La fórmula de Margrabe.

En finanzas matemáticas , la fórmula de Margrabe ^[1] es una fórmula de valoración de opciones aplicable a una opción para intercambiar un activo riesgoso por otro activo riesgoso al vencimiento. Fue elaborado por William Margrabe (PhD Chicago) en 1978. El artículo de Margrabe ha sido citado en más de 2000 artículos posteriores. ^[2]

Fórmula

Supongamos que S ₁ (t) y S ₂ (t) son los precios de dos activos de riesgo en el momento t , y que cada uno tiene un rendimiento por dividendo constante y continuo q _i . La opción, C , que deseamos poner precio le da al comprador el derecho, pero no la obligación, de cambiar el segundo activo por el primero en el momento del vencimiento T. En otras palabras, su pago, C(T) , es max(0, S ₁ (T) - S ₂ (T)) .

Si las volatilidades de los Si son _σ i , _entonces , donde ρ es el coeficiente de correlación de Pearson de los movimientos brownianos de _los Si . ${\displaystyle \textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}}$

La fórmula de Margrabe establece que el precio justo de la opción en el momento 0 es:

${\displaystyle e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})}$

dónde:

${\displaystyle q_{1},q_{2}}$son las tasas de dividendos esperadas de los precios bajo la medida neutral al riesgo adecuada, ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle N}$denota la función de distribución acumulativa para una normal estándar ,

${\displaystyle d_{1}=(\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}}$,

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}$.

Derivación

El modelo de mercado de Margrabe supone sólo la existencia de dos activos de riesgo, cuyos precios, como de costumbre, se supone que siguen un movimiento browniano geométrico . No es necesario que las volatilidades de estos movimientos brownianos sean constantes, pero es importante que la volatilidad de S ₁ /S ₂ , σ , sea constante. En particular, el modelo no supone la existencia de un activo sin riesgo (como un bono cupón cero ) ni ningún tipo de tasa de interés . El modelo no requiere una medida de probabilidad neutral al riesgo equivalente, sino una medida equivalente según S ₂ .

La fórmula se prueba rápidamente al reducir la situación a una en la que podamos aplicar la fórmula de Black-Scholes .

• Primero, considere que ambos activos tienen un precio en unidades de S ₂ (a esto se le llama "usar S ₂ como numerario "); esto significa que una unidad del primer activo ahora vale S ₁ /S ₂ unidades del segundo activo, y una unidad del segundo activo vale 1.
• Con este cambio de valoración numeraria, el segundo activo es ahora un activo sin riesgo y su tasa de dividendo q ₂ es la tasa de interés. El pago de la opción, cuyo precio se modificó con este cambio de numerario, es max(0, S ₁ (T)/S ₂ (T) - 1) .
• Entonces, la opción original se ha convertido en una opción de compra sobre el primer activo (con su precio numerario) con un ejercicio de 1 unidad del activo sin riesgo. Tenga en cuenta que la tasa de dividendo q ₁ del primer activo sigue siendo la misma incluso con un cambio de precio.
• La aplicación de la fórmula de Black-Scholes con estos valores como entradas apropiadas, por ejemplo, valor inicial del activo S ₁ (0)/S ₂ (0) , tasa de interés q ₂ , volatilidad σ , etc., nos da el precio de la opción según el numerario. precios.
• Dado que el precio de la opción resultante está en unidades de S ₂ , multiplicar por S ₂ (0) deshará nuestro cambio de numerario y nos dará el precio en nuestra moneda original, que es la fórmula anterior. Alternativamente, se puede demostrar mediante el teorema de Girsanov .

Enlaces externos y referencias

Notas

1. William Margrabe, "El valor de una opción para intercambiar un activo por otro", Journal of Finance , vol. 33, núm. 1, (marzo de 1978), págs.
2. Página de "citas" de Google Scholar para este artículo

referencia primaria

• William Margrabe, "El valor de una opción para intercambiar un activo por otro", Journal of Finance , vol. 33, núm. 1, (marzo de 1978), págs.

Discusión

• Mark Davis, Imperial College London, Opciones de activos múltiples
• Rolf Poulsen, Universidad de Gotemburgo, La fórmula Margrabe