Largest absolute value of an operator's eigenvalues
En matemáticas , el radio espectral de una matriz cuadrada es el máximo de los valores absolutos de sus valores propios . [1] De manera más general, el radio espectral de un operador lineal acotado es el supremo de los valores absolutos de los elementos de su espectro . El radio espectral a menudo se denota por ρ(·) .
Definición
matrices
Sean λ 1 , ..., λ n los valores propios de una matriz A ∈ C n × n . El radio espectral de A se define como
![{\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _ {1}|,\dotsc ,|\lambda _ {n}|\right\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El radio espectral puede considerarse como un mínimo de todas las normas de una matriz. En efecto, por un lado, para toda norma matricial natural ; y por otro lado, la fórmula de Gelfand establece que . Ambos resultados se muestran a continuación.
![{\displaystyle \|\cdot \|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sin embargo, el radio espectral no necesariamente satisface para vectores arbitrarios . Para ver por qué, seamos arbitrarios y consideremos la matriz.![{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
El polinomio característico de es , por lo que sus valores propios son y por tanto . Sin embargo, . Como resultado,![{\displaystyle C_{r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda ^{2}-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\{-1,1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (C_{r})=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle C_ {r} \ mathbf {e} _ {1} = r \ mathbf {e} _ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como ilustración de la fórmula de Gelfand, observe que as , ya que if es par y if es impar.![{\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\a 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\to \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{r}^{k}=I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un caso especial en el que para todos es cuando es una matriz hermitiana y es la norma euclidiana . Esto se debe a que cualquier matriz hermitiana es diagonalizable mediante una matriz unitaria , y las matrices unitarias conservan la longitud del vector. Como resultado,![{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|\cdot \|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U \mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Operadores lineales acotados
En el contexto de un operador lineal acotado A en un espacio de Banach , los valores propios deben reemplazarse con los elementos del espectro del operador , es decir, los valores para los cuales no es biyectivo. Denotamos el espectro por![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A-\lambda I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{no es biyectivo}}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El radio espectral se define entonces como el supremo de las magnitudes de los elementos del espectro:
![{\displaystyle \rho (A)=\sup _ {\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La fórmula de Gelfand, también conocida como fórmula del radio espectral, también es válida para operadores lineales acotados: denotando la norma del operador , tenemos![{\displaystyle \|\cdot \|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb { N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un operador acotado (en un espacio de Hilbert complejo) se denomina operador espectroloide si su radio espectral coincide con su radio numérico . Un ejemplo de tal operador es un operador normal .
Graficos
El radio espectral de un gráfico finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia .
Esta definición se extiende al caso de gráficos infinitos con grados de vértices acotados (es decir, existe algún número real C tal que el grado de cada vértice del gráfico es menor que C ). En este caso, para el gráfico G definir:
![{\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\ |f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sea γ el operador de adyacencia de G :
![{\displaystyle {\begin{casos}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _ {(u, v)\en E(G)}f(u)\end{casos}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El radio espectral de G se define como el radio espectral del operador lineal acotado γ .
Límites superiores
Límites superiores del radio espectral de una matriz
La siguiente proposición proporciona límites superiores simples pero útiles para el radio espectral de una matriz.
Proposición. Sea A ∈ C n × n con radio espectral ρ ( A ) y una norma matricial consistente ||⋅|| . Luego para cada número entero :![{\displaystyle k\geqslant 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba
Sea ( v , λ ) un par de vector propio - valor propio para una matriz A. Por la submultiplicatividad de la norma matricial, obtenemos:
![{\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \ |\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como v ≠ 0 , tenemos
![{\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y por lo tanto
![{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
concluyendo la prueba.
Límites superiores para el radio espectral de un gráfico
Hay muchos límites superiores para el radio espectral de un gráfico en términos de su número n de vértices y su número m de aristas. Por ejemplo, si
![{\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq mn\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es un número entero, entonces [2]![{\displaystyle 3\leq k\leq n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Secuencia de energía
El radio espectral está estrechamente relacionado con el comportamiento de la convergencia de la secuencia de potencias de una matriz; es decir, como lo muestra el siguiente teorema.
Teorema. Sea A ∈ C n × n con radio espectral ρ ( A ) . Entonces ρ ( A ) < 1 si y sólo si
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por otro lado, si ρ ( A ) > 1 , . La afirmación es válida para cualquier elección de norma matricial en C n × n .![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba
Supongamos que llega a cero cuando llega al infinito. Demostraremos que ρ ( A ) < 1 . Sea ( v , λ ) un par de vector propio - valor propio para A. Como A k v = λ k v , tenemos![{\displaystyle A^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v } \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que v ≠ 0 por hipótesis, debemos tener
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo que implica . Como esto debe ser cierto para cualquier valor propio , podemos concluir que ρ ( A ) <1 .![{\displaystyle |\lambda |<1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora, supongamos que el radio de A es menor que 1 . Por el teorema de la forma normal de Jordan , sabemos que para todo A ∈ C n × n , existe V , J ∈ C n × n con V no singular y J diagonal de bloque tal que:
![{\displaystyle A=VJV^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
![{\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf { C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Es fácil ver eso
![{\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y, dado que J es diagonal de bloque,
![{\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k }(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora, un resultado estándar sobre la potencia k de un bloque de Jordan establece que, para :![{\ Displaystyle m_ {i} \ veces m_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\geq m_{i}-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _ i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{ k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_ {i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i }^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por tanto, si entonces para todo i . Por lo tanto, para todo i tenemos:
![{\displaystyle |\lambda _ {i}|<1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo que implica
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto,
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k) \to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por otro lado, si , hay al menos un elemento en J que no permanece acotado a medida que k aumenta, lo que demuestra la segunda parte del enunciado.![{\displaystyle \rho (A)>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La fórmula de Gelfand.
La fórmula de Gelfand, que lleva el nombre de Israel Gelfand , da el radio espectral como límite de las normas matriciales.
Teorema
Para cualquier norma matricial ||⋅||, tenemos [3]
.
Además, en el caso de una matriz coherente , la norma se aproxima desde arriba (de hecho, en ese caso, para todos ).![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba
Para cualquier ε > 0 , definamos las dos matrices siguientes:
![{\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De este modo,
![{\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+}) <1<\rho (A_{-}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Comenzamos aplicando el teorema anterior sobre límites de secuencias de potencias a A + :
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto muestra la existencia de N + ∈ N tal que, para todo k ≥ N + ,
![{\displaystyle \left\|A_{+}^{k}\right\|<1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto,
![{\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera similar, el teorema sobre secuencias de potencias implica que no está acotado y que existe N − ∈ N tal que, para todo k ≥ N − ,![{\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\|A_{-}^{k}\right\|>1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto,
![{\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sea N = máx{ N + , N − }. Entonces,
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\ derecha\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
eso es,
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto concluye la prueba.
Corolario
La fórmula de Gelfand produce un límite en el radio espectral de un producto de matrices conmutantes: si son matrices que todas conmutan, entonces![{\displaystyle A_{1},\ldots,A_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo numérico
Considere la matriz
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuyos valores propios son 5, 10, 10 ; por definición, ρ ( A ) = 10 . En la siguiente tabla, se enumeran los valores de para las cuatro normas más utilizadas frente a varios valores crecientes de k (tenga en cuenta que, debido a la forma particular de esta matriz, ):![{\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
notas y referencias
- ^ Gradshteĭn, IS (1980). Tabla de integrales, series y productos. IM Ryzhik, Alan Jeffrey (Corr. y ed. agregada). Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-294760-6. OCLC 5892996.
- ^ Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). "Límites superiores nítidos del radio espectral de un gráfico". Matemáticas discretas . 342 (9): 2559–2563. doi : 10.1016/j.disc.2019.05.017 . S2CID 198169497.
- ^ La fórmula es válida para cualquier álgebra de Banach ; ver Lema IX.1.8 en Dunford y Schwartz 1963 y Lax 2002, págs. 195-197
Bibliografía
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Operadores lineales II. Teoría espectral: operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert , Interscience Publishers, Inc.
- Lax, Peter D. (2002), Análisis funcional , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1
Ver también