificarlas se puede demostrar que SSA es equivalente a ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \rho _{123}}$ ${\displaystyle \rho _{1234}}$

${\displaystyle S(\rho _{4})+S(\rho _{2})\leq S(\rho _{12})+S(\rho _{14}).}$

Además, si es puro, entonces y , por lo que la igualdad se cumple en la desigualdad anterior. Dado que los puntos extremos del conjunto convexo de matrices de densidad son estados puros, la SSA se deduce de JC; ${\displaystyle \rho _{124}}$ ${\displaystyle S(\rho _{2})=S(\rho _{14})}$ ${\displaystyle S(\rho _{4})=S(\rho _{12})}$

Véase ^{[21] [22]} para una discusión.

El caso de la igualdad

Igualdad en la monotonía de la desigualdad de entropía relativa cuántica

En ^{[23] [24]} D. Petz demostró que el único caso de igualdad en la relación de monotonía es tener un canal de "recuperación" adecuado:

Para todos los estados y en un espacio de Hilbert y todos los operadores cuánticos , ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

si y sólo si existe un operador cuántico tal que ${\displaystyle {\hat {T}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}T\sigma =\sigma ,}$ y ${\displaystyle {\hat {T}}T\rho =\rho .}$

Además, se puede dar explícitamente mediante la fórmula ${\displaystyle {\hat {T}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}\omega =\sigma ^{1/2}T^{*}{\Bigl (}(T\sigma )^{-1/2}\omega (T\sigma )^{-1/2}{\Bigr )}\sigma ^{1/2},}$

¿Dónde está el mapa adjunto de ? ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$

D. Petz también dio otra condición ^[23] cuando la igualdad se cumple en Monotonía de la entropía relativa cuántica: la primera afirmación a continuación. Al diferenciarla en tenemos la segunda condición. Además, MB Ruskai dio otra prueba de la segunda afirmación. ${\displaystyle t=0}$

Para todos los estados y en todos los operadores cuánticos , ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$

${\displaystyle S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),}$

si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes:

• ${\displaystyle T^{*}(T(\rho )^{it}T(\sigma )^{it})=\rho ^{it}\sigma ^{-it}}$para todos reales . ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \log \rho -\log \sigma =T^{*}{\Bigl (}\log T(\rho )-\log T(\sigma ){\Bigr )}.}$

¿Dónde está el mapa adjunto de ? ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$

Igualdad en desigualdad de subaditividad fuerte

P. Hayden , R. Jozsa, D. Petz y A. Winter describieron los estados para los cuales se cumple la igualdad en SSA. ^[25]

Un estado en un espacio de Hilbert satisface una subaditividad fuerte con igualdad si y solo si hay una descomposición del segundo sistema como ${\displaystyle \rho ^{ABC}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B}=\bigoplus _{j}{\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}}$

en una suma directa de productos tensoriales, tal que

${\displaystyle \rho ^{ABC}=\bigoplus _{j}q_{j}\rho ^{AB_{j}^{L}}\otimes \rho ^{B_{j}^{R}C},}$

con estados en y en , y una distribución de probabilidad . ${\displaystyle \rho ^{AB_{j}^{L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}}$ ${\displaystyle \rho ^{B_{j}^{R}C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}\otimes {\mathcal {H}}^{C}}$ ${\displaystyle \{q_{j}\}}$

Ampliación Carlen-Lieb

EH Lieb y EA Carlen han encontrado un término de error explícito en la desigualdad SSA, ^[10] a saber,

${\displaystyle S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{0,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}}$

Si y , como siempre ocurre con la entropía clásica de Shannon, esta desigualdad no tiene nada que decir. En cambio, para la entropía cuántica, es muy posible que las entropías condicionales satisfagan o (¡pero nunca ambas!). Entonces, en este régimen "altamente cuántico", esta desigualdad proporciona información adicional. ${\displaystyle S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})\leq 0}$ ${\displaystyle S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\leq 0}$ ${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{1})=S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})>0}$ ${\displaystyle -S(\rho ^{13}|\rho ^{3})=S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})>0}$

La constante 2 es óptima, en el sentido de que para cualquier constante mayor que 2, se puede encontrar un estado para el cual se viola la desigualdad con esa constante.

Extensión del operador de subaditividad fuerte

En su artículo ^[26] I. Kim estudió una extensión del operador de subaditividad fuerte, demostrando la siguiente desigualdad:

Para un estado tripartito (matriz de densidad) en , ${\displaystyle \rho ^{123}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}}$

${\displaystyle Tr_{12}{\Bigl (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{123})){\Bigr )}\geq 0.}$

La prueba de esta desigualdad se basa en el teorema de Effros ^[27], para el cual se eligen funciones y operadores particulares para derivar la desigualdad anterior. MB Ruskai describe este trabajo en detalle en ^[28] y analiza cómo demostrar una gran clase de nuevas desigualdades matriciales en los casos tripartitos y bipartitos tomando una traza parcial sobre todos los espacios menos uno.

Extensiones de subaditividad fuerte en términos de recuperabilidad

En 2014 se demostró un fortalecimiento significativo de la subaditividad fuerte ^[29], que posteriormente se mejoró en ^[30] y [ ^31] . En 2017, ^[32] se demostró que el canal de recuperación puede tomarse como el mapa de recuperación original de Petz. Estas mejoras de la subaditividad fuerte tienen interpretaciones físicas en términos de recuperabilidad, lo que significa que si la información mutua condicional de un estado cuántico tripartito es casi igual a cero, entonces es posible realizar un canal de recuperación (del sistema E al AE) tal que . Por lo tanto, estos resultados generalizan las condiciones de igualdad exactas mencionadas anteriormente. ${\displaystyle I(A;B|E)=S(AE)+S(BE)-S(E)-S(ABE)}$ ${\displaystyle \rho _{ABE}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{E\to AE}}$ ${\displaystyle \rho _{ABE}\approx {\mathcal {R}}_{E\to AE}(\rho _{BE})}$

Véase también

• Entropía de von Neumann
• Entropía cuántica condicional
• Información mutua cuántica
• Divergencia de Kullback-Leibler

Referencias

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2. Lanford, Oscar E.; Robinson, Derek W. (1968). "Entropía media de estados en mecánica cuántica estadística". Revista de física matemática . 9 (7). AIP Publishing: 1120–1125. Bibcode :1968JMP.....9.1120L. doi :10.1063/1.1664685. ISSN  0022-2488.
3. Lieb, Elliott H. ; Ruskai, Mary Beth (1973). "Prueba de la fuerte subaditividad de la entropía mecánico-cuántica" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 14 (12). AIP Publishing: 1938–1941. Bibcode :1973JMP....14.1938L. doi :10.1063/1.1666274. ISSN  0022-2488.
4. Lieb, Elliott H (1973). "Funciones de traza convexas y la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson". Avances en Matemáticas . 11 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X . ISSN  0001-8708.
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