Distancia de Minkowski

Métrica matemática en el espacio vectorial normado

La distancia de Minkowski o métrica de Minkowski es una métrica en un espacio vectorial normado que puede considerarse como una generalización tanto de la distancia euclidiana como de la distancia de Manhattan . Recibe su nombre en honor al matemático polaco Hermann Minkowski .

Comparación de las distancias de Chebyshev, Euclidiana y de taxi para la hipotenusa de un triángulo 3-4-5 en un tablero de ajedrez

Definición

La distancia de orden de Minkowski (donde es un número entero) entre dos puntos se define como: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{ and }}Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$$ $${\displaystyle D\left(X,Y\right)={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$$

Para la distancia de Minkowski es una métrica como resultado de la desigualdad de Minkowski . ^[1] Cuando la distancia entre y es pero el punto está a una distancia de ambos puntos. Dado que esto viola la desigualdad triangular , para no es una métrica. Sin embargo, se puede obtener una métrica para estos valores simplemente eliminando el exponente de La métrica resultante también es una F-norma . ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p<1,}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle 2^{1/p}>2,}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p<1}$ ${\displaystyle 1/p.}$

La distancia de Minkowski se suele utilizar con valores 1 o 2, que corresponden a la distancia de Manhattan y a la distancia euclidiana , respectivamente. ^[2] En el caso límite de alcanzar el infinito, obtenemos la distancia de Chebyshev : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}}=\max _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}$$

De manera similar, para llegar al infinito negativo, tenemos: ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}}=\min _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|.}$$

La distancia de Minkowski también puede verse como un múltiplo de la media de potencia de las diferencias entre componentes y ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q.}$

La siguiente figura muestra círculos unitarios (el conjunto de niveles de la función de distancia donde todos los puntos están a la distancia unitaria desde el centro) con varios valores de : ${\displaystyle p}$

Aplicaciones

La métrica de Minkowski es muy útil en el campo del aprendizaje automático y la IA . Muchos algoritmos de aprendizaje automático populares utilizan métricas de distancia específicas, como las mencionadas anteriormente, para comparar la similitud de dos puntos de datos. Según la naturaleza de los datos que se analizan, se pueden utilizar varias métricas. La métrica de Minkowski es más útil para conjuntos de datos numéricos en los que se desea determinar la similitud de tamaño entre múltiples vectores de puntos de datos.

Véase también

• Media generalizada  : raíz N-ésima de la media aritmética de los números dados elevada a la potencia n
• ${\displaystyle L^{p}}$espacio  – Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita
• Norma (matemáticas)  – Longitud en un espacio vectorial
• ${\displaystyle p}$-norm  – Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finitaPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. Şuhubi, Erdoğan S. (2003), "Capítulo V: Espacios métricos", Análisis funcional , Springer Países Bajos, págs. 261–356, doi :10.1007/978-94-017-0141-9_5, ISBN 9789401701419
2. Zezula, Pavel; Amato, Giuseppe; Dohnal, Vlastislav; Batko, Michal (2006), "Capítulo 1, Fundamentos de la búsqueda en el espacio métrico, Sección 3.1, Distancias de Minkowski", Búsqueda de similitud: el enfoque del espacio métrico , Avances en sistemas de bases de datos, Springer, pág. 10, doi : 10.1007/0-387-29151-2, ISBN 9780387291512

Enlaces externos

• Bolas unitarias para diferentes normas p en 2D y 3D en wolfram.com
• Vectores de norma unitaria bajo diferentes normas p en wolfram.com
• Implementación simple de IEEE 754 en C++
• Paquete/módulo NPM JavaScript