Radio espectral

Valor absoluto más grande de los valores propios de un operador

En matemáticas , el radio espectral de una matriz cuadrada es el máximo de los valores absolutos de sus valores propios . ^[1] De manera más general, el radio espectral de un operador lineal acotado es el supremo de los valores absolutos de los elementos de su espectro . El radio espectral se denota a menudo por ρ(·) .

Definición

Matrices

Sean λ ₁ , ..., λ _n los valores propios de una matriz A ∈ C ^{n × n} . El radio espectral de A se define como

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$

El radio espectral puede considerarse como un ínfimo de todas las normas de una matriz. De hecho, por un lado, para cada norma de matriz natural ; y por otro lado, la fórmula de Gelfand establece que . Ambos resultados se muestran a continuación. ${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$

Sin embargo, el radio espectral no necesariamente satisface para vectores arbitrarios . Para ver por qué, sea arbitrario y considere la matriz ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle r>1}$

${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$.

El polinomio característico de es , por lo que sus valores propios son y, por lo tanto , . Sin embargo, . Como resultado, ${\displaystyle C_{r}}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$ ${\displaystyle \{-1,1\}}$ ${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$ ${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}$

Como ilustración de la fórmula de Gelfand, observe que como , ya que si es par y si es impar. ${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle C_{r}^{k}=I}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}$ ${\displaystyle k}$

Un caso especial en el que para todos es cuando es una matriz hermítica y es la norma euclidiana . Esto se debe a que cualquier matriz hermítica es diagonalizable por una matriz unitaria y las matrices unitarias conservan la longitud del vector. Como resultado, ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.}$

Operadores lineales acotados

En el contexto de un operador lineal acotado A en un espacio de Banach , los valores propios deben reemplazarse con los elementos del espectro del operador , es decir, los valores para los cuales no es biyectivo. Denotamos el espectro por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$

${\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{is not bijective}}\right\}}$

El radio espectral se define entonces como el supremo de las magnitudes de los elementos del espectro:

${\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |}$

La fórmula de Gelfand, también conocida como fórmula del radio espectral, también es válida para operadores lineales acotados: siendo α la norma del operador , tenemos ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Un operador acotado (en un espacio de Hilbert complejo) se denomina operador espectraloide si su radio espectral coincide con su radio numérico . Un ejemplo de este tipo de operador es un operador normal .

Gráficos

El radio espectral de un gráfico finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia .

Esta definición se extiende al caso de grafos infinitos con grados acotados de vértices (es decir, existe algún número real C tal que el grado de cada vértice del grafo es menor que C ). En este caso, para el grafo G definimos:

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}$

Sea γ el operador de adyacencia de G :

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}$

El radio espectral de G se define como el radio espectral del operador lineal acotado γ .

Límites superiores

Límites superiores del radio espectral de una matriz

La siguiente propuesta proporciona límites superiores simples pero útiles para el radio espectral de una matriz.

Proposición. Sea A ∈ C ^{n × n} con radio espectral ρ ( A ) y una norma matricial consistente ||⋅|| . Entonces para cada entero : ${\displaystyle k\geqslant 1}$

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Prueba

Sea ( v , λ ) un par vector propio - valor propio para una matriz A . Por la submultiplicatividad de la norma matricial, obtenemos:

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$

Como v ≠ 0 , tenemos

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$

y por lo tanto

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

concluyendo la prueba.

Límites superiores para el radio espectral de un gráfico

Existen muchos límites superiores para el radio espectral de un grafo en términos de su número n de vértices y su número m de aristas. Por ejemplo, si

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

donde es un entero, entonces ^[2] ${\displaystyle 3\leq k\leq n}$

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$

Matrices simétricas

En el caso de matrices de valores reales, la desigualdad se cumple en particular, donde denota la norma espectral . En el caso donde es simétrica , esta desigualdad es estricta: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho (A)\leq {\|A\|}_{2}}$ ${\displaystyle {\|\cdot \|}_{2}}$ ${\displaystyle A}$

Teorema. Sea simétrica, es decir, . Entonces se cumple que . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle A=A^{T}}$ ${\displaystyle \rho (A)={\|A\|}_{2}}$

Prueba

Sean los pares propios de A . Debido a la simetría de A , todos y tienen valores reales y los vectores propios son ortonormales . Por la definición de la norma espectral, existe un con tal que . Dado que los vectores propios forman una base de , existen factores tales que lo que implica que ${\displaystyle (v_{i},\lambda _{i})_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\|x\|}_{2}=1}$ ${\displaystyle {\|A\|}_{2}={\|Ax\|}_{2}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}v_{i}}$

${\displaystyle Ax=\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}Av_{i}=\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}\lambda _{i}v_{i}}$.

De la ortonormalidad de los vectores propios se deduce que ${\displaystyle v_{i}}$

${\displaystyle {\|Ax\|}_{2}={\|\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}\lambda _{i}v_{i}\|}_{2}=\sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}\cdot {|\lambda _{i}|}\cdot {\|v_{i}\|}_{2}=\sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}\cdot {|\lambda _{i}|}}$

y

${\displaystyle {\|x\|}_{2}={\|\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}v_{i}\|}_{2}=\sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}\cdot {\|v_{i}\|}_{2}=\sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}.}$

Dado que se elige de manera que maximice mientras satisface , los valores de deben ser tales que maximicen mientras satisfacen . Claramente, esto se logra estableciendo para y en caso contrario, obteniendo un valor de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\|Ax\|}_{2}}$ ${\displaystyle {\|x\|}_{2}=1}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}\cdot {|\lambda _{i}|}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}=1}$ ${\displaystyle \delta _{k}=1}$ ${\displaystyle k=\mathrm {arg\,max} _{i=1}^{n}{|\lambda _{i}|}}$ ${\displaystyle \delta _{i}=0}$ ${\displaystyle {\|Ax\|}_{2}={|\lambda _{k}|}=\rho (A)}$

Secuencia de potencia

El radio espectral está estrechamente relacionado con el comportamiento de la convergencia de la secuencia de potencia de una matriz; como lo muestra el siguiente teorema.

Teorema. Sea A ∈ C ^{n × n} con radio espectral ρ ( A ) . Entonces ρ ( A ) < 1 si y solo si

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$

Por otra parte, si ρ ( A ) > 1 , . La afirmación es válida para cualquier elección de norma matricial en C ^{n × n} . ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$

Prueba

Supongamos que tiende a cero cuando tiende a infinito. Demostraremos que ρ ( A ) < 1 . Sea ( v , λ ) un par vector propio - valor propio para A . Como A ^k v = λ ^k v , tenemos ${\displaystyle A^{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}$

Como v ≠ 0 por hipótesis, debemos tener

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,}$

lo que implica . Dado que esto debe ser cierto para cualquier valor propio , podemos concluir que ρ ( A ) < 1 . ${\displaystyle |\lambda |<1}$ ${\displaystyle \lambda }$

Ahora, supongamos que el radio de A es menor que 1. Del teorema de la forma normal de Jordan , sabemos que para todo A ∈ C ^{n × n} , existen V , J ∈ C ^{n × n} con V no singular y J diagonal en bloque tales que:

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$

con

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$

Es fácil ver que

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$

y, como J es diagonal al bloque,

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

Ahora bien, un resultado estándar sobre la potencia k de un bloque de Jordan establece que, para : ${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$ ${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$

Por lo tanto, si entonces para todo i . Por lo tanto para todo i tenemos: ${\displaystyle \rho (A)<1}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$

Lo que implica

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}$

Por otro lado, si , hay al menos un elemento en J que no permanece acotado a medida que k aumenta, lo que demuestra la segunda parte del enunciado. ${\displaystyle \rho (A)>1}$

Fórmula de Gelfand

La fórmula de Gelfand, llamada así en honor a Israel Gelfand , proporciona el radio espectral como límite de las normas matriciales.

Teorema

Para cualquier norma matricial ||⋅||, tenemos ^[3]

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$.

Además, en el caso de una matriz consistente la norma se aproxima desde arriba (de hecho, en ese caso para todos los ). ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle \rho (A)}$ ${\displaystyle \rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle k}$

Prueba

Para cualquier ε > 0 , definamos las dos matrices siguientes:

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$

De este modo,

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$

Comenzamos aplicando el teorema anterior sobre límites de secuencias de potencias a A ₊ :

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$

Esto demuestra la existencia de N ₊ ∈ N tal que, para todo k ≥ N ₊ ,

${\displaystyle \left\|A_{+}^{k}\right\|<1.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .}$

De manera similar, el teorema sobre sucesiones de potencias implica que no está acotado y que existe N ₋ ∈ N tal que, para todo k ≥ N ₋ , ${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$

${\displaystyle \left\|A_{-}^{k}\right\|>1.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .}$

Sea N = máx{ N ₊ , N ₋ }. Entonces,

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,}$

eso es,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$

Con esto concluye la prueba.

Corolario

La fórmula de Gelfand produce un límite en el radio espectral de un producto de matrices conmutativas: si son matrices que conmutan todas, entonces ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$

${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$

Ejemplo numérico

Considere la matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$

cuyos valores propios son 5, 10, 10 ; por definición, ρ ( A ) = 10 . En la siguiente tabla, se enumeran los valores de para las cuatro normas más utilizadas frente a varios valores crecientes de k (nótese que, debido a la forma particular de esta matriz, ): ${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$

Notas y referencias

1. Gradshteĭn, IS (1980). Tabla de integrales, series y productos. IM Ryzhik, Alan Jeffrey (ed. corregida y enl.). Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-294760-6.OCLC 5892996  .
2. Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). "Límites superiores precisos del radio espectral de un gráfico". Matemáticas discretas . 342 (9): 2559–2563. doi : 10.1016/j.disc.2019.05.017 . S2CID  198169497.
3. La fórmula es válida para cualquier álgebra de Banach ; véase el Lema IX.1.8 en Dunford & Schwartz 1963 y Lax 2002, págs. 195-197

Bibliografía

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Operadores lineales II. Teoría espectral: operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert , Interscience Publishers, Inc.
• Lax, Peter D. (2002), Análisis funcional , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

Véase también

• Brecha espectral
• El radio espectral conjunto es una generalización del radio espectral a conjuntos de matrices.
• Espectro de una matriz
• Abscisa espectral