Dinámica estelar

Branch of astrophysics

La dinámica estelar es la rama de la astrofísica que describe de forma estadística los movimientos colectivos de las estrellas sujetas a su gravedad mutua . La diferencia esencial con la mecánica celeste es que el número de cuerpos ${\displaystyle N\gg 10.}$

Tirachinas de un cuerpo de prueba en un potencial de dos cuerpos

N-partículas en movimiento cuasiperiódico en el espacio de fases (x, mv) de un potencial esencialmente estático

Las galaxias típicas tienen más de millones de cuerpos gravitacionales macroscópicos y una cantidad incontable de neutrinos y quizás otros cuerpos microscópicos oscuros. Además, cada estrella contribuye más o menos por igual al campo gravitatorio total, mientras que en la mecánica celeste la atracción de un cuerpo masivo domina las órbitas de los satélites. ^[1]

Conexión con la dinámica de fluidos

La dinámica estelar también tiene conexiones con el campo de la física del plasma. ^[2] Los dos campos experimentaron un desarrollo significativo durante un período de tiempo similar a principios del siglo XX, y ambos toman prestado el formalismo matemático desarrollado originalmente en el campo de la mecánica de fluidos .

En los discos de acreción y las superficies estelares, las partículas densas de plasma o gas chocan con mucha frecuencia y las colisiones dan como resultado equipartición y quizás viscosidad bajo el campo magnético. Vemos varios tamaños de discos de acreción y atmósferas estelares, ambos compuestos de una enorme cantidad de masa de partículas microscópicas. ${\displaystyle (L/V,M/N)}$

• ${\displaystyle \sim (10^{-8}{\text{pc}}/500{\text{km/s}},1M_{\odot }/10^{55}=m_{p})}$en superficies estelares,
• ${\displaystyle \sim (10^{-4}{\text{pc}}/10{\text{km/s}},0.1M_{\odot }/10^{54}\sim m_{p})}$alrededor de estrellas similares al Sol o agujeros negros estelares de tamaño km,
• ${\displaystyle \sim (10^{-1}{\text{pc}}/100{\text{km/s}},10M_{\odot }/10^{56}\sim m_{p})}$agujeros negros de alrededor de un millón de masas solares (del tamaño de una UA) en los centros de las galaxias.

La escala de tiempo que atraviesa el sistema es larga en la dinámica estelar, donde es útil notar que

${\displaystyle 1000{\text{pc}}/1{\text{km/s}}=1000{\text{Myr}}={\text{HubbleTime}}/14.}$

La larga escala temporal significa que, a diferencia de las partículas de gas en los discos de acreción, las estrellas en los discos de galaxias rara vez experimentan una colisión durante su vida estelar. Sin embargo, las galaxias colisionan ocasionalmente en los cúmulos de galaxias y las estrellas tienen encuentros cercanos ocasionalmente en los cúmulos de estrellas.

Como regla general, las escalas típicas en cuestión (ver la parte superior del Mapa logarítmico del universo de PCBudassi) son ${\displaystyle (L/V,M/N)}$

• ${\displaystyle \sim (\mathrm {10pc/10km/s} ,1000M_{\odot }/1000)}$para el cúmulo estelar M13,
• ${\displaystyle \sim (\mathrm {100kpc/100km/s} ,10^{11}M_{\odot }/10^{11})}$para disco M31 Galaxy,
• ${\displaystyle \sim (\mathrm {10Mpc/1000km/s} ,10^{14}M_{\odot }/10^{77}=m_{\nu })}$para los neutrinos en los Cúmulos Bala, que es un sistema en fusión de N = 1000 galaxias.

Conexión con el problema de Kepler y el problema de los tres cuerpos

En un nivel superficial, toda la dinámica estelar podría formularse como un problema de N cuerpos mediante la segunda ley de Newton , donde la ecuación de movimiento (EOM) para las interacciones internas de un sistema estelar aislado de N miembros puede escribirse como Aquí, en el sistema de N cuerpos, cualquier miembro individual está influenciado por los potenciales gravitacionales de los miembros restantes. $${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{N}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right\|^{3}}}.}$$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{j}}$

En la práctica, excepto en las simulaciones por ordenador de más alto rendimiento, no es factible calcular rigurosamente el futuro de un gran sistema N de esta manera. Además, este EOM ofrece muy poca intuición. Históricamente, los métodos utilizados en dinámica estelar se originaron en los campos de la mecánica clásica y la mecánica estadística . En esencia, el problema fundamental de la dinámica estelar es el problema de N cuerpos , donde los N miembros se refieren a los miembros de un sistema estelar dado. Dado el gran número de objetos en un sistema estelar, la dinámica estelar puede abordar tanto las propiedades estadísticas globales de muchas órbitas como los datos específicos sobre las posiciones y velocidades de órbitas individuales. ^[1]

Concepto de campo potencial gravitacional

La dinámica estelar implica determinar el potencial gravitatorio de un número sustancial de estrellas. Las estrellas se pueden modelar como masas puntuales cuyas órbitas están determinadas por las interacciones combinadas entre sí. Por lo general, estas masas puntuales representan estrellas en una variedad de cúmulos o galaxias, como un cúmulo de galaxias o un cúmulo globular . Sin obtener el potencial gravitatorio de un sistema sumando todos los potenciales de masas puntuales en el sistema a cada segundo, los dinamizadores estelares desarrollan modelos potenciales que pueden modelar con precisión el sistema y al mismo tiempo seguir siendo computacionalmente económicos. ^[3] El potencial gravitatorio, , de un sistema está relacionado con la aceleración y el campo gravitatorio, por: mientras que el potencial está relacionado con una densidad de masa (suavizada), , a través de la ecuación de Poisson en forma integral o la forma diferencial más común ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}}=\mathbf {\vec {g}} =-\nabla _{\mathbf {r_{i}} }\Phi (\mathbf {r_{i}} ),~~\Phi (\mathbf {r} _{i})=-\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{N}{{\frac {Gm_{k}}{\left\|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k}\right\|}},}$$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int {G\rho (\mathbf {R} )d^{3}\mathbf {R} \over \left\|\mathbf {r} -\mathbf {R} \right\|}}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho .}$$

Un ejemplo de la ecuación de Poisson y la velocidad de escape en una esfera uniforme

Consideremos un potencial esférico analíticamente suave donde toma el significado de la velocidad para "escapar al borde" , y es la velocidad para "escapar del borde al infinito". La gravedad es como la fuerza restauradora del oscilador armónico dentro de la esfera, y kepleriana fuera, como lo describen las funciones de Heaviside. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (r)&\equiv \left(-V_{0}^{2}\right)+\left[{r^{2}-r_{0}^{2} \over 2r_{0}^{2}},~~1-{r_{0} \over r}\right]_{\max }\!\!\!\!V_{0}^{2}\equiv \Phi (r_{0})-{V_{e}^{2}(r) \over 2},~~\Phi (r_{0})=-V_{0}^{2},\\\mathbf {g} &=-\mathbf {\nabla } \Phi (r)=-\Omega ^{2}rH(r_{0}-r)-{GM_{0} \over r^{2}}H(r-r_{0}),~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}},~~M_{0}={V_{0}^{2}r_{0} \over G},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle V_{e}(r)}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}V_{0}}$

Podemos fijar la normalización calculando la densidad correspondiente utilizando la ecuación esférica de Poisson donde la masa encerrada ${\displaystyle V_{0}}$ $${\displaystyle G\rho ={d \over 4\pi r^{2}dr}{r^{2}d\Phi \over dr}={d(GM) \over 4\pi r^{2}dr}={3V_{0}^{2} \over 4\pi r_{0}^{2}}H(r_{0}-r),}$$ $${\displaystyle M(r)={r^{2}d\Phi \over Gdr}=\int _{0}^{r}dr\int _{0}^{\pi }(rd\theta )\int _{0}^{2\pi }(r\sin \theta d\varphi )\rho _{0}H(r_{0}-r)=\left.M_{0}x^{3}\right|_{x={r \over r_{0}}}.}$$

Por lo tanto, el modelo potencial corresponde a una esfera uniforme de radio y masa total con ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ $${\displaystyle {V_{0} \over r_{0}}\equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}={\sqrt {GM_{0} \over r_{0}^{3}}}.}$$

Conceptos clave

Aunque tanto las ecuaciones de movimiento como la ecuación de Poisson también pueden adoptar formas no esféricas, dependiendo del sistema de coordenadas y la simetría del sistema físico, la esencia es la misma: los movimientos de las estrellas en una galaxia o en un cúmulo globular están determinados principalmente por la distribución promedio de las otras estrellas distantes. Los encuentros estelares poco frecuentes involucran procesos como relajación, segregación de masa , fuerzas de marea y fricción dinámica que influyen en las trayectorias de los miembros del sistema. ^[4]

Aproximaciones relativistas

Hay tres aproximaciones relacionadas realizadas en el EOM newtoniano y la ecuación de Poisson anteriores.

SR y GR

En primer lugar, las ecuaciones anteriores no tienen en cuenta las correcciones relativistas, que son del orden de 1/10, ya que la velocidad estelar tridimensional típica, km/s, es muy inferior a la velocidad de la luz. $${\displaystyle (v/c)^{2}\ll 10^{-4}}$$ ${\displaystyle v\sim 3-3000}$

Límite de Eddington

En segundo lugar, la fuerza no gravitacional es típicamente despreciable en los sistemas estelares. Por ejemplo, en las proximidades de una estrella típica, la relación entre la fuerza de radiación y la fuerza de gravedad sobre un átomo o ion de hidrógeno, por lo tanto, la fuerza de radiación es despreciable en general, excepto quizás alrededor de una estrella luminosa de tipo O de masa , o alrededor de un agujero negro que acrecienta gas en el límite de Eddington, de modo que su relación entre luminosidad y masa está definida por . $${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}={{\sigma _{e} \over 4\pi m_{H}c}{L\odot \over r^{2}} \over {GM_{\odot } \over r^{2}}}={1 \over 30,000},}$$ ${\displaystyle 30M_{\odot }}$ ${\displaystyle L_{\bullet }/M_{\bullet }}$ ${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}=1}$

Cono de perdida

En tercer lugar, una estrella puede ser tragada si se acerca a unos pocos radios de Schwarzschild del agujero negro. Este radio de pérdida está dado por $${\displaystyle s\leq s_{\text{Loss}}={\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$$

El cono de pérdida se puede visualizar considerando partículas que caen hacia el agujero negro dentro de un ángulo sólido pequeño (un cono de velocidad). Estas partículas con un pequeño momento angular por unidad de masa tienen un pequeño momento angular (debido a ) no crea una barrera lo suficientemente alta cerca como para obligar a la partícula a girar. ${\displaystyle \theta \ll 1}$ $${\displaystyle J\equiv rv\sin \theta \leq J_{\text{loss}}={\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$$ ${\displaystyle s_{\text{Loss}}}$

El potencial efectivo es siempre infinito positivo en la gravedad newtoniana. Sin embargo, en la RG, cae en picado hasta menos infinito cerca de si $${\displaystyle \Phi _{\text{eff}}(r)\equiv E-{{\dot {r}}^{2} \over 2}={J^{2} \over 2r^{2}}+\Phi (r),}$$ ${\displaystyle {\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle J\leq {\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$

Si se evita un tratamiento de RG riguroso, se puede verificar esto calculando la última órbita circular estable, donde el potencial efectivo está en un punto de inflexión utilizando un potencial clásico aproximado de un agujero negro de Schwarzschild. ${\displaystyle s_{\text{loss}},J_{\text{loss}}}$ ${\displaystyle \Phi ''_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=\Phi '_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=0}$ $${\displaystyle \Phi (r)=-{(4GM_{\bullet }/c)^{2} \over 2r^{2}}\left[1+{3(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over 8r^{2}}\right]-{\frac {GM_{\bullet }}{r}}\left[1-{(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over r^{2}}\right].}$$

Radio de perturbación de las mareas

Una estrella puede ser desgarrada por marea por un agujero negro más pesado cuando se encuentra dentro del llamado radio de Hill del agujero negro, dentro del cual la gravedad superficial de una estrella cede ante la fuerza de marea del agujero negro, ^[5] es decir,

$${\displaystyle (1-1.5)\geq Q^{\text{tide}}\equiv {GM_{\odot }/R_{\odot }^{2} \over [GM_{\bullet }/s_{\text{Hill}}^{2}-GM_{\bullet }/(s_{\text{Hill}}+R_{\odot })^{2}]},~~~s_{\text{Hill}}\rightarrow R_{\odot }\left({(2-3)GM_{\bullet } \over GM_{\odot }}\right)^{1 \over 3},}$$

Para agujeros negros típicos cuyo radio de destrucción es de 0,001 pc, el espaciamiento estelar en los sistemas estelares más densos (por ejemplo, el cúmulo nuclear de estrellas en el centro de la Vía Láctea). Por lo tanto, las estrellas (de la secuencia principal) son generalmente demasiado compactas internamente y están demasiado separadas entre sí como para ser perturbadas incluso por las mareas de agujeros negros más fuertes en el entorno de la galaxia o el cúmulo. ${\displaystyle M_{\bullet }=(10^{0}-10^{8.5})M_{\odot }}$ $${\displaystyle \max[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]=400R_{\odot }\max \left[\left({M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right)^{1/3},{M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right]=(1-4000)R_{\odot }\ll 0.001\mathrm {pc} ,}$$

Radio de la esfera de influencia

Una partícula de masa con una velocidad relativa V se desviará al entrar en la sección transversal (mucho más grande) de un agujero negro. Esta llamada esfera de influencia está definida vagamente por un factor de ajuste similar a Q , por lo tanto, para una estrella similar al Sol tenemos, es decir, las estrellas no serán perturbadas por mareas ni golpeadas/tragadas físicamente en un encuentro típico con el agujero negro gracias a la alta velocidad de escape superficial de cualquier estrella de masa solar, comparable a la velocidad interna entre galaxias en el Cúmulo Bala de galaxias, y mayor que la velocidad interna típica dentro de todos los cúmulos de estrellas y en las galaxias. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi s_{\bullet }^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\ln \Lambda }}}$ $${\displaystyle 1\sim {\sqrt {\ln \Lambda }}\equiv {\frac {V^{2}/2}{G(M_{\bullet }+m)/s_{\bullet }}},}$$ $${\displaystyle s_{\bullet }={G(M_{\bullet }+M_{\odot }){\sqrt {\ln \Lambda }} \over V^{2}/2}\approx {M_{\bullet } \over M_{\odot }}{V_{\odot }^{2} \over V^{2}}R_{\odot }>[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]_{max}=(1-4000)R_{\odot },}$$ $${\displaystyle V_{\odot }={\sqrt {2GM_{\odot }/R_{\odot }}}=615\mathrm {km/s} }$$ $${\displaystyle V\sim {\sqrt {2G(NM_{\odot })/R}}\ll \mathrm {300km/s} }$$

Conexiones entre el cono de pérdida de estrellas y la física de acreción de gas gravitacional

Primero, considere un agujero negro pesado de masa que se mueve a través de un gas disipativo de velocidad y densidad de sonido térmico (reescalado) , entonces cada partícula de gas de masa m probablemente transferirá su momento relativo al agujero negro cuando entre en una sección transversal de radio. En una escala de tiempo en la que el agujero negro pierde la mitad de su velocidad de flujo, su masa puede duplicarse por acreción de Bondi, un proceso de captura de la mayoría de las partículas de gas que entran en su esfera de influencia , disipan energía cinética por colisiones de gases y caen en el agujero negro. La tasa de captura de gas es donde el índice politrópico es la velocidad del sonido en unidades de dispersión de velocidad al cuadrado, y la velocidad del sonido reescalada nos permite igualar la tasa de acreción esférica de Bondi, para el gas adiabático , en comparación con el caso isotérmico . ${\displaystyle M_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\text{ς'}}}$ ${\displaystyle \rho _{\text{gas}}}$ ${\displaystyle mV_{\bullet }}$ $${\displaystyle s_{\bullet }\equiv {(GM_{\bullet }+Gm){\sqrt {\ln \Lambda }} \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},}$$ ${\displaystyle t_{\text{fric}}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ $${\displaystyle {M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}(\pi s_{\bullet }^{2})\rho _{\text{gas}}=4\pi \rho _{\text{gas}}\left[{(GM_{\bullet })^{2} \over ({\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2})^{3 \over 2}}\right]\ln \Lambda ,~~{\text{ς'}}\equiv \sigma {\sqrt {1+\gamma ^{3} \over 2(9/8)^{2/3}}}\approx [{\text{ς}},\gamma \sigma ]_{\text{max}},}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\text{ς'}}}$ ${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }\approx \pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}}$ ${\displaystyle \gamma =5/3}$ ${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }\approx 4\pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}}$ ${\displaystyle \gamma =1}$

Volviendo a la disrupción de mareas estelares y la captura de estrellas por un agujero negro (en movimiento) , podríamos resumir la tasa de crecimiento del agujero negro a partir del gas y las estrellas, con, porque el agujero negro consume una fracción/la mayor parte de las partículas de estrellas/gas que pasan por su esfera de influencia. ${\displaystyle \ln \Lambda =1}$ ${\displaystyle {M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}+{M_{\bullet } \over t_{\text{loss}}^{*}}}$ $${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}mn(\pi s_{\bullet }^{2},\pi s_{\text{Hill}}^{2},\pi s_{\text{Loss}}^{2})_{\text{max}},~~s_{\bullet }\approx {(GM_{\bullet }+Gm) \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},}$$

Fricción dinámica gravitacional

Consideremos el caso de que un agujero negro pesado se mueve respecto de un fondo de estrellas en movimiento aleatorio en un cúmulo de masa total con una densidad numérica media dentro de un tamaño típico . ${\displaystyle M_{\bullet }}$ ${\displaystyle (NM_{\odot })}$ $${\displaystyle n\sim (N-1)/(4\pi R^{3}/3)}$$ ${\displaystyle R}$

La intuición nos dice que la gravedad hace que los cuerpos ligeros se aceleren y ganen impulso y energía cinética (véase el efecto de la honda). Por conservación de la energía y el impulso, podemos concluir que el cuerpo más pesado se frenará en cierta medida para compensar. Puesto que hay una pérdida de impulso y energía cinética en el cuerpo en cuestión, el efecto se denomina fricción dinámica.

Después de un cierto tiempo de relajación, la energía cinética del agujero negro pesado debería estar repartida de manera igualitaria con los objetos de fondo menos masivos. La desaceleración del agujero negro puede describirse como un tiempo de fricción dinámica. $${\displaystyle -{M_{\bullet }{\dot {V}}_{\bullet }}={M_{\bullet }V_{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}},}$$ ${\displaystyle t_{\text{fric}}^{\text{star}}}$

Tiempo de fricción dinámica vs tiempo de cruce en un sistema virializado

Consideremos un BH de Mach-1, que viaja inicialmente a la velocidad del sonido , por lo tanto, su radio de Bondi satisface donde la velocidad del sonido es con el prefactor fijado por el hecho de que para un cúmulo esférico uniforme de la densidad de masa , la mitad de un período circular es el tiempo que tarda el "sonido" en hacer un cruce en un solo sentido en su dimensión más larga, es decir, es habitual llamar al tiempo de cruce de "medio diámetro" la escala de tiempo dinámica. ${\displaystyle {\text{ς}}=V_{0}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ $${\displaystyle {GM_{\bullet }{\sqrt {\ln \Lambda }} \over s_{\bullet }}=V_{0}^{2}={\text{ς}}^{2}={0.4053GM_{\odot }(N-1) \over R},}$$ ${\displaystyle {\text{ς}}={\sqrt {4GM_{\odot }(N-1) \over \pi ^{2}R}}}$ ${\displaystyle {4 \over \pi ^{2}}\approx {4 \over 10}=0.4}$ ${\displaystyle \rho =nM_{\odot }\approx {M_{\odot }(N-1) \over 4.19R^{3}}}$ $${\displaystyle 2t_{\text{ς}}\equiv 2t_{\text{cross}}\equiv {2R \over {\text{ς}}}=\pi {\sqrt {R^{3} \over GM_{\odot }(N-1)}}\approx (0.4244G\rho )^{-1/2}.}$$ ${\displaystyle t_{\text{cross}}}$

Supongamos que el BH se detiene después de viajar una longitud de con su impulso depositado en las estrellas en su camino sobre los cruces, entonces la cantidad de estrellas desviadas por la sección transversal de Bondi del BH por tiempo de cruce de "diámetro" es ${\displaystyle l_{\text{fric}}\equiv {\text{ς}}t_{\text{fric}}}$ ${\displaystyle M_{\bullet }V_{0}=M_{\bullet }{\text{ς}}}$ ${\displaystyle {M_{\bullet } \over M_{\odot }}}$ ${\displaystyle l_{\text{fric}}/(2R)}$ $${\displaystyle N^{\text{defl}}={({M_{\bullet } \over M_{\odot }})}{2R \over l_{\text{fric}}}=N{\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}}=N\left({M_{\bullet } \over 0.4053M_{\odot }N}\right)^{2}\ln \Lambda .}$$

En términos más generales, la ecuación de movimiento del BH a una velocidad general en el potencial de un mar de estrellas se puede escribir como y el factor de modificación del logaritmo de Coulomb descuenta la fricción en un BH en movimiento supersónico con masa . Como regla general, se necesita aproximadamente un tiempo de cruce de sonido para "hundir" BH subsónicos, desde el borde hasta el centro sin sobrepasar el límite, si pesan más de 1/8 de la masa total del cúmulo. Los agujeros más livianos y rápidos pueden permanecer a flote durante mucho más tiempo. ${\displaystyle \mathbf {V} _{\bullet }}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle -{d \over dt}(M_{\bullet }V_{\bullet })-M_{\bullet }\nabla \Phi \equiv {(M_{\bullet }V_{\bullet }) \over t_{\text{fric}}}=\overbrace {N\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}} ^{N^{\text{defl}}}{(M_{\odot }V_{\bullet }) \over 2t_{\text{ς}}}={8\ln \Lambda ' \over Nt_{\text{ς}}}M_{\bullet }V_{\bullet },}$$ ${\displaystyle {\pi ^{2} \over 8}\approx 1}$ ${\displaystyle {\ln \Lambda ' \over \ln \Lambda }\equiv \left[{\pi ^{2} \over 8}\right]^{2}\left[(1+{V_{\bullet }^{2} \over {\text{ς'}}^{2}})\right]^{-2}(1+{M_{\odot } \over M_{\bullet }})\leq \left[{{\text{ς'}} \over V_{\bullet }}\right]^{4}\leq 1}$ ${\displaystyle M_{\bullet }\geq M_{\odot }}$ ${\displaystyle t_{\text{ς'}}}$

Formulación más rigurosa de la fricción dinámica.

La fórmula completa de fricción dinámica de Chandrasekhar para el cambio en la velocidad del objeto implica la integración sobre la densidad del espacio de fase del campo de materia y está lejos de ser transparente.

Se lee como donde es el número de partículas en un volumen cilíndrico infinitesimal de longitud y sección transversal dentro de la esfera de influencia del agujero negro. $${\displaystyle {M_{\bullet }d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over dt}=-{M_{\bullet }\mathbf {V} _{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}}=-{m\mathbf {V} _{\bullet }~n(\mathbf {x} )d\mathbf {x} ^{3} \over dt}\ln \Lambda _{\text{lag}},}$$ $${\displaystyle ~~n(\mathbf {x} )dx^{3}=dtV_{\bullet }(\pi s_{\bullet }^{2})n(\mathbf {x} )=dtn(\mathbf {x} )|V_{\bullet }|\pi \left[{G(m+M_{\bullet }) \over |V_{\bullet }|^{2}/2}\right]^{2}}$$ ${\displaystyle |V_{\bullet }dt|}$ ${\displaystyle \pi s_{\bullet }^{2}}$

Al igual que el "logaritmo de Couloumb" tiene en cuenta la contribución de las partículas distantes de fondo, aquí el factor también tiene en cuenta la probabilidad de encontrar una partícula de fondo más lenta que el BH que contribuya a la fricción. Cuantas más partículas son superadas por el BH, más partículas arrastran al BH y mayor es . Además, cuanto mayor es el sistema, mayor es . ${\displaystyle \ln \Lambda }$ ${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{lag}})}$ ${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{beaten}})}$ ${\displaystyle \ln \Lambda }$

Un fondo de partículas elementales (gas u oscuras) también puede inducir fricción dinámica, que aumenta con la densidad de masa del medio circundante ; la menor masa de partícula m se compensa con la mayor densidad numérica n. Cuanto más masivo sea el objeto, más materia será arrastrada hacia la estela. ${\displaystyle m~n}$

Resumiendo la resistencia gravitacional tanto del gas colisionante como de las estrellas sin colisión, tenemos Aquí la fracción de "rezago" para el gas ^[6] y para las estrellas se dan por donde hemos asumido además que el BH comienza a moverse a partir del tiempo ; el gas es isotérmico con la velocidad del sonido ; las estrellas de fondo tienen una densidad (de masa) en una distribución de Maxwell de momento con una distribución gaussiana de dispersión de velocidad (llamada dispersión de velocidad, típicamente ). $${\displaystyle M_{\bullet }{d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over M_{\bullet }dt}=-4\pi \left[{GM_{\bullet } \over |V_{\bullet }|}\right]^{2}\mathbf {\hat {V}} _{\bullet }(\rho _{\text{gas}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}+mn_{\text{*}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*}).~~}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}(u)&=\ln ~{\left[{1+u \over \lambda }\right]^{1 \over 2}\left[{|1-u| \over \lambda }\right]^{H[u-\lambda -1]-H[1-\lambda -u] \over 2} \over \exp {[u+\lambda ,1]_{\min }^{2}-[u-\lambda ,1]_{\min }^{2} \over 4\lambda }},\\&\approx \ln \left[{{\sqrt {(u^{3}-1)^{2}+\lambda ^{3}}}+u^{3}-1 \over {\sqrt {1+\lambda ^{3}}}-1}\right]^{1 \over 3},~~u\equiv {|V_{\bullet }|t \over {\text{ς'}}t},~~\lambda \equiv ({s_{\bullet } \over {\text{ς'}}t})\\{\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*} \over \ln \Lambda }&\equiv \int _{0}^{|mV_{\bullet }|}\!\!\!\!{(4\pi p^{2}dp)e^{-{p^{2} \over 2(m\sigma )^{2}}} \over ({\sqrt {2\pi }}m\sigma )^{3}}\left.\right|_{p=m|v|}\approx {|\mathbf {V} _{\bullet }|^{3} \over |\mathbf {V} _{\bullet }|^{3}+3.45\sigma ^{3}},\\\ln \Lambda &=\int {d\mathbf {x_{1}} ^{3}~2Heaviside[{n(\mathbf {x_{1}} ) \over n(\mathbf {x} )}-1-{M_{\bullet } \over NM_{\odot }}] \over (s_{\bullet }^{2}+|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x} |^{2})^{3 \over 2}}\approx \ln {\sqrt {1+\left({0.123NM_{\odot } \over M_{\bullet }}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle {\text{ς}}}$ ${\displaystyle mn(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle p=mv}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \leq {\text{ς}}}$

Curiosamente, la dependencia sugiere que la fricción dinámica proviene de la atracción gravitatoria de la estela, que es inducida por el enfoque gravitacional del cuerpo masivo en sus encuentros de dos cuerpos con objetos de fondo. ${\displaystyle G^{2}(m+M_{\bullet })(mn(\mathbf {x} ))}$

Vemos que la fuerza también es proporcional al cuadrado inverso de la velocidad en el extremo superior, por lo tanto, la tasa fraccionaria de pérdida de energía cae rápidamente a altas velocidades. La fricción dinámica, por lo tanto, no es importante para los objetos que se mueven de manera relativista, como los fotones. Esto se puede racionalizar al comprender que cuanto más rápido se mueve el objeto a través del medio, menos tiempo hay para que se forme una estela detrás de él. La fricción tiende a ser más alta en la barrera del sonido, donde . ${\displaystyle \ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}\left.\right|_{u=1}=\ln {{\text{ς'}}t \over s_{\bullet }}}$

Encuentros gravitacionales y relajación.

Las estrellas en un sistema estelar influirán en las trayectorias de cada una debido a encuentros gravitacionales fuertes y débiles. Un encuentro entre dos estrellas se define como fuerte/débil si su energía potencial mutua en el paso más cercano es comparable/minúscula a su energía cinética inicial. Los encuentros fuertes son raros y, por lo general, solo se consideran importantes en sistemas estelares densos; por ejemplo, una estrella que pasa puede ser lanzada por estrellas binarias en el núcleo de un cúmulo globular. ^[7] Esto significa que dos estrellas deben estar dentro de una separación, donde usamos el Teorema del Virial, "la energía potencial mutua equilibra el doble de la energía cinética en promedio", es decir, "la energía potencial por pares por estrella se equilibra con el doble de la energía cinética asociada con la velocidad del sonido en tres direcciones", donde el factor es el número de apretones de manos entre un par de estrellas sin contar dos veces, la separación media del par es solo alrededor del 40\% del radio de la esfera uniforme. Nótese también la similitud de la $${\displaystyle s_{*}={GM_{\odot }+GM_{\odot } \over V^{2}/2}={2 \over 1.5}{GM_{\odot } \over {\text{ς}}^{2}}={3.29R \over N-1},}$$ $${\displaystyle 1\sim Q^{\text{virial}}\equiv {\overbrace {2K} ^{(NM_{\odot })V^{2}} \over |W|}={NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2} \over {N(N-1) \over 2}{GM_{\odot }^{2} \over R_{pair}}},}$$ ${\displaystyle N(N-1)/2}$ ${\displaystyle R_{\text{pair}}={\pi ^{2} \over 24}R\approx 0.411234R}$ ${\displaystyle Q^{\text{virial}}\leftarrow \rightarrow {\sqrt {\ln \Lambda }}.}$

Trayectoria libre media

El camino libre medio de los encuentros fuertes en un sistema estelar típico es entonces , es decir, se necesitan unos cruces de radio para que una estrella típica entre en una sección transversal para desviarse completamente de su camino. Por lo tanto, el tiempo libre medio de un encuentro fuerte es mucho más largo que el tiempo de cruce . ${\displaystyle (N-1)=4.19nR^{3}\gg 100}$ $${\displaystyle l_{\text{strong}}={1 \over (\pi s_{*}^{2})n}\approx {(N-1) \over 8.117}R\gg R,}$$ ${\displaystyle 0.123N}$ ${\displaystyle \pi s_{*}^{2}}$ ${\displaystyle R/V}$

Encuentros débiles

Los encuentros débiles tienen un efecto más profundo en la evolución de un sistema estelar a lo largo de muchos pasajes. Los efectos de los encuentros gravitacionales se pueden estudiar con el concepto de tiempo de relajación . Un ejemplo sencillo que ilustra la relajación es la relajación de dos cuerpos, en la que la órbita de una estrella se altera debido a la interacción gravitacional con otra estrella.

Inicialmente, la estrella objeto se desplaza a lo largo de una órbita con velocidad inicial, , que es perpendicular al parámetro de impacto , la distancia de aproximación más cercana, a la estrella de campo cuyo campo gravitatorio afectará la órbita original. Utilizando las leyes de Newton, el cambio en la velocidad de la estrella objeto, , es aproximadamente igual a la aceleración en el parámetro de impacto, multiplicada por la duración de la aceleración. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$

El tiempo de relajación puede considerarse como el tiempo que tarda en igualar , o el tiempo que tardan las pequeñas desviaciones en la velocidad en igualar la velocidad inicial de la estrella. La cantidad de cruces de "medio diámetro" que debe realizar una estrella promedio para relajarse en un sistema estelar de objetos es aproximadamente a partir de un cálculo más riguroso que las estimaciones de tiempo libre medio anteriores para una fuerte desviación. ${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\backsimeq {\frac {0.123(N-1)}{\ln(N-1)}}\gg 1}$$

La respuesta tiene sentido porque no hay relajación para un solo cuerpo o un sistema de 2 cuerpos. Una mejor aproximación de la relación de escalas de tiempo es , por lo tanto, el tiempo de relajación para 3 cuerpos, 4 cuerpos, 5 cuerpos, 7 cuerpos, 10 cuerpos, ..., 42 cuerpos, 72 cuerpos, 140 cuerpos, 210 cuerpos, 550 cuerpos son aproximadamente 16, 8, 6, 4, 3, ..., 3, 4, 6, 8, 16 cruces. No hay relajación para un binario aislado, y la relajación es la más rápida para un sistema de 16 cuerpos; se necesitan aproximadamente 2,5 cruces para que las órbitas se dispersen entre sí. Un sistema con un potencial mucho más suave, normalmente necesita encuentros débiles para generar una fuerte desviación para cambiar la energía orbital de manera significativa. ${\displaystyle \left.{\frac {N'}{\ln {\sqrt {1+N'^{2}}}}}\right|_{N'=0.123(N-2)}}$ ${\displaystyle N\sim 10^{2}-10^{10}}$ ${\displaystyle \sim \ln N'\approx (2-20)}$

Relación entre fricción y relajación

Está claro que la fricción dinámica de un agujero negro es mucho más rápida que el tiempo de relajación en aproximadamente un factor , pero estos dos son muy similares para un cúmulo de agujeros negros, ${\displaystyle M_{\odot }/M_{\bullet }}$ $${\displaystyle N^{\text{fric}}={t_{\text{fric}} \over t_{\text{ς}}}\rightarrow {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\sim {(N-1) \over 10-100},~{\text{when}}~{M_{\bullet }\rightarrow m\leftarrow M_{\odot }}.}$$

En el caso de un cúmulo estelar o de una galaxia con, por ejemplo, , tenemos . Por lo tanto, los encuentros de miembros en estos cúmulos estelares o de galaxias son significativos durante la vida típica de 10 mil millones de años. ${\displaystyle N=10^{3},~R=\mathrm {1pc-10^{5}pc} ,~V=\mathrm {1km/s-10^{3}km/s} }$ ${\displaystyle t_{\text{relax}}\sim 100t_{\text{ς}}\approx 100\mathrm {Myr} -10\mathrm {Gyr} }$

Por otra parte, una galaxia típica con, por ejemplo, estrellas, tendría un tiempo de cruce y su tiempo de relajación sería mucho mayor que la edad del Universo. Esto justifica el modelado de potenciales galácticos con funciones matemáticamente suaves, descuidando los encuentros de dos cuerpos a lo largo de la vida de las galaxias típicas. Y dentro de una galaxia típica de este tipo, la fricción dinámica y la acreción en los agujeros negros estelares durante un tiempo de Hubble de 10 mil millones de años cambian la velocidad y la masa del agujero negro en solo una fracción insignificante. ${\displaystyle N=10^{6}-10^{11}}$ ${\displaystyle t_{\text{ς}}\sim {1\mathrm {kpc} -100\mathrm {kpc} \over 1\mathrm {km/s} -100\mathrm {km/s} }\sim 100\mathrm {Myr} }$ $${\displaystyle \Delta \sim {M_{\bullet } \over 0.1NM_{\odot }}{t \over t_{\text{ς}}}\leq {M_{\bullet } \over 0.1\%NM_{\odot }}}$$

Si el agujero negro constituye menos del 0,1% de la masa total de la galaxia , especialmente cuando vemos que una estrella típica nunca experimenta un encuentro, por lo que permanece en su órbita en un potencial galáctico suave. ${\displaystyle NM_{\odot }\sim 10^{6-11}M_{\odot }}$ ${\displaystyle M_{\bullet }\sim M_{\odot }}$

La fricción dinámica o el tiempo de relajación identifica los sistemas de partículas sin colisión frente a los que sí lo hacen. La dinámica en escalas de tiempo mucho menores que el tiempo de relajación es efectivamente sin colisión porque la estrella típica se desviará de su tamaño de órbita inicial en una fracción minúscula . También se identifican como sistemas en los que las estrellas objeto interactúan con un potencial gravitacional suave en lugar de la suma de potenciales de masa puntual. Los efectos acumulados de la relajación de dos cuerpos en una galaxia pueden conducir a lo que se conoce como segregación de masa , donde las estrellas más masivas se reúnen cerca del centro de los cúmulos, mientras que las menos masivas son empujadas hacia las partes externas del cúmulo. ${\displaystyle t/t_{\text{relax}}\ll 1}$

Resumen de la ecuación de continuidad en procesos colisionantes y sin colisiones en el modelo de vaca esférica

Después de haber repasado los detalles de las interacciones bastante complejas de las partículas en un sistema gravitacional, siempre es útil hacer un zoom hacia afuera y extraer algún tema genérico, a un precio de rigor asequible, para continuar con una carga más liviana.

El primer concepto importante es el "movimiento de equilibrio de gravedad" cerca del perturbador y para el fondo como un todo omitiendo consistentemente todos los factores de unidad , etc. para mayor claridad, aproximando la masa combinada y siendo ambiguo si la geometría del sistema es un disco estelar/de gas delgado/grueso o una esfera estelar/oscura (no) uniforme con o sin límite, y sobre las distinciones sutiles entre las energías cinéticas de la velocidad de rotación circular local , la velocidad de caída radial , el movimiento aleatorio globalmente isotrópico o anisotrópico en una o tres direcciones, o la velocidad del sonido isotrópica (no) uniforme para enfatizar la lógica detrás del orden de magnitud de la escala de tiempo de fricción. $${\displaystyle {\text{Perturber Virial}}\approx {GM_{\bullet } \over s_{\bullet }}\approx V_{\text{cir}}^{2}\approx \langle V\rangle ^{2}\approx {\overline {\langle V^{2}\rangle }}\approx \sigma ^{2}\approx \left({R \over t_{\text{ς}}}\right)^{2}\approx c_{\text{ς}}^{2}\approx {G(Nm) \over R}\approx {\text{Background Virial}},}$$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \ln {\text{Λ}}}$ ${\displaystyle M_{\bullet }+m\approx M_{\bullet }}$ ${\displaystyle V_{\text{cir}}}$ ${\displaystyle \langle V\rangle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{\text{ς}}}$

En segundo lugar, podemos resumir de manera muy vaga los diversos procesos hasta ahora de gas/estrella o materia oscura colisionante y sin colisión mediante la ecuación de continuidad de estilo de vaca esférica en cualquier cantidad genérica Q del sistema: donde el signo es generalmente negativo excepto para la masa (de acreción) M, y el camino libre medio o el tiempo de fricción pueden deberse a la viscosidad molecular directa de una sección transversal de colisión física , o debido a la dispersión gravitacional (flexión/enfoque/ disparo de honda ) de partículas; generalmente, el área influenciada es el mayor de los procesos en competencia de acreción de Bondi , disrupción de marea y captura del cono de pérdida. $${\displaystyle {dQ \over dt}\approx {\pm Q \over ({l \over c_{\text{ς}}})},~{\text{Q being mass M, energy E, momentum (M V), Phase density f, size R, density}}{Nm \over {4\pi \over 3}R^{3}}...,}$$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle l=c_{\text{ς}}t_{\text{fric}}}$ ${\displaystyle t_{\text{fric}}}$ $${\displaystyle s^{2}\approx \max \left[{\text{Bondi radius}}~s_{\bullet },{\text{Tidal radius}}~s_{\text{Hill}},{\text{physical size}}~s_{\text{Loss cone}}\right]^{2}.}$$

Por ejemplo, si Q es la masa del perturbador , entonces podemos estimar el tiempo de fricción dinámica a través de la tasa de acreción (gas/estrella) donde hemos aplicado las relaciones equilibrio de movimiento-gravedad. ${\displaystyle Q=M_{\bullet }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {M}}_{\bullet }=&{M_{\bullet } \over t_{\text{fric}}}\approx \int _{0}^{s^{2}}d({\text{area}})~({\text{background mean flux}})\approx s^{2}(\rho c_{\text{ς}})\\\approx &{\frac {{\text{Perturber influenced cross section}}~(s^{2})}{{\text{background system cross section}}~(R^{2})}}\times {\frac {{\text{background mass}}~(Nm)}{{\text{crossing time}}~t_{\text{ς}}\approx {R \over c_{\text{ς}}}\approx {1 \over {\sqrt {G(Nm) \over R^{3}}}\sim {\sqrt {G\rho }}\sim \kappa }}}\\\approx &{GM_{\bullet } \over Gt_{\text{ς}}}{GM_{\bullet } \over G(Nm)}\approx (\rho c_{\text{ς}})\left({GM_{\bullet } \over c_{\text{ς}}^{2}}\right)^{2},~~{\text{if consider only gravitationally focusing,}}\\\approx &{M_{\bullet } \over Nt_{\text{ς}}},~~{\text{if for a light perturber}}M_{\bullet }\rightarrow m=M_{\odot }\\\rightarrow &0,~~{\text{if practically collisionless}}~~N\rightarrow \infty ,\end{aligned}}}$$

En el límite, el perturbador es solo 1 de las N partículas de fondo, , este tiempo de fricción se identifica con el tiempo de relajación (gravitacional) . Nuevamente, se suprimen todos los logaritmos de Coulomb, etc., sin cambiar las estimaciones de estas ecuaciones cualitativas. ${\displaystyle M_{\bullet }\rightarrow m}$

Para el resto de la dinámica estelar, trabajaremos consistentemente en cálculos precisos principalmente a través de ejemplos resueltos , descuidando la fricción gravitacional y la relajación del perturbador, trabajando en el límite como se aproxima a lo verdadero en la mayoría de las galaxias en la escala de tiempo de Hubble de 14Gyrs, aunque esto a veces se viola para algunos cúmulos de estrellas o cúmulos de galaxias del cúmulo. ^[7] ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Aquí se muestra un resumen conciso de una página de algunas ecuaciones principales en dinámica estelar y física de discos de acreción , donde se intenta ser más riguroso en las ecuaciones cualitativas anteriores.

Dinámica estelar Conceptos y ecuaciones clave

Conexiones con la mecánica estadística y la física del plasma

La naturaleza estadística de la dinámica estelar se origina de la aplicación de la teoría cinética de los gases a los sistemas estelares por parte de físicos como James Jeans a principios del siglo XX. Las ecuaciones de Jeans , que describen la evolución temporal de un sistema de estrellas en un campo gravitatorio, son análogas a las ecuaciones de Euler para un fluido ideal, y se derivaron de la ecuación de Boltzmann sin colisiones . Esta fue desarrollada originalmente por Ludwig Boltzmann para describir el comportamiento de no equilibrio de un sistema termodinámico. De manera similar a la mecánica estadística, la dinámica estelar hace uso de funciones de distribución que encapsulan la información de un sistema estelar de manera probabilística. La función de distribución de espacio de fase de partícula única, , se define de tal manera que donde representa la probabilidad de encontrar una estrella dada con posición alrededor de un volumen diferencial y velocidad alrededor de un volumen de espacio de velocidad diferencial . La función de distribución se normaliza (a veces) de modo que al integrarla sobre todas las posiciones y velocidades será igual a N, el número total de cuerpos del sistema. Para los sistemas colisionales, el teorema de Liouville se aplica para estudiar el microestado de un sistema estelar, y también se utiliza comúnmente para estudiar los diferentes conjuntos estadísticos de la mecánica estadística. ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} =dN}$$ ${\displaystyle dN/N}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle d\mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\text{v}}}$ ${\displaystyle d\mathbf {v} }$

Convención y notación en caso de una distribución térmica

En la mayor parte de la literatura sobre dinámica estelar, es conveniente adoptar la convención de que la masa de la partícula es la unidad en unidad de masa solar , por lo tanto, el momento y la velocidad de una partícula son idénticos, es decir, ${\displaystyle M_{\odot }}$ $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {v} ,~m=1,~N_{\text{total}}=M_{\text{total}},}$$

$${\displaystyle {dM \over dx^{3}dv^{3}}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)=f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\equiv {dN \over dx^{3}dp^{3}}}$$

Por ejemplo, la distribución de la velocidad térmica de las moléculas de aire (normalmente 15 veces la masa del protón por molécula) en una habitación de temperatura constante tendría una distribución de Maxwell. ${\displaystyle T_{0}\sim \mathrm {300K} }$ $${\displaystyle f^{\text{Max}}(x,y,z,mV_{x},mV_{y},mV_{z})={1 \over (2\pi \hbar )^{3}}{1 \over \exp \left({E(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})-\mu \over kT_{0}}\right)+1}}$$ $${\displaystyle f^{\text{Max}}\sim {1 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}e^{\mu \over kT_{0}}e^{-E \over m\sigma _{1}^{2}},}$$

donde la energía por unidad de masa donde $${\displaystyle E/m=\Phi (x,y,z)+(V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2})/2,}$$ ${\displaystyle \Phi (x,y,z)\equiv g_{0}z=0}$

y es el ancho de la distribución de velocidad de Maxwell, idéntica en cada dirección y en todas partes de la habitación, y la constante de normalización (suponga que el potencial químico es tal que la distribución de Fermi-Dirac se reduce a una distribución de velocidad de Maxwell) está fijada por la densidad numérica de gas constante en el nivel del piso, donde ${\textstyle \sigma _{1}={\sqrt {kT_{0}/m}}\sim \mathrm {0.3km/s} }$ ${\displaystyle e^{\mu \over kT_{0}}}$ ${\textstyle \mu \sim (m\sigma _{1}^{2})\ln \left[n_{0}\left({{\sqrt {2\pi }}\hbar \over m\sigma _{1}}\right)^{3}\right]\ll 0}$ ${\displaystyle n_{0}=n(x,y,0)}$ $${\displaystyle n(x,y,0)=\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{x}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{y}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{z}f(x,y,0,mV_{x},mV_{y},mV_{z})}$$ $${\displaystyle n\approx {(2\pi )^{3/2}(m\sigma _{1})^{3} \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{\mu \over m\sigma _{1}^{2}}.}$$

El CBE

En física del plasma, la ecuación de Boltzmann sin colisiones se denomina ecuación de Vlasov , y se utiliza para estudiar la evolución temporal de la función de distribución de un plasma.

La ecuación de Boltzmann suele escribirse de forma más general con el operador de Liouville como donde es la fuerza gravitacional y es la distribución de Maxwell (equipartición) (para ajustar la misma densidad, la misma velocidad media y rms que ). La ecuación significa que la no gaussianidad decaerá en una escala de tiempo (de relajación) de , y el sistema finalmente se relajará a una distribución de Maxwell (equipartición). ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={f_{\text{fit}}^{\text{Max}}-f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} ) \over t_{\text{relax}}},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {\dot {p}} =-m\nabla \Phi }$ ${\displaystyle f_{\text{fit}}^{\text{Max}}}$ ${\displaystyle f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle t_{\text{relax}}}$

Mientras que Jeans aplicó la ecuación de Boltzmann sin colisiones, junto con la ecuación de Poisson, a un sistema de estrellas que interactuaban a través de la fuerza de gravedad de largo alcance, Anatoly Vlasov aplicó la ecuación de Boltzmann con las ecuaciones de Maxwell a un sistema de partículas que interactuaban a través de la fuerza de Coulomb . ^[8] Ambos enfoques se separan de la teoría cinética de los gases al introducir fuerzas de largo alcance para estudiar la evolución a largo plazo de un sistema de muchas partículas. Además de la ecuación de Vlasov, el concepto de amortiguamiento de Landau en plasmas fue aplicado a sistemas gravitacionales por Donald Lynden-Bell para describir los efectos del amortiguamiento en sistemas estelares esféricos. ^[9]

Una propiedad interesante de f(t,x,v) es que muchas otras cantidades dinámicas pueden formarse a partir de sus momentos , por ejemplo, la masa total, la densidad local, la presión y la velocidad media. Aplicando la ecuación de Boltzmann sin colisiones , estos momentos se relacionan mediante varias formas de ecuaciones de continuidad, de las cuales las más notables son las ecuaciones de Jeans y el teorema del virial .

Momentos ponderados por probabilidad y equilibrio hidrostático

Jeans calculó la velocidad ponderada de la ecuación de Boltzmann después de integrar sobre el espacio de velocidad y obtuvo las ecuaciones de momento (Jeans) de una población (por ejemplo, gas, estrellas, materia oscura): $${\displaystyle {1 \over \rho _{p}}\int \!\left\{\mathbf {v} _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}-\langle {\mathbf {v} }\rangle _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}\right\}d^{3}\mathbf {v} =0,}$$ ${\displaystyle ^{p}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\left({\partial \over \partial t}+\sum _{j=1}^{3}\langle {v_{j}^{p}}\rangle {\partial \over \partial x_{j}}\right)\langle {v_{i}^{p}}\rangle } ^{{\dot {\langle {v}\rangle }}_{i}^{p}}&\underbrace {=} _{EoM}\overbrace {-\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}} ^{g_{i}\sim O(-GM/R^{2})}~~\underbrace {-} _{\text{balance}}^{\text{pressure}}~~\sum _{j=1}^{3}{\partial \over \rho ^{p}\partial x_{j}}\overbrace {[\underbrace {\rho ^{p}(t,\mathbf {x} )} _{\int _{\infty }\!\!\!\!m_{p}f_{p}d^{3}\mathbf {v} }\underbrace {\sigma _{ji}^{p}(t,\mathbf {x} )} _{O(c_{s}^{2})}]} ^{\int \limits _{\infty }\!\!d\mathbf {v} ^{3}(\mathbf {v} _{j}-\langle {v}\rangle _{j}^{p})(\mathbf {v} _{i}-\langle {v}\rangle _{i}^{p})m_{p}f_{p}}-{\underbrace {\langle {v_{i}^{p}}\rangle \overbrace {[{\dot {m}}_{p}/m_{p}]} ^{1/t|_{{\text{visc}}~m_{p}=M_{\text{gas}}}^{\text{fric}}}} _{\text{snow.plough}}},\\0&=-{\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}}-{\partial (n\sigma ^{2}) \over n\partial x_{i}},~~{\text{hydrostatic isotropic velocity, no flow and friction }}.\end{aligned}}}$$

La versión general de la ecuación de Jeans, que implica momentos de velocidad (3 x 3), es engorrosa. Solo resulta útil o solucionable si podemos prescindir de algunos de estos momentos, especialmente si podemos prescindir de los términos cruzados fuera de la diagonal para sistemas de alta simetría, y también si podemos prescindir de la rotación neta o de la velocidad de entrada neta en todas partes.

La versión isotrópica también se denomina ecuación de equilibrio hidrostático , en la que se equilibra el gradiente de presión con la gravedad; la versión isotrópica funciona también para discos axisimétricos, tras sustituir la derivada dr por la coordenada vertical dz. Esto significa que podríamos medir la gravedad (de la materia oscura) observando los gradientes de dispersión de velocidad y la densidad numérica de estrellas.

Aplicaciones y ejemplos

La dinámica estelar se utiliza principalmente para estudiar las distribuciones de masa dentro de los sistemas estelares y las galaxias. Los primeros ejemplos de aplicación de la dinámica estelar a los cúmulos incluyen el artículo de 1921 de Albert Einstein que aplica el teorema virial a los cúmulos estelares esféricos y el artículo de 1933 de Fritz Zwicky que aplica el teorema virial específicamente al cúmulo de Coma , que fue uno de los precursores originales de la idea de la materia oscura en el universo. ^{[10] [11]} Las ecuaciones de Jeans se han utilizado para comprender diferentes datos observacionales de los movimientos estelares en la galaxia de la Vía Láctea. Por ejemplo, Jan Oort utilizó las ecuaciones de Jeans para determinar la densidad de materia promedio en las proximidades del vecindario solar, mientras que el concepto de deriva asimétrica surgió del estudio de las ecuaciones de Jeans en coordenadas cilíndricas. ^[12]

La dinámica estelar también permite comprender mejor la estructura de la formación y evolución de las galaxias. Se utilizan modelos dinámicos y observaciones para estudiar la estructura triaxial de las galaxias elípticas y sugieren que las galaxias espirales prominentes se crean a partir de fusiones de galaxias. ^[1] Los modelos dinámicos estelares también se utilizan para estudiar la evolución de los núcleos galácticos activos y sus agujeros negros, así como para estimar la distribución de la masa de la materia oscura en las galaxias.

Nótese el extremo algo puntiagudo del potencial igual en el plano meridional (R,z) de este modelo R0=5z0=1

Un potencial de disco grueso unificado

Consideremos un potencial achatado en coordenadas cilíndricas donde las escalas de longitud son verticales y radiales (positivas). A pesar de su complejidad, podemos ver fácilmente algunas propiedades limitantes del modelo. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (R,z)&={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!Q-\sinh ^{-1}\!\!Q_{+}-\sinh ^{-1}\!\!Q_{-}\right]\\&={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {({\sqrt {1+Q^{2}}}+Q)^{2} \over \left[{\sqrt {1+Q_{+}^{2}}}+Q_{+}\right]\left[{\sqrt {1+Q_{-}^{2}}}+Q_{-}\right]},\\Q_{\pm }&\equiv {R_{0}+\left|~|z|\pm z_{0}~\right| \over R},\\Q&\equiv {R_{0}+[0,|z|-z_{0}]_{\max } \over R},\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z_{0},R_{0}}$

Primero podemos ver que la masa total del sistema se debe a que cuando tomamos el límite de radios grandes , de modo que ${\displaystyle M_{0}}$ $${\displaystyle \Phi (R,z)\rightarrow {GM_{0} \over 2z_{0}}(2Q_{-}-Q_{-}-Q_{+})=-{GM_{0} \over R},}$$ ${\displaystyle R\rightarrow \infty ,~|z|\geq z_{0},}$ ${\displaystyle Q=Q_{-}=Q_{+}-{2z_{0} \over R}={|z|+(R_{0}-z_{0}) \over R}\rightarrow 0.}$

También podemos demostrar que algunos casos especiales de este potencial unificado se convierten en el potencial del disco ultrafino de Kuzmin, el de la masa puntual y el de una distribución de masa de aguja uniforme: ${\displaystyle M_{0}}$ $${\displaystyle \Phi _{KM}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(|z|+R_{0})^{2}}}},~~z_{0}=0,}$$ $${\displaystyle \Phi _{PT}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+z^{2}}}},~~z_{0}=R_{0}=0,}$$ $${\displaystyle \Phi _{UN}^{R_{0}=0}(R,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!{(0,|z|-z_{0})_{\max } \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{z_{0}+|z| \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{\left|~z_{0}-|z|~\right| \over R}\right].}$$

Un ejemplo práctico de campo vectorial de gravedad en un disco grueso

Primero consideremos la gravedad vertical en el límite, $${\displaystyle g_{z}(R,z)=-\partial _{z}\Phi (R,z)=-{GM_{0}z \over 2z_{0}^{2}}\left[{1 \over {\sqrt {R_{0}^{2}+R^{2}}}}-{1 \over {\sqrt {(R_{0}+2z_{0})^{2}+R^{2}}}}\right],~~z=\pm z_{0},}$$

Nótese que tanto la gravedad potencial como la vertical son continuas a través de los límites, por lo tanto, no hay disco de afeitar en los límites. Gracias al hecho de que en el límite, es continua. Aplicamos el teorema de Gauss integrando la fuerza vertical sobre todo el límite superior e inferior del disco, confirmamos que toma el significado de la masa total del disco. ${\displaystyle \partial _{|z|}(2Q)-\partial _{|z|}Q_{-}=\partial _{|z|}\left(Q_{+}-{\frac {2z_{0}}{R}}\right)={1 \over R}}$ $${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)|g_{z}(R,z_{0})|=4\pi GM_{0},}$$ ${\displaystyle M_{0}}$

La gravedad vertical cae en radios grandes, lo que se ve potenciado por la gravedad vertical de una masa puntual debido a la propia gravedad del disco grueso. $${\displaystyle -g_{z}\rightarrow GM_{0}z(1+R_{0}/z_{0})/R^{3}}$$ ${\displaystyle GM_{0}z/R^{3}}$

Densidad de un disco grueso a partir de la ecuación de Poisson

Insertar en la ecuación de Poisson cilíndrica que cae con el radio, y es cero más allá y uniforme a lo largo de la dirección z dentro del límite. $${\displaystyle \rho (R,z)={\partial _{z}\partial _{z}\Phi \over 4\pi G}+{\partial _{R}(R\partial _{R}\Phi ) \over 4\pi GR}={M_{0}R_{0}/z_{0} \over 4\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}H(z_{0}-|z|),}$$ ${\displaystyle |z|>z_{0}}$

Observe el contorno de densidad de disco grueso uniforme verticalmente en este modelo R0=5z0=1

Densidad superficial y masa de un disco grueso

Integrando sobre todo el disco grueso de espesor uniforme , encontramos la densidad superficial y la masa total como ${\displaystyle 2z_{0}}$ $${\displaystyle \Sigma (R)=(2z_{0})\rho (R,0),~~M_{0}=\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)\Sigma (R).}$$

Esto confirma la ausencia de discos extradelgados en los límites. En el límite, , este potencial de disco grueso se reduce al de un disco de Kuzmin delgadísimo, para lo cual podemos verificar . ${\displaystyle z_{0}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {|g_{z}(R,0+)| \over 2\pi G}\rightarrow \Sigma (R)\rightarrow {M_{0}R_{0} \over 2\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}}$

Frecuencias de oscilación en un disco grueso

Para encontrar las frecuencias de oscilación vertical y radial, hacemos una expansión de potencial de Taylor alrededor del plano medio y encontramos que la velocidad circular y las frecuencias del epiciclo vertical y radial están dadas por Curiosamente, la curva de rotación es similar a la de un cuerpo sólido cerca del centro y es kepleriana lejos. $${\displaystyle \Phi (R_{1},z)\approx \Phi (R,0)+{\omega ^{2}R}(R_{1}-R)+{\kappa ^{2} \over 2}(R_{1}-R)^{2}+{\nu ^{2} \over 2}z^{2}}$$ ${\displaystyle V_{\text{cir}}}$ $${\displaystyle (R\omega )^{2}\equiv V_{\text{cir}}^{2}=\left[{(1+R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2}}}}-{(R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+R_{0}^{2}}}}\right],}$$ $${\displaystyle \nu ^{2}={GM_{0}(R_{0}/z_{0}+1) \over (R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2})^{3/2}},}$$ $${\displaystyle \kappa ^{2}+\nu ^{2}-2\omega ^{2}=4\pi G\rho (R,0)={GM_{0}R_{0}/z_{0} \over (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}.}$$ ${\displaystyle V_{\text{cir}}}$ ${\displaystyle R\ll R_{0}}$

En radios grandes, tres frecuencias satisfacen . Por ejemplo, en el caso de que y , las oscilaciones forman una resonancia. ${\textstyle \left.\left[\omega ,\nu ,\kappa ,{\sqrt {4\pi G\rho }}\right]\right|_{R\to \infty }\to [1,1+R_{0}/z_{0},1,R_{0}/z_{0}]^{1 \over 2}{\sqrt {GM_{0} \over R^{3}}}}$ ${\displaystyle R\to \infty }$ ${\displaystyle R_{0}/z_{0}=3}$ ${\displaystyle \omega :\nu :\kappa =1:2:1}$

En el caso de que , la densidad es cero en todas partes excepto en la aguja uniforme entre el eje z. ${\displaystyle R_{0}=0}$ ${\displaystyle |z|\leq z_{0}}$

Si además requerimos , entonces recuperamos una propiedad bien conocida para órbitas de elipse cerradas en potencial de masa puntual, ${\displaystyle z_{0}=0}$ $${\displaystyle \omega :\nu :\kappa =1:1:1.}$$

Un ejemplo práctico de neutrinos en galaxias

Por ejemplo, la función de distribución del espacio de fases de neutrinos no relativistas de masa m en cualquier lugar no excederá el valor máximo establecido por donde las estadísticas de Fermi-Dirac dicen que hay como máximo 6 sabores de neutrinos dentro de un volumen y un volumen de velocidad . $${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)={dN \over dx^{3}dv^{3}}\leq {6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}},~~~}$$ ${\displaystyle dx^{3}}$ $${\displaystyle dv^{3}=(dp/m)^{3}=[(2\pi \hbar /dx)/m]^{3},}$$

Aproximamos la distribución a la máxima, es decir, donde tal que , respectivamente, es la energía potencial de en el centro o en el borde del sistema gravitacionalmente ligado. La densidad de masa de neutrinos correspondiente, suponiendo que es esférica, sería la que se reduce a $${\displaystyle f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z})={6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}q^{\alpha \over 2},~~0\leq q(E)={\Phi _{\max }-E \over V_{0}^{2}/2}\leq 1,}$$ ${\displaystyle 0\geq \Phi _{\max }\geq E=\Phi (x,y,z)+{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2} \over 2}\geq \Phi _{\min }\equiv \Phi _{\max }-{V_{0}^{2} \over 2}}$ ${\displaystyle E_{\min },E_{\max }}$ $${\displaystyle \rho (r)=n(x,y,z)m=\int dV_{x}\int dV_{y}\int dV_{z}~m~f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z}),}$$ $${\displaystyle \rho (r)={C(\Phi _{\max }-\Phi (r))^{3+\alpha \over 2} \over (\Phi _{\max }-\Phi _{\min })^{\alpha \over 2}},~~~C={6m\pi 2^{5/2}B\left(1+{\alpha \over 2},{3 \over 2}\right) \over (2\pi \hbar /m)^{3}}}$$

Tomemos el caso simple y estimemos la densidad en el centro con una velocidad de escape , tenemos ${\displaystyle \alpha \to 0}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle V_{0}}$ $${\displaystyle \rho (r)\leq \rho (0)\rightarrow {m^{4}V_{0}^{3} \over \pi ^{2}\hbar ^{3}}\approx m_{\mathrm {eV} }^{4}V_{200}^{3}\times {\text{[Cosmic Critical Density]}}.}$$

Es claro que los neutrinos en escala eV son demasiado livianos para compensar la sobredensidad de 100 a 10 000 en galaxias con velocidad de escape , mientras que los neutrinos en cúmulos con podrían compensar veces la densidad de fondo cósmico. ${\displaystyle m_{eV}\sim 0.1-1}$ ${\displaystyle V_{200}\equiv V/(\mathrm {200km/s} )\sim 0.1-3.4}$ ${\displaystyle V\sim \mathrm {2000km/s} }$ ${\displaystyle 100-1000}$

Por cierto, los neutrinos cósmicos congelados en su habitación tienen un momento aleatorio no térmico , no siguen una distribución de Maxwell y no están en equilibrio térmico con las moléculas de aire debido a la sección transversal extremadamente baja de las interacciones neutrino-barión. ${\textstyle \sim {(\mathrm {2.7K} )k \over c}\sim (1~\mathrm {eV} /c^{2})(\mathrm {70km/s} )}$

Un resumen de los movimientos armónicos en el potencial de esfera uniforme

Consideremos construir un modelo de estado estable de la esfera uniforme de densidad y potencial antes mencionada, donde es la velocidad para escapar al borde . ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \Phi (r)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (|\mathbf {r} |)&=\rho _{0}\equiv M_{\odot }n_{0},~~|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{0}^{2},~~\Omega \equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}\equiv {V_{0} \over r_{0}}\\\Phi (|\mathbf {r} |)&={\Omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3V_{0}^{2} \over 2}={V_{e}(r)^{2} \over 2}-\Phi (r_{0}),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}={\sqrt {2\Phi (r_{0})-2\Phi (r)}}}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Primero, un resumen del movimiento "dentro" del potencial de esfera uniforme. Dentro de esta región central de densidad constante, las estrellas individuales entran en oscilaciones armónicas resonantes de frecuencia angular con En términos generales, nuestro objetivo es poner a las estrellas en una distribución ponderada de órbitas con varias energías , es decir, la densidad del espacio de fase o función de distribución, de modo que su densidad numérica estelar general reproduzca el núcleo constante, de ahí su potencial colectivo de "estado estable". Una vez que se alcanza esto, llamamos al sistema un equilibrio autoconsistente. ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}=&-\Omega ^{2}x=-\partial _{x}\Phi ,\\{\ddot {y}}=&-\Omega ^{2}y,~~~{{\dot {y}}(t)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(t)^{2} \over 2}\equiv I_{y}(y,{\dot {y}})={{\dot {y}}(0)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(0)^{2} \over 2}\leq {(\Omega r_{0})^{2} \over 2}\\{\ddot {z}}=&-\Omega ^{2}z,\rightarrow {\dot {z}}(t)={\dot {z}}(0)\cos(\Omega t)+\Omega z(0)\sin(\Omega t).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f\left(I_{x}(x,{\dot {x}}),I_{y}(y,{\dot {y}}),I_{z}(z,{\dot {z}}\right)=DF(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )}$

Ejemplo sobre el teorema de Jeans y CBE sobre el potencial de esfera uniforme

En general, para un sistema independiente del tiempo, el teorema de Jeans predice que es una función implícita de la posición y la velocidad a través de una dependencia funcional de "constantes de movimiento". ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )}$

Para la esfera uniforme, una solución para la ecuación de Boltzmann, escrita en coordenadas esféricas y sus componentes de velocidad es donde es una constante de normalización, que tiene la dimensión de densidad (masa). Y definimos una (dimensión positiva similar a la entalpía ) Cantidad Claramente, las estrellas que giran en sentido antihorario con están excluidas. ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle (V_{r},V_{\theta },V_{\phi })}$ $${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}{\sqrt {V_{0}^{2} \over 2Q}},}$$ ${\displaystyle C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}}$ ${\displaystyle {\text{km}}^{2}/{\text{s}}^{2}}$ $${\displaystyle Q[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]\equiv \left[0,\left(-V_{0}^{2}-E\right)+{J^{2} \over 2r_{0}^{2}}\right]_{\max }\left[{J_{z} \over |J_{z}|},0\right]_{\max }.}$$ ${\displaystyle J_{z}\leq 0,~~Q=0}$

Es fácil ver en coordenadas esféricas que

${\displaystyle J^{2}=r^{2}V_{t}^{2}=r^{2}(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}),}$

${\displaystyle J_{z}=V_{\varphi }r\sin \theta ,}$

${\displaystyle E={V_{r}^{2}+V_{t}^{2} \over 2}+\Phi (r),~V_{t}\equiv {\sqrt {V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}}}}$

Insertamos el potencial y estas definiciones de la energía orbital E y el momento angular J y su componente z Jz a lo largo de cada órbita estelar, tenemos lo que implica , y entre cero y . $${\displaystyle 2Q={\text{Heaviside}}\left({V_{\varphi } \over |V_{\varphi }|}\right)\times \left[V_{0}^{2}\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right)-V_{r}^{2}-\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right){\left(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\right)},0\right]_{\max },}$$ ${\displaystyle |V_{r}|\leq V_{e}(r)}$ ${\displaystyle |V_{\theta }|,V_{\varphi }}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Para verificar que lo anterior es constante de movimiento en nuestro potencial esférico, notamos ${\displaystyle E,~J_{z}}$ $${\displaystyle dE/dt={\partial E \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial E \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } ){\partial E \over \partial \mathbf {v} }}$$

$${\displaystyle dE/dt={\partial \Phi \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial \Phi \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } )\mathbf {v} ={\partial \Phi \over \partial t}=0}$$para cualquier potencial de "estado estable".

$${\displaystyle dJ_{z}/dt={\partial J_{z} \over \partial t}+{\partial J_{z} \over \partial \mathbf {x} }\cdot \mathbf {v} -(\mathbf {\nabla \Phi } )\cdot {\partial J_{z} \over \partial \mathbf {v} },}$$que se reduce alrededor del eje z de cualquier potencial axisimétrico, donde . ${\displaystyle dJ_{z}/dt=0+[(V_{y})V_{x}+(-V_{x})V_{y}]-\left[(-y){x \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}+(x){y \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}\right]=0}$ ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

De la misma manera, los componentes x e y del momento angular también se conservan para un potencial esférico. Por lo tanto , ${\displaystyle dJ/dt=0}$

Así, para cualquier potencial esférico independiente del tiempo (incluido nuestro modelo de esfera uniforme), la energía orbital E y el momento angular J y su componente z Jz a lo largo de cada órbita estelar satisfacen $${\displaystyle dE[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=0.}$$

Por lo tanto, utilizando la regla de la cadena, tenemos , es decir, , de modo que se satisface CBE, es decir, nuestra es una solución a la ecuación de Boltzmann sin colisión para nuestro potencial esférico estático. $${\displaystyle {d \over dt}Q(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])={\partial Q \over \partial E}{dE \over dt}+{\partial Q \over \partial J_{z}}{dJ_{z} \over dt}+{\partial Q \over \partial J}{dJ \over dt}=0,}$$ ${\textstyle {d \over dt}f=f'(Q){dQ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ] \over dt}=0}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=f(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])}$$

Un ejemplo práctico sobre momentos de funciones de distribución en un conjunto esférico uniforme

Podemos encontrar varios momentos de la función de distribución anterior, reformateada con la ayuda de tres funciones de Heaviside, una vez que ingresamos la expresión para el potencial anterior dentro de , o incluso mejor la velocidad para "escapar de r al borde" de una esfera uniforme. Claramente, el factor en la DF (función de distribución) está bien definido solo si , lo que implica un rango estrecho en el radio y excluye partículas de alta velocidad, por ejemplo, , de la función de distribución (DF, es decir, densidad del espacio de fase). $${\displaystyle f(|\mathbf {r} |,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}\left.{{\text{H}}(1-x) \over \left(1-x^{2}\right)^{1 \over 2}}\right|_{x\equiv {|\mathbf {r} | \over r_{0}}}{{\text{H}}(V_{\varphi }){\text{H}}(1-q) \over (1-q)^{1 \over 2}},~~q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{e}(|\mathbf {r} |)^{2}}+{V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}},}$$ ${\displaystyle \Phi (r)}$ ${\displaystyle r\leq r_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}.}$ ${\displaystyle {V_{e}(|\mathbf {r} |) \over {\sqrt {2Q}}}={\sqrt {\max[0,{1 \over 1-q}]}}}$ ${\displaystyle Q\geq 0\rightarrow q\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq |\mathbf {r} |<r_{0}}$ ${\displaystyle V_{t}>V_{0}>V_{e}(r)}$

De hecho, la positividad esculpe la mitad izquierda ( ) de un elipsoide en el espacio de velocidad ("elipsoide de velocidad"), donde se reescala mediante la función o respectivamente. ${\displaystyle V_{\varphi }\geq 0}$ ${\displaystyle [V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]}$ $${\displaystyle q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{0}^{2}(1-r^{2}/r_{0}^{2})}+\left({V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}}\right)\equiv u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}\leq 1,}$$ ${\displaystyle (u_{r},u_{\theta },u_{\varphi })}$ ${\displaystyle (V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })}$ ${\displaystyle V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-r^{2}/r_{0}^{2}}}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

El elipsoide de velocidad (en este caso) tiene simetría rotacional alrededor del eje r o eje r. Está más aplastado (en este caso) lejos de la dirección radial, por lo tanto, es más anisotrópico tangencialmente porque en todas partes , excepto en el origen, donde el elipsoide parece isotrópico. Ahora calculamos los momentos del espacio de fases. ${\displaystyle V_{r}}$ ${\displaystyle V_{e}(r)<V_{0}}$

Por ejemplo, la densidad resultante (momento) es de hecho una densidad esférica (independiente del ángulo) y uniforme (independiente del radio) dentro del borde, donde la constante de normalización es . $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (r,\theta ,\varphi )&=\int _{-V_{e}(r)}^{V_{e}(r)}dV_{r}\int _{-V_{0}}^{V_{0}}dV_{\theta }\int _{0}^{V_{0}}dV_{\varphi }{C_{0} \over V_{0}^{3}}\left({2Q \over V_{0}^{2}}\right)^{-1/2}\\&=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\int _{0}^{1}{(V_{e}du_{r})(V_{0}du_{\theta })(V_{0}du_{\varphi })C_{0} \over V_{0}^{3}(1-r^{2}/r_{0}^{2})^{1/2}(1-q)^{1/2}}\left.\right|_{q=u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}}\\&=C_{0}{\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{-1/2}(2\pi u^{2}du)}=\rho _{0}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}}$

La velocidad de flujo se calcula como la media ponderada del vector de velocidad, donde el promedio global (indicado por la barra superior) del flujo implica un patrón uniforme de rotación azimutal plana, pero un flujo neto cero en todas partes del plano meridional. $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {V} \rangle (\mathbf {x} )&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}\mathbf {V} \over \int fd\mathbf {V} ^{3}}\\&={1 \over \rho }\int fd\mathbf {V} ^{3}[V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]{C_{0}V_{0}^{2}(2Q)^{-1/2}}\\&=\left[{\int _{-1}^{1}\!\!u_{r}...du_{r},~~\int _{-1}^{1}\!\!u_{\theta }...du_{\theta },~~\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{du_{\varphi }u_{\varphi }V_{0} \over (1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}-u_{\varphi }^{2})^{1/2}} \over \int _{0}^{1}(2\pi UdU)\int _{0}^{\sqrt {1-U^{2}}}du_{\varphi }(1-U^{2}-u_{\varphi }^{2})^{-1/2}}\right]\\&=\left[0,0,{4V_{0} \over 3\pi }\right]={\overline {\mathbf {V} (\mathbf {x} )}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (r,\theta )}$

Por cierto, el promedio global del momento angular de esta esfera de rotación plana es Nótese que el promedio global del centro de masa no cambia, por lo que debido a la conservación del momento global en cada dirección rectangular , esto no contradice la rotación global distinta de cero. $${\displaystyle {\overline {\mathbf {r} \times \langle \mathbf {V} \rangle }}=\int _{0}^{r_{0}}{(\rho 4\pi r^{2}dr) \over M_{0}}[0,0,r\langle V_{\varphi }\rangle ]=[0,0,{3r_{0} \over 4}{\overline {V_{\varphi }}}].}$$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {V} _{i}(\mathbf {x} )}}=0}$ ${\displaystyle i=x,y,z}$

De la misma manera gracias a la simetría de , tenemos , , en todas partes}. ${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })=f(r,\theta ,\pm \varphi ,\pm V_{r},\pm V_{\theta },V_{\varphi })}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\varphi }} \rangle =0}$ ${\displaystyle ~\langle \mathbf {(\pm V_{\theta })V_{\varphi }} \rangle =0}$ ${\displaystyle ~\langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\theta }} \rangle =0}$

De la misma manera, la velocidad rms en la dirección de rotación se calcula mediante una media ponderada de la siguiente manera, por ejemplo, $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {V} _{\varphi }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |)&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}V_{\varphi }^{2} \over \rho (|\mathbf {r} |)}\\&={\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}du_{\varphi }{(u_{\varphi }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=0.25V_{0}^{2}=0.5\langle V_{t}^{2}\rangle \\&={\!\!\int _{0}^{1}(2du_{r})\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\varphi })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\varphi }^{2}}}du_{\theta }{(u_{\theta }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=\langle \mathbf {V} _{\theta }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |),\\\end{aligned}}}$$

Aquí ${\displaystyle \langle V_{t}^{2}\rangle =\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\rangle =0.5V_{0}^{2}.}$

Asimismo $${\displaystyle \langle \mathbf {V} _{r}^{2}\rangle (\mathbf {x} )={\!\!\int _{0}^{1}(du_{\varphi })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!{(2du_{r})(u_{r}V_{e}(r))^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}=\left({V_{0} \over 2}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}\right)^{2}.}$$

Por lo tanto, el tensor de presión o tensor de dispersión tiene términos fuera de la diagonal cero debido a la distribución de velocidad simétrica. Nótese que, si bien no hay materia oscura en la producción de la curva de rotación plana anterior, el precio se muestra mediante el factor de reducción en la propagación aleatoria de la velocidad en la dirección azimutal. Entre los momentos del tensor de dispersión diagonal, es el más grande entre los tres en todos los radios, y solo cerca del borde entre . $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{ij}^{2}(\mathbf {r} )=&{P_{ij}(\mathbf {r} ) \over \rho (\mathbf {r} )}\\=&\langle \mathbf {V} _{i}\mathbf {V} _{j}\rangle -\langle \mathbf {V} _{i}\rangle \langle \mathbf {V} _{j}\rangle \\=&{\begin{bmatrix}\left[1-({r \over r_{0}})^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0&0\\0&\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0\\0&0&\left[1-({8 \over 3\pi })^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {8 \over 3\pi }=0.8488}$ ${\displaystyle \sigma _{\theta }\equiv {\sqrt {\sigma _{\theta \theta }^{2}}}=0.5V_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{\varphi }\equiv {\sqrt {\sigma _{\varphi \varphi }^{2}}}\geq \sigma _{r}\equiv {\sqrt {\sigma _{rr}^{2}}}}$ ${\displaystyle 0.8488r_{0}\leq r\leq r_{0}}$

La energía cinética tangencial mayor que la del movimiento radial observada en las dispersiones diagonales a menudo se expresa mediante un parámetro de anisotropía: una anisotropía positiva habría significado que el movimiento radial dominaba, y una anisotropía negativa significa que el movimiento tangencial domina (como en esta esfera uniforme). $${\displaystyle \beta (r)\equiv 1-{0.5\langle {\mathbf {V} _{t}}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=1-{\langle {\mathbf {V} _{\theta }}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=-{r^{2} \over r_{0}^{2}-r^{2}}\leq 0;}$$

Un ejemplo práctico del teorema virial

El doble de energía cinética por unidad de masa de la esfera uniforme anterior es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{2K \over M_{0}}&={\overline {\langle V^{2}\rangle }}\equiv \langle {\overline {V^{2}}}\rangle \\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}+V_{r}^{2}\rangle dM\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{1}\left({V_{0}^{2} \over 4}+{V_{0}^{2} \over 4}+{(1-x^{2})V_{0}^{2} \over 4}\right)d(x^{3}M_{0})=0.6V_{0}^{2},~~x\equiv {r \over r_{0}}=\left({M \over M_{0}}\right)^{1 \over 3},\end{aligned}}}$$que equilibra la energía potencial por unidad de masa de la esfera uniforme, dentro de la cual . ${\displaystyle M\propto r^{3}\propto x^{3}}$

El virial promedio por unidad de masa se puede calcular promediando su valor local , que da como resultado lo requerido por el teorema del virial. Para esta esfera autogravitante, también podemos verificar que el virial por unidad de masa es igual a los promedios de la mitad del potencial. Por lo tanto, hemos verificado la validez del teorema del virial para una esfera uniforme bajo autogravedad, es decir, la gravedad debido a la densidad de masa de las estrellas es también la gravedad en la que las estrellas se mueven de manera autoconsistente; ningún halo de materia oscura adicional contribuye a su potencial, por ejemplo. ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{W \over M_{0}}&={\overline {\mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )}}\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{r_{0}}\mathbf {r} \cdot {-GM\mathbf {r} \over |\mathbf {r} |^{3}}(\rho d\mathbf {r} ^{3})=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM \over |\mathbf {r} |}dM\\&=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM~dM \over r_{0}~(M/M_{0})^{1 \over 3}}=-{3GM_{0} \over 5r_{0}}=-0.6V_{0}^{2},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{E_{\text{pot}} \over M_{0}}&={\overline {\langle {\Phi \over 2}\rangle }}\\&=M_{0}^{-1}\int _{x>0}^{x<1}{\Phi (r_{0}x) \over 2}d(M_{0}x^{3})\\&={W \over M_{0}}={-2K \over M_{0}}.\end{aligned}}}$$

Un ejemplo resuelto de la ecuación de Jeans en una esfera uniforme

La ecuación de Jeans es una relación sobre cómo el gradiente de presión de un sistema debería equilibrar el gradiente de potencial para una galaxia en equilibrio. En nuestra esfera uniforme, el gradiente de potencial o gravedad es $${\displaystyle \nabla \Phi ={d\Phi \over dr}={\Omega ^{2}r}\geq 0,~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}}.}$$

El gradiente de presión radial $${\displaystyle -{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}=-{d\sigma _{r}^{2} \over dr}-{\sigma _{r}^{2} \over r}{d\log \rho \over d\log r}={\Omega ^{2}r \over 2}+0\geq 0.}$$

La razón de la discrepancia se debe en parte a la fuerza centrífuga y en parte a la presión anisotrópica en el centro, pero las dos se equilibran en el radio y luego se invierten en el borde. $${\displaystyle {{\bar {V}}_{\varphi }^{2} \over r}={(0.8488V_{0})^{2} \over r}>0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{(\sigma _{\theta }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r\geq 0\\{(\sigma _{\varphi }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r-{0.1801V_{0}^{2} \over r}=\pm ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }<\sigma _{r}=0.5V_{0}}$ ${\displaystyle r=0.8488r_{0}}$ ${\displaystyle 0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }>\sigma _{r}=0}$

Ahora podemos verificar que Aquí la 1ra línea de arriba es esencialmente la ecuación de Jeans en la dirección r, que se reduce a la 2da línea, la ecuación de Jeans en una esfera anisotrópica (aka ) rotacional (aka ) axisimétrica ( ) (aka ) después de muchas manipulaciones de coordenadas del tensor de dispersión; se puede obtener una ecuación de movimiento similar para las dos direcciones tangenciales, por ejemplo, , que son útiles para modelar corrientes oceánicas en la superficie terrestre giratoria o transferencia de momento angular en discos de acreción, donde el término de fricción es importante. El hecho de que el lhs significa que la fuerza está equilibrada en el rhs para que este modelo uniforme (aka ) esférico de una galaxia (cúmulo) permanezca en un estado estable (aka equilibrio independiente del tiempo en todas partes) estáticamente (aka con flujo cero en todas partes). Nótese que sistemas como el disco de acreción pueden tener una entrada radial neta constante en todas partes en todo momento. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \langle V_{r}\rangle \over \partial t}&=(-\sum _{i=x,y,z}V_{i}\partial _{i}\langle V_{r}\rangle )-{\cancel {\langle V_{r}\rangle \over t_{\text{fric}}}}-\nabla _{r}\Phi +\sum _{i=x,y,z}{-\partial _{i}(n\sigma _{ir}^{2}) \over n}\\&={{\bar {V}}_{\theta }^{2}+{\bar {V}}_{\varphi }^{2}-2{\bar {V}}_{r}^{2} \over r}-0-{\partial \Phi \over \partial r}+\left[-{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}+{\sigma _{\theta }^{2}+\sigma _{\varphi }^{2}-2\sigma _{r}^{2} \over r}\right]\\&={0+(0.4244V_{0})^{2}-2\times 0 \over r}-(\Omega ^{2}r)+\\&\left[{\Omega ^{2}r \over 2}+{(0.5V_{0})^{2}+(0.2643V_{0})^{2}-2\times 0.25\Omega ^{2}(r_{0}^{2}-r^{2}) \over r}\right]\\&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \langle V_{\varphi }\rangle \neq 0}$ ${\displaystyle \partial _{\varphi }\Phi (\mathbf {x} ,t)=0}$ ${\displaystyle \partial _{\theta }n(\mathbf {x} ,t)=0}$ ${\displaystyle {\partial \langle V_{\varphi }\rangle \over \partial t}}$ ${\displaystyle -{\langle V_{\varphi }\rangle \over t_{\text{fric}}}}$ ${\displaystyle {\partial V_{r} \over \partial t}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }mn(\mathbf {x} ,t)=0}$ ${\displaystyle {\partial n(\mathbf {x} ,t) \over \partial t}=0}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {V} (\mathbf {x} )\rangle <0}$

Un ejemplo resuelto de la ecuación de Jeans en un disco grueso

Consideremos nuevamente el potencial de disco grueso en el ejemplo anterior. Si la densidad es la de un fluido gaseoso, entonces la presión sería cero en el límite . Para encontrar el pico de la presión, observamos que ${\displaystyle z=\pm z_{0}}$ $${\displaystyle P(R,z)=\int _{z}^{z_{0}}\partial _{z}\Phi \rho (R)dz=\rho (R)[\Phi (R,z_{0})-\Phi (R,z)].}$$

Por lo tanto, la temperatura del fluido por unidad de masa, es decir, la dispersión de velocidad unidimensional al cuadrado, sería $${\displaystyle \sigma ^{2}(R,z)={P(R,z) \over \rho (R)},~~|z|\leq z_{0}}$$

$${\displaystyle \sigma ^{2}={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {Q(z)Q(-z) \over Q(z_{0})Q(-z_{0})},~~Q(z)\equiv R_{0}+z_{0}+z+{\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0}+z)^{2}}}.}$$

A lo largo del eje z rotacional, que es claramente el más alto en el centro y cero en los límites . Tanto la presión como el pico de dispersión en el plano medio . De hecho, el punto más caliente y más denso es el centro, donde $${\displaystyle \sigma ^{2}(0,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {4(R_{0}+z_{0}+z)(R_{0}+z_{0}-z) \over 4R_{0}(R_{0}+2z_{0})}}$$ $${\displaystyle \sigma (0,z)={\sqrt {GM_{0} \over 2z_{0}}}{\sqrt {\log {(R_{0}+z_{0})^{2}-z^{2} \over (R_{0}+z_{0})^{2}-z_{0}^{2}}}},}$$ ${\displaystyle z=\pm z_{0}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle P(0,0)={M_{0} \over 4\pi R_{0}^{2}z_{0}}{-GM_{0}\log[1-(1+R_{0}/z_{0})^{-2}] \over 2z_{0}}.}$

Un resumen de ejemplos resueltos sobre la ecuación de Jeans, el virial y la densidad del espacio de fases

Después de observar algunas aplicaciones de la ecuación de Poisson y la densidad del espacio de fases y, especialmente, la ecuación de Jeans, podemos extraer un tema general, utilizando nuevamente el enfoque de la vaca esférica.

La ecuación de Jeans vincula la gravedad con el gradiente de presión, es una generalización de la ecuación de movimiento para partículas individuales. Si bien la ecuación de Jeans se puede resolver en sistemas de discos, la versión más fácil de usar de la ecuación de Jeans es la versión anisotrópica esférica para un sistema estático sin fricción , de ahí la velocidad local en todas partes para cada una de las tres direcciones . Se puede proyectar el espacio de fases en estos momentos, lo que es fácil si se trata de un sistema altamente esférico, que admite conservaciones de energía y momento angular J. El límite del sistema establece el rango de integración del límite de velocidad en el sistema. ${\displaystyle \langle {v_{j}}\rangle =0}$ ${\displaystyle t_{\text{fric}}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{2}(r)=\langle {v_{j}^{2}}\rangle (r)-\underbrace {\langle {v_{j}}\rangle ^{2}(r)} _{=0}={\int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }({v}_{j}-\overbrace {\langle {v}\rangle _{j}^{p}} ^{=0})^{2}f_{p} \over \int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }f_{p}},}$ ${\displaystyle ~_{j}=~_{r},~_{\theta },~_{\varphi }}$ ${\displaystyle E=}$

En resumen, en la ecuación esférica de Jeans, que coincide con la expectativa del teorema virial , o en otras palabras, la energía cinética de un equilibrio es igual a la energía cinética promedio en órbitas circulares con movimiento puramente transversal. $${\displaystyle {\begin{aligned}{d\Phi \over dr}=&{GM(r) \over r^{2}}\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr}+{\langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle -2\langle {v_{r}^{2}}\rangle \over r},\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr},~~{\text{hydrostatic equilibrium if isotropic velocity }}\\=&{\langle v_{t}^{2}\rangle \over r},~~{\text{if purely centrifugal balancing of gravity with no radial motion}},\langle v_{t}^{2}\rangle \equiv \langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\overline {r\partial _{r}\Phi }}={\overline {v_{\text{cir}}^{2}}}={\overline {GM \over r}}={\overline {\langle v_{t}^{2}\rangle }}}$ ${\displaystyle {\overline {\text{global average}}}}$

Véase también

• Portal estelar

• Clasificación estelar
• Ecuación de Boltzmann
• Fricción dinámica
• Ecuaciones de jeans
• Segregación masiva (astronomía)
• Problema de N cuerpos
• Teorema del virial
• Cinemática estelar
• ecuación de poisson
• Cálculo vectorial
• Disco de acreción
• Relajación (física)

Lectura adicional

• Dinámica y evolución de los núcleos galácticos, D. Merritt (2013). Princeton University Press .
• Dinámica galáctica , J. Binney y S. Tremaine (2008). Princeton University Press.
• Simulaciones gravitacionales de N cuerpos: herramientas y algoritmos, S. Aarseth (2003). Cambridge University Press.
• Principios de dinámica estelar , S. Chandrasekhar (1960). Dover.

Referencias

1. Murdin, Paul (2001). "Dinámica estelar". Enciclopedia de astronomía y astrofísica . Nature Publishing Group. pág. 1. ISBN 978-0750304405.
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3. Binney, James; Tremaine, Scott (2008). Dinámica galáctica . Princeton: Princeton University Press. pp. 35, 63, 65, 698. ISBN. 978-0-691-13027-9.
4. de Vita, Ruggero; Trenti, Michele; MacLeod, Morgan (1 de junio de 2019). "Correlación entre la segregación de masas y la concentración estructural en cúmulos estelares relajados". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 485 (4): 5752–5760. arXiv : 1903.07619 . doi : 10.1093/mnras/stz815 . ISSN  0035-8711.
5. Binney, James. «Galaxy Dynamics» (PDF) . Princeton University Press . Consultado el 4 de enero de 2022 .
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