Ecuación de Kundu

La ecuación de Kundu es una forma general de sistema integrable que es equivalente en términos de calibración a la ecuación mixta no lineal de Schrödinger . Fue propuesta por Anjan Kundu ^[1] como

con función arbitraria y los subíndices que denotan derivadas parciales. Se demuestra que la ecuación (1) es reducible para la elección de una clase integrable de ecuación de Schrödinger no lineal mixta con no linealidad cúbica-quíntica, dada en una forma representativa $\theta(t,x)$ $\theta_{x}=-\kappa |q|^{2}$

Aquí hay parámetros independientes, mientras que la ecuación (1) , más específicamente la ecuación (2), se conoce como la ecuación de Kundu . ^[2] $\alpha ,c,\kappa$ $\gamma =\kappa (4\kappa +\alpha).$

Propiedades y aplicaciones

La ecuación de Kundu es un sistema completamente integrable , que permite la representación de pares Lax , soluciones exactas y una mayor cantidad conservada . Junto con sus diferentes casos particulares, esta ecuación se ha investigado para encontrar sus soluciones exactas de ondas viajeras , ^[3] soluciones exactas de ondas solitarias ^[2] mediante bilinealización, ^[4] y transformación de Darboux ^[5]^[6] junto con la estabilidad orbital para tales soluciones de ondas solitarias. ^[7]

La ecuación de Kundu se ha aplicado a varios procesos físicos como la dinámica de fluidos , la física del plasma y la óptica no lineal . ^[7] Está vinculada a la ecuación de Schrödinger no lineal mixta a través de una transformación de calibre y es reducible a una variedad de ecuaciones integrables conocidas como la ecuación de Schrödinger no lineal (NLSE), la NLSE derivada, la NLSE derivada no lineal superior, las ecuaciones de Chen–Lee–Liu, Gerjikov-Vanov y Kundu–Eckhaus , para diferentes elecciones de los parámetros. ^[1]

Ecuación de Kundu-Eckhaus

Se propuso una generalización de la ecuación no lineal de Schrödinger con no linealidad quíntica adicional y un término dispersivo no lineal en la forma ^[1]

que puede obtenerse a partir de la ecuación de Kundu (2) , cuando se restringe a . La misma ecuación, limitada aún más al caso particular, se introdujo más tarde como la ecuación de Eckhaus , tras lo cual la ecuación (3) se conoce actualmente como la ecuación de Kundu-Ekchaus . La ecuación de Kundu-Ekchaus puede reducirse a la ecuación no lineal de Schrödinger mediante una transformación no lineal del campo y, por lo tanto, se sabe que son sistemas integrables equivalentes de calibre, ya que son equivalentes bajo la transformación de calibre . $\alpha = 0$ $c=0,$

Propiedades y aplicaciones

La ecuación de Kundu-Ekchaus está asociada con un par Lax , una cantidad conservada superior, una solución de solitón exacta , una solución de onda rebelde , etc. A lo largo de los años se han estudiado varios aspectos de esta ecuación, sus generalizaciones y su vínculo con otras ecuaciones. En particular, se establece la relación de la ecuación de Kundu-Ekchaus con la ecuación hidrodinámica de Johnson cerca de la criticidad, ^[8] sus discretizaciones , ^[9] la reducción mediante simetría de Lie, ^[10] la estructura compleja mediante la subecuación de Bernoulli, ^[11] las soluciones de solitones brillantes y oscuros mediante la transformación de Bäcklund ^[12] y la transformación de Darboux ^[13] con las soluciones de onda rebelde asociadas, ^[14]^[15] se estudian.

Ecuación RKL

Se propuso una generalización multicomponente de la ecuación de Kundu-Ekchaus (3) , conocida como ecuación de Radhakrishnan, Kundu y Laskshmanan (RKL) en óptica no lineal para la comunicación por fibra óptica a través de pulsos de solitones en un medio no Kerr birrefringente ^[16] y se analizó posteriormente para su solución de solitón exacta y otros aspectos en una serie de artículos. ^[17]^[18]^[19]^[20]

Aspectos cuánticos

Aunque la ecuación de Kundu-Ekchaus (3) es equivalente de calibración a la ecuación no lineal de Schrödinger , difieren con respecto a sus estructuras hamiltonianas y relaciones de conmutación de campo. El operador hamiltoniano del modelo de campo cuántico de la ecuación de Kundu-Ekchaus dado por

{H}=\int dx\left[:\left((\psi _{x}^{\dagger }\psi _{x}+c\rho ^{2}+i\kappa \rho (\psi ^{\dagger }\psi _{x}-\psi _{x}^{\dagger }\psi )\right):+\kappa ^{2}(\psi ^{\dagger }\rho ^{2}\psi )\right],\ \ \ \ \ \rho \equiv (\psi ^{\dagger }\psi )

y definido a través de la relación de conmutación del operador de campo bosónico , es más complicado que el conocido hamiltoniano bosónico de la ecuación cuántica no lineal de Schrödinger. Aquí se indica el orden normal en los operadores bosónicos. Este modelo corresponde a un gas de Bose interactuante de doble función y es difícil de resolver directamente. $[\psi(x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta(xy)$ ${\estilo de visualización \ :\ \ :\ }$ ${\estilo de visualización \delta}$

Gas aniónico unidimensional

Sin embargo, bajo una transformación no lineal del campo siguiente:

{\tilde {\psi }}(x)=e^{-i\kappa \int _{-\infty }^{x}\psi ^{\dagger }(x')\psi (x')dx'}\psi (x)

El modelo se puede transformar en:

{\tilde {H}}=\int dx\vdots \left({\tilde {\psi }}_{x}^{\dagger }{\tilde {\psi }}_{x}+c({\tilde {\psi }}^{\dagger }{\tilde {\psi }})^{2}\right)\vdots ,

es decir, en la misma forma que el modelo cuántico de la ecuación de Schrödinger no lineal (NLSE), aunque difiere de la NLSE en su contenido, ya que ahora los campos involucrados ya no son operadores bosónicos sino que exhiben propiedades similares a las de los aniones .

{\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{1}){\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{2})=e^{i\kappa \epsilon (x_{1}-x_{2})}{\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{2}){\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{1}),\ {\tilde {\psi }}(x_{1}){\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{2})=e^{-i\kappa \epsilon (x_{1}-x_{2})}{\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{2}){\tilde {\psi }}(x_{1})+\delta (x_{1}-x_{2})

etc. donde

$\epsilon (x-y)=+\ ,-,0\ \ ~$ para $\ ~x>y,\ x<y,\ \ x=y,$

Aunque en los puntos coincidentes la relación de conmutación bosónica sigue siendo válida. En analogía con el modelo de Lieb Limiger del gas de función Bose , el modelo cuántico de Kundu-Ekchaus en el sector de N-partículas corresponde, por tanto, a un gas de aniones unidimensional (1D) que interactúa a través de una interacción de función. Este modelo de gas de aniones interactuantes fue propuesto y resuelto exactamente por el ansatz de Bethe en ^[21] y este modelo básico de aniones se estudia más a fondo para investigar varios aspectos del gas de aniones 1D, así como se extiende en diferentes direcciones. ^[22]^[23]^[24]^[25]^[26] $\delta$ $\delta$

Referencias

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Enlaces externos

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