Fórmula de Heron

Área de un triángulo en términos de longitudes de lados.

Un triángulo con lados a , b y c

En geometría , la fórmula de Herón (o fórmula de Hero ) da el área de un triángulo en términos de las longitudes de los tres lados . Siendo ⁠ ⁠ el ${\displaystyle a,}$ semiperímetro del triángulo , ${\displaystyle b,}$ el área ⁠ ⁠ es [ ^1] ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}$

Recibe su nombre del ingeniero del siglo I Herón de Alejandría (o Hero), quien lo demostró en su obra Métrica , aunque probablemente ya se conocía siglos antes.

Ejemplo

Sea ⁠ ⁠ ${\displaystyle \triangle ABC}$ el triángulo con lados y El semiperímetro de este triángulo es y por lo tanto el área es ${\displaystyle a=4,}$ ${\displaystyle b=13,}$ ${\displaystyle c=15.}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}}$

En este ejemplo, las longitudes de los lados y el área son números enteros , lo que lo convierte en un triángulo heroniano . Sin embargo, la fórmula de Heron funciona igualmente bien en casos en los que una o más de las longitudes de los lados no son números enteros.

Expresiones alternativas

La fórmula de Herón también se puede escribir en términos de solo las longitudes de los lados en lugar de utilizar el semiperímetro, de varias maneras,

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Después de la expansión, la expresión bajo la raíz cuadrada es un polinomio cuadrático de longitudes de lados al cuadrado ⁠ ⁠ ${\displaystyle a^{2}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b^{2}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle c^{2}}$ .

La misma relación se puede expresar utilizando el determinante de Cayley-Menger , ^[2]

${\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.}$

Historia

La fórmula se atribuye a Herón (o Hero) de Alejandría ( fl. 60 d. C.), ^[3] y se puede encontrar una prueba en su libro Métrica . El historiador matemático Thomas Heath sugirió que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, ^[4] y dado que Métrica es una recopilación del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en esa obra. ^[5]

Una fórmula equivalente a la de Herón, es decir,

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}$

Fue descubierto por los chinos y publicado en el Tratado matemático en nueve secciones ( Qin Jiushao , 1247). ^[6]

Pruebas

Hay muchas maneras de demostrar la fórmula de Heron, por ejemplo, usando trigonometría como se muestra a continuación, o el incentro y un excírculo del triángulo, ^[7] o como un caso especial del teorema de De Gua (para el caso particular de triángulos agudos), ^[8] o como un caso especial de la fórmula de Brahmagupta (para el caso de un cuadrilátero cíclico degenerado).

Demostración trigonométrica mediante la ley de los cosenos

A continuación se presenta una prueba moderna, que utiliza álgebra y es bastante diferente de la proporcionada por Heron. ^[9] Sean ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ ⁠ ${\displaystyle c}$ los lados del triángulo y ⁠ ${\displaystyle \alpha ,}$ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ los ángulos opuestos a esos lados. Aplicando la ley ${\displaystyle \beta ,}$ de los cosenos obtenemos ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

Un triángulo con lados a , b y c

De esta prueba obtenemos la afirmación algebraica de que

${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}$

La altura del triángulo sobre la base ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ tiene longitud ⁠ ⁠ ${\displaystyle b\sin \gamma }$ , y se deduce

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$

Prueba algebraica mediante el teorema de Pitágoras

Triángulo con altura h que corta la base c en d + ( c − d )

La siguiente demostración es muy similar a la dada por Raifaizen. ^[10] Por el teorema de Pitágoras tenemos y según la figura de la derecha. Restando estos obtenemos Esta ecuación nos permite expresar ⁠ ⁠ en términos de los lados del triángulo: ${\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$

Para la altura del triángulo tenemos que Reemplazando ⁠ ⁠ con la fórmula dada anteriormente y aplicando la identidad de diferencia de cuadrados obtenemos ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}.}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}}$

Ahora aplicamos este resultado a la fórmula que calcula el área de un triángulo a partir de su altura:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$

Demostración trigonométrica mediante la ley de cotangentes

Significado geométrico de s − a , s − b y s − c . Véase la ley de cotangentes para conocer el razonamiento que sustenta este concepto.

Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ es el radio del círculo inscrito del triángulo, entonces el triángulo se puede dividir en tres triángulos de igual altura ⁠ ⁠ y ${\displaystyle r}$ bases ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ${\displaystyle b,}$ y ⁠ ${\displaystyle c.}$⁠ Su área combinada es

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,}$

¿Dónde está el semiperímetro? ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

El triángulo se puede dividir alternativamente en seis triángulos (en pares congruentes) de altura y bases y ${\displaystyle r}$ de área ${\displaystyle s-a,}$ combinada ( ver ley de cotangentes ) . ${\displaystyle s-b,}$ ${\displaystyle s-c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.\end{aligned}}}$

El paso intermedio anterior es la identidad triple cotangente , que se aplica porque la suma de los medios ángulos es ${\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}$ ${\displaystyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}},}$ ${\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}.}$

Combinando los dos, obtenemos

${\displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),}$

de donde se sigue el resultado.

Estabilidad numérica

La fórmula de Heron que se indica anteriormente es numéricamente inestable para triángulos con un ángulo muy pequeño cuando se utiliza aritmética de punto flotante . Una alternativa estable implica organizar las longitudes de los lados de modo que y calcular ^{[11] [12]} ${\displaystyle a\geq b\geq c}$

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.}$

Los corchetes en la fórmula anterior son necesarios para evitar la inestabilidad numérica en la evaluación.

Fórmulas similares para el área de un triángulo

Otras tres fórmulas para el área de un triángulo general tienen una estructura similar a la fórmula de Herón, expresada en términos de diferentes variables.

Primero , si y ${\displaystyle m_{a},}$ son las medianas de los lados y respectivamente , y ${\displaystyle m_{b},}$su semisuma ^es entonces [ 13 ] ${\displaystyle m_{c}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}$

${\displaystyle A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

A continuación, si ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{a}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{b}}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{c}}$ son las alturas de los lados ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ respectivamente, y la semisuma de sus recíprocos es entonces ^[14] ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},}$

${\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}.}$

Finalmente, si y son ${\displaystyle \alpha ,}$ las tres medidas de los ángulos del triángulo, y la semisuma de sus senos es entonces [ 15 ^] [ ${\displaystyle \beta ,}$^16] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}}$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$ es el diámetro del círculo circunscrito , Esta última fórmula coincide con la fórmula estándar de Heron cuando el círculo circunscrito tiene diámetro unitario. ${\displaystyle D=a/{\sin \alpha }=b/{\sin \beta }=c/{\sin \gamma }.}$

Generalizaciones

Cuadrilátero cíclico

La fórmula de Heron es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico . La fórmula de Heron y la fórmula de Brahmagupta son casos especiales de la fórmula de Bretschneider para el área de un cuadrilátero . La fórmula de Heron se puede obtener a partir de la fórmula de Brahmagupta o de la fórmula de Bretschneider fijando uno de los lados del cuadrilátero en cero.

La fórmula de Brahmagupta da el área de ${\displaystyle K}$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes como ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

¿Dónde está el semiperímetro ? ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

La fórmula de Heron es también un caso especial de la fórmula para el área de un trapezoide o trapecio basada únicamente en sus lados. La fórmula de Heron se obtiene fijando en cero el lado paralelo más pequeño.

Expresando la fórmula de Heron con un determinante de Cayley-Menger en términos de los cuadrados de las distancias entre los tres vértices dados,

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}}$

ilustra su similitud con la fórmula de Tartaglia para el volumen de un tres-símplex .

David P. Robbins descubrió otra generalización de la fórmula de Herón a pentágonos y hexágonos inscritos en un círculo . ^[17]

Fórmula tipo Heron para el volumen de un tetraedro

Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle U,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle V,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle W,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle u,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle v,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle w}$ son longitudes de las aristas del tetraedro (las tres primeras forman un triángulo; ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ opuesto a ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ y así sucesivamente), entonces ^[18]

${\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$

Fórmulas de Heron en geometrías no euclidianas

También existen fórmulas para el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados para triángulos en la esfera o en el plano hiperbólico . ^[19] Para un triángulo en la esfera con longitudes de lados ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ el semiperímetro y el área ⁠ ⁠ , dicha fórmula es ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}$

mientras que para el plano hiperbólico tenemos

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}.}$

Véase también

• Fórmula de los cordones de zapatos

Referencias

1. Kendig, Keith (2000). "¿Una fórmula de hace 2000 años todavía guarda algunos secretos?". The American Mathematical Monthly . 107 (5): 402–415. doi :10.1080/00029890.2000.12005213. JSTOR  2695295. MR  1763392. S2CID  1214184. Archivado desde el original el 29 de mayo de 2024. Consultado el 27 de diciembre de 2021 .
2. Havel, Timothy F. (1991). "Algunos ejemplos del uso de distancias como coordenadas para la geometría euclidiana". Journal of Symbolic Computation . 11 (5–6): 579–593. doi : 10.1016/S0747-7171(08)80120-4 .
3. Id, Yusuf; Kennedy, ES (1969). "Una prueba medieval de la fórmula de Heron". El profesor de matemáticas . 62 (7): 585–587. doi :10.5951/MT.62.7.0585. JSTOR  27958225. MR  0256819.
4. Heath, Thomas L. (1921). Una historia de las matemáticas griegas . Vol. II. Oxford University Press. págs. 321–323.
5. Weisstein, Eric W. "La fórmula de Heron". MathWorld .
6. 秦, 九韶 (1773). "卷三上, 三斜求积".數學九章 (四庫全書本) (en chino).
7. "Comunicación personal por correo electrónico entre los matemáticos John Conway y Peter Doyle". 15 de diciembre de 1997. Consultado el 25 de septiembre de 2020 .
8. Lévy-Leblond, Jean-Marc (14 de septiembre de 2020). "Una prueba tridimensional simétrica de la fórmula de Heron". The Mathematical Intelligencer . 43 (2): 37–39. doi : 10.1007/s00283-020-09996-8 . ISSN  0343-6993.
9. Niven, Ivan (1981). Máximos y mínimos sin cálculo . Asociación Matemática de Estados Unidos. Págs. 7-8.
10. Raifaizen, Claude H. (1971). "Una prueba más simple de la fórmula de Heron". Revista de Matemáticas . 44 (1): 27–28. doi :10.1080/0025570X.1971.11976093.
11. Sterbenz, Pat H. (1 de mayo de 1974). Cálculo de punto flotante . Serie Prentice-Hall sobre cálculo automático (1.ª ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey, EE. UU.: Prentice Hall . ISBN 0-13-322495-3.
12. William M. Kahan (24 de marzo de 2000). "Cálculo erróneo del área y los ángulos de un triángulo con forma de aguja" (PDF) .
13. Benyi, Arpad, "Una fórmula tipo Heron para el triángulo", Mathematical Gazette 87, julio de 2003, 324–326.
14. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
15. Mitchell, Douglas W. (2009). "Una fórmula de área tipo Heron en términos de senos". Mathematical Gazette . 93 : 108–109. doi :10.1017/S002555720018430X. S2CID  132042882.
16. Kocik, Jerzy; Solecki, Andrzej (2009). "Desenredando un triángulo" (PDF) . American Mathematical Monthly . 116 (3): 228–237. doi :10.1080/00029890.2009.11920932. S2CID  28155804.
17. DP Robbins, "Áreas de polígonos inscritos en un círculo", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
18. W. Kahan, "¿Qué tiene que ver el volumen de un tetraedro con los lenguajes de programación informática?", [1], págs. 16-17.
19. Alekseevskij, DV; Vinberg, EB; Solodovnikov, AS (1993). "Geometría de espacios de curvatura constante". En Gamkrelidze, RV; Vinberg, EB (eds.). Geometría. II: Espacios de curvatura constante . Encycl. Math. Sci. Vol. 29. Springer-Verlag. p. 66. ISBN 1-56085-072-8.

Enlaces externos

• Una prueba del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Heron en cut-the-knot
• Calculadora de área y aplicación interactiva que utiliza la fórmula de Heron
• Discusión de J. H. Conway sobre la fórmula de Heron
• "La fórmula de Herón y la generalización de Brahmagupta". MathPages.com .
• Una prueba geométrica de la fórmula de Heron
• Una prueba alternativa de la fórmula de Herón sin palabras
• Factorización de la garza