Ecuación de Wannier

La ecuación de Wannier describe un problema de valor propio de mecánica cuántica en sólidos donde un electrón en una banda de conducción y una vacante electrónica (es decir, un hueco) dentro de una banda de valencia se atraen entre sí a través de la interacción de Coulomb . Para un electrón y un hueco, este problema es análogo a la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno ; y las soluciones de estado ligado se denominan excitones . Cuando el radio de un excitón se extiende sobre varias celdas unitarias , se lo denomina excitón de Wannier en contraste con los excitones de Frenkel cuyo tamaño es comparable con la celda unitaria. Un sólido excitado normalmente contiene muchos electrones y huecos; esto modifica considerablemente la ecuación de Wannier. La ecuación de Wannier generalizada resultante se puede determinar a partir de la parte homogénea de las ecuaciones de Bloch de semiconductores o las ecuaciones de luminiscencia de semiconductores .

La ecuación lleva el nombre de Gregory Wannier .

Fondo

Como un electrón y un hueco tienen cargas opuestas, su interacción mutua de Coulomb es atractiva. La ecuación de Schrödinger correspondiente , en coordenadas relativas , tiene la misma forma que el átomo de hidrógeno: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle -\left[{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2\mu }}+V(\mathbf {r} )\right]\phi _{\lambda }(\mathbf {r} )=E_{\lambda }\phi _{\lambda }(\mathbf {r} )\,,}$

con el potencial dado por

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}\,.}$

Aquí, es la constante de Planck reducida , es el operador nabla, es la masa reducida , ( ) es la carga elemental relacionada con un electrón (hueco), es la permitividad relativa y es la permitividad del vacío . Las soluciones del átomo de hidrógeno se describen mediante la función propia y la energía propia donde es un número cuántico que etiqueta los diferentes estados. ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -|e|}$ ${\displaystyle +|e|}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \phi _{\lambda }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle E_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

En un sólido, la escala de y el tamaño de la función de onda son órdenes de magnitud diferentes del problema del hidrógeno porque la permitividad relativa es aproximadamente diez y la masa reducida en un sólido es mucho menor que la masa en reposo del electrón , es decir, . Como resultado, el radio del excitón puede ser grande mientras que la energía de enlace del excitón es pequeña, típicamente de unos pocos a cientos de meV , dependiendo del material, en comparación con los eV para el problema del hidrógeno. ^{[1] [2]} ${\displaystyle E_{\lambda }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle \mu \ll m_{e}}$

La versión transformada de Fourier del hamiltoniano presentado se puede escribir como

${\displaystyle E_{\mathbf {k} }\phi _{\lambda }(\mathbf {k} )-\sum _{\mathbf {k'} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }\phi _{\lambda }(\mathbf {k'} )=E_{\lambda }\phi _{\lambda }(\mathbf {k} )\,,}$

donde es el vector de onda electrónica , es la energía cinética y son las transformadas de Fourier de , , respectivamente. Las sumas de Coulomb se desprenden del teorema de convolución y la representación es útil al introducir la ecuación de Wannier generalizada. ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \phi _{\lambda }(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi _{\lambda }(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Ecuación de Wannier generalizada

La ecuación de Wannier se puede generalizar incluyendo la presencia de muchos electrones y huecos en el sistema excitado. Se puede partir de la teoría general de excitaciones ópticas o de emisión de luz en semiconductores que se pueden describir sistemáticamente utilizando las ecuaciones de Bloch de semiconductores (SBE) o las ecuaciones de luminiscencia de semiconductores (SLE), respectivamente. ^{[1] [3] [4]} Las partes homogéneas de estas ecuaciones producen la ecuación de Wannier en el límite de baja densidad. Por lo tanto, las partes homogéneas de la SBE y la SLE proporcionan una forma físicamente significativa de identificar excitones en niveles de excitación arbitrarios. La ecuación de Wannier generalizada resultante es

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )-\sum _{\mathbf {k'} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }^{\mathrm {eff} }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k'} )=\epsilon _{\lambda }\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )\,,}$

donde la energía cinética se renormaliza

${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{\mathbf {k} }=E_{\mathbf {k} }-\sum _{\mathbf {k} '}V_{{\mathbf {k} }'-{\mathbf {k} }}\left(f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right)\,,}$

por las ocupaciones de electrones y huecos y , respectivamente. Estos también modifican la interacción de Coulomb en ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$

${\displaystyle V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }^{\mathrm {eff} }\equiv (1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} })V_{\mathbf {k} -\mathbf {k'} }\,,}$

donde debilita la interacción de Coulomb a través del llamado factor de llenado del espacio de fases que se deriva del principio de exclusión de Pauli que impide las excitaciones múltiples de los fermiones. Debido al factor de llenado del espacio de fases, la atracción de Coulomb se vuelve repulsiva para los niveles de excitación . En este régimen, la ecuación de Wannier generalizada produce solo soluciones no ligadas que se derivan de la transición excitónica de Mott de pares electrón-hueco ligados a ionizados . ${\displaystyle (1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} })}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }+f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} }>1}$

Una vez que existen densidades electrón-hueco, la ecuación generalizada de Wannier ya no es hermítica . Como resultado, el problema de valor propio tiene estados propios tanto zurdos como diestros y , respectivamente. Están conectados a través del factor de llenado del espacio de fases, es decir . Los estados propios zurdos y diestros tienen el mismo valor propio (que es real para la forma mostrada) y forman un conjunto completo de soluciones ortogonales ya que ${\displaystyle \phi _{\lambda }^{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \phi _{\lambda }^{\mathrm {L} }(\mathbf {k} )=\phi _{\lambda }^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} )/(1-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {e} }-f_{\mathbf {k} }^{\mathrm {h} })}$ ${\displaystyle E_{\lambda }}$

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\left[\phi _{\lambda }^{L}(\mathbf {k} )\right]^{\star }\,\phi _{\nu }^{R}(\mathbf {k} )=\sum _{\mathbf {k} }\left[\phi _{\lambda }^{R}(\mathbf {k} )\right]^{\star }\,\phi _{\nu }^{L}(\mathbf {k} )=\delta _{\lambda ,\nu }}$.

Las ecuaciones de Wannier también se pueden generalizar para incluir efectos de dispersión y apantallamiento que aparecen debido a correlaciones de dos partículas dentro del SBE. Esta extensión también produce estados propios zurdos y diestros, pero su conexión es más complicada ^[4] que la presentada anteriormente. Además, se vuelve compleja y la parte imaginaria de define la vida útil de la resonancia . ${\displaystyle E_{\lambda }}$ ${\displaystyle E_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Físicamente, la ecuación generalizada de Wannier describe cómo la presencia de otros pares electrón-hueco modifica la unión de un par efectivo. Como consecuencias principales, una excitación tiende a debilitar la interacción de Coulomb y renormaliza las energías de partículas individuales en la forma más simple. Una vez que se incluyen también los efectos de correlación, se observa adicionalmente el apantallamiento de la interacción de Coulomb, el desfase inducido por la excitación y los cambios de energía inducidos por la excitación. Todos estos aspectos son importantes cuando se explican en detalle los experimentos con semiconductores.

Aplicaciones

Debido a la analogía con el problema del hidrógeno, los estados propios de densidad cero se conocen analíticamente para cualquier semiconductor en masa cuando se estudian excitaciones cercanas a la parte inferior de las bandas electrónicas . ^[5] En materiales nanoestructurados ^[6] , como pozos cuánticos , cables cuánticos y puntos cuánticos , el elemento de matriz de Coulomb se desvía fuertemente de los sistemas ideales bidimensionales y tridimensionales debido al confinamiento cuántico finito de los estados electrónicos. Por lo tanto, no se puede resolver analíticamente la ecuación de Wannier de densidad cero para esas situaciones, sino que es necesario recurrir a solucionadores numéricos de valores propios. En general, solo son posibles soluciones numéricas para todos los casos de semiconductores cuando los estados de excitón se resuelven dentro de una materia excitada. Se muestran más ejemplos en el contexto de la fórmula de Elliott . ${\displaystyle V_{\mathbf {k} }}$

Véase también

• Excitones
• Ecuaciones de Bloch de semiconductores
• Ecuaciones de luminiscencia de semiconductores
• Fórmula de Elliott
• Valores propios y vectores propios
• Pozo cuántico
• Cable cuántico
• Punto cuántico

Referencias

1. Haug, H.; Koch, SW (2009). Teoría cuántica de las propiedades ópticas y electrónicas de los semiconductores (5.ª ed.). World Scientific. pág. 216. ISBN  9812838848 .
2. Klingshirn, CF (2006). Óptica semiconductora . Saltador. ISBN 978-3540383451 . 
3. Kira, M.; Koch, SW (2006). "Correlaciones de muchos cuerpos y efectos excitónicos en espectroscopia de semiconductores". Progreso en electrónica cuántica 30 (5): 155–296. doi:10.1016/j.pquantelec.2006.12.002.
4. Kira, M.; Koch, SW (2011). Óptica cuántica de semiconductores . Cambridge University Press. ISBN 978-0521875097 . 
5. Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido. Holt, Rinehart y Winston . ISBN 0-03-083993-9 . 
6. Paul Harrison (26 de septiembre de 2011). Pozos, cables y puntos cuánticos: física teórica y computacional de nanoestructuras semiconductoras. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-96475-9 .