La ecuación de Liñán

Tipo de ecuación diferencial ordinaria

En el estudio de la llama de difusión , la ecuación de Liñán es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden que describe la estructura interna de la llama de difusión, derivada por primera vez por Amable Liñán en 1974. ^[1] La ecuación se lee como

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\zeta ^{2}}}=(y^{2}-\zeta ^{2})e^{-\delta ^{-1/3}(y+\gamma \zeta )}}$

Sujeto a las condiciones de contorno

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta \rightarrow -\infty :&\quad {\frac {dy}{d\zeta }}=-1,\\\zeta \rightarrow +\infty :&\quad {\frac {dy}{d\zeta }}=+1\end{aligned}}}$

donde es el número de Damköhler reducido o reescalado y es la relación entre el exceso de calor conducido a un lado de la lámina de reacción y el calor total generado en la zona de reacción. Si , se transporta más calor al lado del oxidante, lo que reduce la velocidad de reacción en el lado del oxidante (ya que la velocidad de reacción depende de la temperatura) y, en consecuencia, se filtrará una mayor cantidad de combustible en el lado del oxidante. Mientras que, si , se transporta más calor al lado del combustible de la llama de difusión, lo que reduce la velocidad de reacción en el lado del combustible de la llama y aumenta la fuga de oxidante en el lado del combustible. Cuando , todo el calor se transporta al lado del oxidante (combustible) y, por lo tanto, la llama sufre una fuga de combustible (oxidante) extremadamente grande. ^[2] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma <0}$ ${\displaystyle \gamma \rightarrow 1}$ ${\displaystyle (\gamma \rightarrow -1)}$

La ecuación es, en algunos aspectos, universal (también llamada ecuación canónica de la llama de difusión) ya que, aunque Liñán derivó la ecuación para el flujo en el punto de estancamiento , asumiendo números de Lewis unitarios para los reactivos, se encuentra que la misma ecuación representa la estructura interna para flamas laminares generales, ^{[3] [4] [5]} que tienen números de Lewis arbitrarios. ^{[6] [7] [8]}

Existencia de soluciones

Cerca de la extinción de la llama de difusión, es de orden uno. La ecuación no tiene solución para , donde es el número de Damköhler de extinción. Para con , la ecuación posee dos soluciones, de las cuales una es una solución inestable. Existe una solución única si y . La solución es única para , donde es el número de Damköhler de ignición. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta <\delta _{E}}$ ${\displaystyle \delta _{E}}$ ${\displaystyle \delta >\delta _{E}}$ ${\displaystyle |\gamma |<1}$ ${\displaystyle |\gamma |>1}$ ${\displaystyle \delta >\delta _{E}}$ ${\displaystyle \delta >\delta _{I}}$ ${\displaystyle \delta _{I}}$

Liñán también dio una fórmula de correlación para el número de extinción de Damköhler, que es cada vez más precisa para , ${\displaystyle 1-\gamma \ll 1}$

${\displaystyle \delta _{E}=e[(1-\gamma )-(1-\gamma )^{2}+0.26(1-\gamma )^{3}+0.055(1-\gamma )^{4}].}$

Ecuación de Liñán generalizada

La ecuación de Liñán generalizada está dada por

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\zeta ^{2}}}=(y-\zeta )^{m}(y+\zeta )^{n}e^{-\delta ^{-1/3}(y+\gamma \zeta )}}$

donde y son órdenes de reacción constantes del combustible y el oxidante, respectivamente. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Límite de número grande de Damköhler

En el límite de Burke-Schumann , . Entonces la ecuación se reduce a ${\displaystyle \delta \rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\zeta ^{2}}}=(y-\zeta )^{m}(y+\zeta )^{n},\quad \zeta \rightarrow \pm \infty :\,{\frac {dy}{d\zeta }}=\pm 1.}$

Una solución aproximada a esta ecuación fue desarrollada por el propio Liñán utilizando el método integral en 1963 para su tesis, ^[9]

${\displaystyle y(\zeta )=y_{m}+(\zeta -\zeta _{m})\operatorname {erf} [k(\zeta -\zeta _{m})]-{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}k}}\left[1-e^{-k^{2}(\zeta -\zeta _{m})^{2}}\right],}$

¿Dónde está la función de error y ${\displaystyle \mathrm {erf} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{m}&={\frac {n-m}{n+m}}y_{m},\\y_{m}&={\frac {m+n}{2}}\left[{\frac {2}{\pi m^{2}n^{2}}}\left({\sqrt {1+{\frac {\pi (m+n)}{2mn}}}}-1\right)\right]^{\frac {1}{m+n+1}},\\k&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}m^{m}n^{n}\left({\frac {2y_{m}}{m+n}}\right)^{m+n}.\end{aligned}}}$

Aquí se encuentra la ubicación donde alcanza su valor mínimo . Cuando , , y . ${\displaystyle \zeta =\zeta _{m}}$ ${\displaystyle y(\zeta )}$ ${\displaystyle y(\zeta _{m})=y_{m}}$ ${\displaystyle m=n=1}$ ${\displaystyle \zeta _{m}=0}$ ${\displaystyle y_{m}=0.8702}$ ${\displaystyle k=0.6711}$

Véase también

• Teoría de la llama de difusión de Liñán

Referencias

1. Linan, A. (1974). "La estructura asintótica de las llamas de difusión en contraflujo para grandes energías de activación". Acta Astronautica . 1 (7–8): 1007–1039. Bibcode :1974AcAau...1.1007L. doi :10.1016/0094-5765(74)90066-6.
2. Gubernov, V., y Kim, JS (2006). Sobre las inestabilidades oscilatorias de tiempo rápido del régimen de llama de difusión de Linan. Teoría y modelado de la combustión, 10(5), 749-770.
3. Peters, N., y Williams, FA (1983). Características de despegue de llamas de difusión de chorro turbulento. Revista AIAA, 21(3), 423-429.
4. Peters, N. (1983). Extinción local debido al estiramiento de la llama y combustión turbulenta no premezclada. Combustion Science and Technology, 30(1–6), 1–17.
5. Peters, N. (1986). Concepto de flama laminar en combustión turbulenta. Vigésimo primer simposio (internacional) sobre combustión. The Combustion Institute 1231.
6. Seshadri, K., y Trevino, C. (1989). La influencia de los números de Lewis de los reactivos en la estructura asintótica de las llamas de difusión estancada y en contracorriente. Ciencia y tecnología de la combustión, 64(4-6), 243-261.
7. Cheatham, S.; Matalon, M. (2000). "Una teoría asintótica general de las llamas de difusión con aplicación a la inestabilidad celular". Journal of Fluid Mechanics . 414 (1): 105–144. Bibcode :2000JFM...414..105C. doi :10.1017/S0022112000008752. S2CID  121996206.
8. Liñán, A.; Martínez-Ruiz, D.; Vera, M.; Sánchez, AL (2017). "Análisis de alta energía de activación de la extinción de llamas de difusión en contraflujo con números de Lewis no unitarios del combustible". Combustion and Flame . 175 : 91–106. doi :10.1016/j.combustflame.2016.06.030.
9. Liñán, A. (1963). Sobre la estructura de las llamas de difusión laminar (tesis doctoral). Instituto Tecnológico de California .