Ecuación de Black-Scholes

Ecuación diferencial parcial en finanzas matemáticas

Gráfico de superficie del valor de una opción de compra europea a lo largo del tiempo y el precio de la acción subyacente, junto con algunas trayectorias representativas del precio de las acciones. Si el precio de la acción comienza muy por encima del precio de ejercicio, es probable que termine por encima de este. Si el precio de la acción comienza muy por debajo, es poco probable que termine por encima del precio de ejercicio. El valor medio del punto final de las trayectorias es exactamente igual a la altura de la superficie.

En finanzas matemáticas , la ecuación de Black-Scholes , también llamada ecuación de Black-Scholes-Merton , es una ecuación diferencial parcial (EDP) que rige la evolución de los precios de los derivados según el modelo de Black-Scholes . ^[1] En términos generales, el término puede referirse a una EDP similar que se puede derivar para una variedad de opciones o, de manera más general, derivados .

Simulación de movimientos brownianos geométricos con parámetros de datos de mercado

Consideremos una acción que no paga dividendos. Ahora construyamos un derivado que tenga un tiempo de vencimiento fijo en el futuro y, al vencimiento, tenga un pago que dependa de los valores que tome la acción en ese momento (como las opciones europeas de compra o venta). Entonces, el precio del derivado satisface ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K(S_{T})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0\\V(T,s)=K(s)\quad \forall s\end{cases}}}$

donde es el precio de la opción en función del precio de la acción S y el tiempo t , r es la tasa de interés libre de riesgo y es la volatilidad de la acción. ${\displaystyle V(t,S)}$ ${\displaystyle \sigma }$

La idea financiera clave detrás de la ecuación es que, bajo el supuesto del modelo de un mercado sin fricciones , uno puede cubrir perfectamente la opción comprando y vendiendo el activo subyacente de la manera correcta y, en consecuencia, “eliminar el riesgo”. Esta cobertura, a su vez, implica que solo hay un precio correcto para la opción, como lo devuelve la fórmula de Black-Scholes .

Interpretación financiera

La ecuación tiene una interpretación concreta que los profesionales suelen utilizar y es la base de la derivación común que se da en la siguiente subsección. La ecuación se puede reescribir de la siguiente forma:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}$

El lado izquierdo consta de un término de "decaimiento temporal", el cambio en el valor de la derivada con respecto al tiempo, llamado theta , y un término que involucra la segunda derivada espacial gamma , la convexidad del valor de la derivada con respecto al valor subyacente. El lado derecho es el rendimiento sin riesgo de una posición larga en la derivada y una posición corta que consiste en acciones del activo subyacente. ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$

La idea de Black y Scholes era que la cartera representada por el lado derecho no tiene riesgo: por lo tanto, la ecuación dice que la rentabilidad sin riesgo en cualquier intervalo de tiempo infinitesimal se puede expresar como la suma de theta y un término que incorpora gamma. En el caso de una opción, theta es normalmente negativa, lo que refleja la pérdida de valor debido a tener menos tiempo para ejercer la opción (en el caso de una opción de compra europea sobre un subyacente sin dividendos, siempre es negativa). Gamma es normalmente positiva y, por lo tanto, el término gamma refleja las ganancias de mantener la opción. La ecuación establece que en cualquier intervalo de tiempo infinitesimal, la pérdida de theta y la ganancia del término gamma deben compensarse entre sí para que el resultado sea una rentabilidad a la tasa sin riesgo.

Desde el punto de vista del emisor de la opción, por ejemplo, un banco de inversión, el término gamma es el costo de cobertura de la opción. (Dado que el valor gamma es máximo cuando el precio al contado del activo subyacente está cerca del precio de ejercicio de la opción, los costos de cobertura del vendedor son máximos en esa circunstancia).

Derivación

Según los supuestos del modelo anterior, el precio del activo subyacente (normalmente una acción) sigue un movimiento browniano geométrico . ^[2] Es decir

${\displaystyle dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW\,}$

donde W es una variable estocástica ( movimiento browniano ). Nótese que W y, en consecuencia, su incremento infinitesimal dW , representa la única fuente de incertidumbre en el historial de precios de la acción. Intuitivamente, W ( t ) es un proceso que "sube y baja" de una manera tan aleatoria que su cambio esperado en cualquier intervalo de tiempo es 0. (Además, su varianza en el tiempo T es igual a T ; vea el proceso de Wiener § Propiedades básicas ); un buen análogo discreto para W es un simple paseo aleatorio . Por lo tanto, la ecuación anterior establece que la tasa infinitesimal de retorno de la acción tiene un valor esperado de μ  dt y una varianza de . ${\displaystyle \sigma ^{2}dt}$

Se conoce el pago de una opción (o cualquier derivado contingente a la acción S ) al vencimiento. Para encontrar su valor en un momento anterior, necesitamos saber cómo evoluciona en función de y . Por el lema de Itô para dos variables tenemos ${\displaystyle V(S,T)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle dV=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,dW}$

Reemplazando los diferenciales por deltas en las ecuaciones para dS y dV se obtiene:

${\displaystyle \Delta S=\mu S\,\Delta t+\sigma S\,\Delta W\,}$

${\displaystyle \Delta V=\left(\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta W}$

Ahora, considere una cartera que consta de una opción corta y acciones largas en el momento . El valor de estas tenencias es ${\displaystyle \Pi }$ ${\textstyle {\partial V}/{\partial S}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \Pi =-V+{\frac {\partial V}{\partial S}}S}$

A lo largo del período de tiempo , la ganancia o pérdida total derivada de los cambios en los valores de las tenencias es: ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle \Delta \Pi =-\Delta V+{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\Delta S}$

Sustituyendo y en la expresión para : ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle \Delta V}$ ${\displaystyle \Delta \Pi }$

${\displaystyle \Delta \Pi =\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t}$

Nótese que el término ha desaparecido. Por lo tanto, se ha eliminado la incertidumbre y la cartera es efectivamente libre de riesgo, es decir, una cobertura delta . La tasa de rendimiento de esta cartera debe ser igual a la tasa de rendimiento de cualquier otro instrumento libre de riesgo; de lo contrario, habría oportunidades de arbitraje. Ahora, suponiendo que la tasa de rendimiento libre de riesgo es , debemos tener durante el período de tiempo ${\displaystyle \Delta W}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [t,t+\Delta t]}$

${\displaystyle \Delta \Pi =r\Pi \,\Delta t}$

Si ahora sustituimos nuestras fórmulas por y obtenemos: ${\displaystyle \Delta \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\Delta t=r\left(-V+S{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)\Delta t}$

Simplificando, llegamos a la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV}$

Con los supuestos del modelo de Black-Scholes , esta ecuación diferencial parcial de segundo orden se cumple para cualquier tipo de opción siempre que su función de precio sea dos veces diferenciable con respecto a y una vez con respecto a . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

Derivación alternativa

A continuación se presenta una derivación alternativa que se puede utilizar en situaciones en las que inicialmente no está claro cuál debería ser la cartera de cobertura. (Para una referencia, consulte el apartado 6.4 del volumen II de Shreve). ^[3]

En el modelo de Black-Scholes, suponiendo que hemos elegido la medida de probabilidad neutral al riesgo, se supone que el precio de la acción subyacente S ( t ) evoluciona como un movimiento browniano geométrico:

${\displaystyle {\frac {dS(t)}{S(t)}}=r\ dt+\sigma dW(t)}$

Dado que esta ecuación diferencial estocástica (EDS) muestra que la evolución del precio de las acciones es markoviana , cualquier derivada de este subyacente es una función del tiempo t y del precio de las acciones en el momento actual, S ( t ). Luego, una aplicación del lema de Itô da una EDS para el proceso de derivada descontada , que debería ser una martingala. Para que esto se cumpla, el término de deriva debe ser cero, lo que implica la EDP de Black-Scholes. ${\displaystyle e^{-rt}V(t,S(t))}$

Esta derivación es básicamente una aplicación de la fórmula de Feynman-Kac y puede intentarse siempre que los activos subyacentes evolucionen de acuerdo con las SDE dadas.

Métodos de resolución

Una vez que se deriva la EDP de Black-Scholes, con condiciones de contorno y terminales, para una derivada, la EDP se puede resolver numéricamente utilizando métodos estándar de análisis numérico, como un tipo de método de diferencias finitas . ^[4] En ciertos casos, es posible resolver una fórmula exacta, como en el caso de una llamada europea, que fue realizada por Black y Scholes.

La solución es conceptualmente sencilla. Dado que en el modelo de Black-Scholes el precio de las acciones subyacentes sigue un movimiento browniano geométrico, la distribución de , condicionada a su precio en el momento , es una distribución log-normal. Entonces, el precio de la derivada es simplemente el pago esperado descontado , que puede calcularse analíticamente cuando la función de pago es analíticamente manejable, o numéricamente si no lo es. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{T}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E[e^{-r(T-t)}K(S_{T})|S_{t}]}$ ${\displaystyle K}$

Para hacer esto para una opción de compra, recuerde que la PDE anterior tiene condiciones de contorno ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\sim S-Ke^{-r(T-t)}{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

La última condición indica el valor de la opción en el momento en que vence. Otras condiciones son posibles cuando S tiende a 0 o al infinito. Por ejemplo, las condiciones comunes que se utilizan en otras situaciones son elegir que delta se anule cuando S tiende a 0 y que gamma se anule cuando S tiende al infinito; estas condiciones darán como resultado la misma fórmula que las condiciones anteriores (en general, las diferentes condiciones límite darán como resultado soluciones diferentes, por lo que se debe utilizar algún conocimiento financiero para elegir las condiciones adecuadas para la situación en cuestión).

La solución de la EDP da el valor de la opción en cualquier momento anterior, . Para resolver la EDP reconocemos que es una ecuación de Cauchy-Euler que puede transformarse en una ecuación de difusión introduciendo la transformación de cambio de variable ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\max\{S-K,0\}\right]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=T-t\\u&=Ce^{r\tau }\\x&=\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau \end{aligned}}}$

Entonces la EDP de Black-Scholes se convierte en una ecuación de difusión

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

La condición terminal ahora se convierte en una condición inicial ${\displaystyle C(S,T)=\max\{S-K,0\}}$

${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x):=K(e^{\max\{x,0\}}-1)=K\left(e^{x}-1\right)H(x),}$

donde H ( x ) es la función de paso de Heaviside . La función de Heaviside corresponde a la aplicación de los datos de contorno en el sistema de coordenadas S , t que requiere cuando t = T ,

${\displaystyle C(S,\,T)=0\quad \forall \;S<K,}$

suponiendo que S y K > 0. Con este supuesto, es equivalente a la función máxima sobre todos los x en los números reales, con la excepción de x = 0. La igualdad anterior entre la función máxima y la función de Heaviside está en el sentido de distribuciones porque no se cumple para x = 0. Aunque sutil, esto es importante porque la función de Heaviside no necesita ser finita en x = 0, o incluso definida para el caso. Para más información sobre el valor de la función de Heaviside en x = 0, consulte la sección "Argumento cero" en el artículo Función escalonada de Heaviside .

Utilizando el método de convolución estándar para resolver una ecuación de difusión dada una función de valor inicial, u ( x , 0), tenemos

${\displaystyle u(x,\tau )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \tau }}}}\int _{-\infty }^{\infty }{u_{0}(y)\exp {\left[-{\frac {(x-y)^{2}}{2\sigma ^{2}\tau }}\right]}}dy,}$

que, después de cierta manipulación, produce

${\displaystyle u(x,\tau )=Ke^{x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }N(d_{+})-KN(d_{-}),}$

¿Dónde está la función de distribución acumulativa normal estándar y ${\displaystyle N(\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\left(x+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right].\end{aligned}}}$

Éstas son las mismas soluciones (hasta la traducción temporal) que fueron obtenidas por Fischer Black en 1976. ^[6]

Volviendo al conjunto original de variables se obtiene la solución indicada anteriormente para la ecuación de Black-Scholes. ${\displaystyle u,x,\tau }$

Ahora se puede realizar la condición asintótica.

${\displaystyle u(x,\,\tau ){\overset {x\rightsquigarrow \infty }{\asymp }}Ke^{x},}$

que da simplemente S al volver a las coordenadas originales.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }N(x)=1.}$

Referencias

1. Øksendal, Bernt (1998). "Option Pricing". Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (5.ª ed.). Berlín: Springer. pp. 266–283. ISBN 3-540-63720-6.
2. Hull, John C. (2008). Opciones, futuros y otros derivados (7.ª ed.). Prentice Hall . pp. 287–288. ISBN 978-0-13-505283-9.
3. Shreve, Steven (2004). Cálculo estocástico para finanzas II (1.ª ed.). Springer. pp. 268–272. ISBN 0-387-40101-6.
4. Wilmott, Paul; Howison, Sam; Dewynne, Jeff (1995). "Métodos de diferencias finitas". Las matemáticas de los derivados financieros . Cambridge University Press. págs. 135–164. ISBN 0-521-49789-2.
5. Chan, Raymond (3 de julio de 2021), Ecuaciones de Black-Scholes (PDF)
6. Véase la ecuación (16) en Black, Fischer S. (1976). "La fijación de precios de los contratos de materias primas". Journal of Financial Economics . 3 (1–2): 167–179. doi :10.1016/0304-405X(76)90024-6.