La desigualdad de Muirhead

Mathematical inequality

En matemáticas , la desigualdad de Muirhead , llamada así en honor a Robert Franklin Muirhead , también conocida como método de "agrupación", generaliza la desigualdad de medias aritméticas y geométricas .

Definiciones preliminares

un sentido

Para cualquier vector real

${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

defina la " a -media" [ a ] ​​de números reales positivos x ₁ , ..., x _n por

${\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}},}$

donde la suma se extiende sobre todas las permutaciones σ de { 1, ..., n }.

Cuando los elementos de a son enteros no negativos, la media a se puede definir de manera equivalente mediante el polinomio simétrico monomio como ${\displaystyle m_{a}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle [a]={\frac {k_{1}!\cdots k_{l}!}{n!}}m_{a}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

donde ℓ es el número de elementos distintos en a , y k ₁ , ..., k _ℓ son sus multiplicidades.

Observe que la media a tal como se definió anteriormente solo tiene las propiedades habituales de una media (por ejemplo, si la media de números iguales es igual a ellos) si . En el caso general, se puede considerar en su lugar , lo que se denomina media de Muirhead. ^[1] ${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=1}$ ${\displaystyle [a]^{1/(a_{1}+\cdots +a_{n})}}$

Ejemplos

• Para a = (1, 0, ..., 0), la media a es simplemente la media aritmética ordinaria de x ₁ , ..., x _n .
• Para a = (1/ n , ..., 1/ n ), la media a es la media geométrica de x ₁ , ..., x _n .
• Para a = ( x , 1 − x ), la media a es la media de Heinz .
• La media de Muirhead para a = (−1, 0, ..., 0) es la media armónica .

Matrices doblemente estocásticas

Una matriz P de n × n es doblemente estocástica precisamente si tanto P como su transpuesta P ^T son matrices estocásticas . Una matriz estocástica es una matriz cuadrada de entradas reales no negativas en la que la suma de las entradas de cada columna es 1. Por tanto, una matriz doblemente estocástica es una matriz cuadrada de entradas reales no negativas en la que la suma de las entradas de cada fila y la La suma de las entradas en cada columna es 1.

Declaración

La desigualdad de Muirhead establece que [ a ] ​​≤ [ b ] para todo x tal que x _i > 0 para cada i ∈ { 1, ..., n } si y sólo si existe alguna matriz P doblemente estocástica para la cual a = Pb .

Además, en ese caso tenemos [ a ] ​​= [ b ] si y sólo si a = b o todos los x _i son iguales.

Esta última condición puede expresarse de varias formas equivalentes; uno de ellos se detalla a continuación.

La prueba hace uso del hecho de que toda matriz doblemente estocástica es un promedio ponderado de matrices de permutación ( teorema de Birkhoff-von Neumann ).

Otra condición equivalente

Debido a la simetría de la suma, no se pierde generalidad al ordenar los exponentes en orden decreciente:

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}.}$

Entonces la existencia de una matriz P doblemente estocástica tal que a = Pb equivale al siguiente sistema de desigualdades:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&\leq b_{1}\\a_{1}+a_{2}&\leq b_{1}+b_{2}\\a_{1}+a_{2}+a_{3}&\leq b_{1}+b_{2}+b_{3}\\&\,\,\,\vdots \\a_{1}+\cdots +a_{n-1}&\leq b_{1}+\cdots +b_{n-1}\\a_{1}+\cdots +a_{n}&=b_{1}+\cdots +b_{n}.\end{aligned}}}$

(La última es una igualdad; las otras son desigualdades débiles).

Se dice que la secuencia mayoriza la secuencia . ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

Notación de suma simétrica

Es conveniente utilizar una notación especial para las sumas. Un éxito en la reducción de una desigualdad en esta forma significa que la única condición para probarla es verificar si una secuencia de exponentes ( ) mayoriza a la otra. ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$

${\displaystyle \sum _{\text{sym}}x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

Esta notación requiere desarrollar cada permutación, desarrollando una expresión hecha de n ! monomios , por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\text{sym}}x^{3}y^{2}z^{0}&=x^{3}y^{2}z^{0}+x^{3}z^{2}y^{0}+y^{3}x^{2}z^{0}+y^{3}z^{2}x^{0}+z^{3}x^{2}y^{0}+z^{3}y^{2}x^{0}\\&=x^{3}y^{2}+x^{3}z^{2}+y^{3}x^{2}+y^{3}z^{2}+z^{3}x^{2}+z^{3}y^{2}\end{aligned}}}$

Ejemplos

Desigualdad media aritmético-geométrica

Dejar

${\displaystyle a_{G}=\left({\frac {1}{n}},\ldots ,{\frac {1}{n}}\right)}$

y

${\displaystyle a_{A}=(1,0,0,\ldots ,0).}$

Tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{A1}=1&>a_{G1}={\frac {1}{n}},\\a_{A1}+a_{A2}=1&>a_{G1}+a_{G2}={\frac {2}{n}},\\&\,\,\,\vdots \\a_{A1}+\cdots +a_{An}&=a_{G1}+\cdots +a_{Gn}=1.\end{aligned}}}$

Entonces

[ una _A ] ≥ [ una _G ],

cual es

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}(x_{1}^{1}\cdot x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}+\cdots +x_{1}^{0}\cdots x_{n}^{1})(n-1)!\geq {\frac {1}{n!}}(x_{1}\cdot \cdots \cdot x_{n})^{1/n}n!}$

produciendo la desigualdad.

Otros ejemplos

Buscamos demostrar que x ² + y ² ≥ 2 xy usando agrupación (desigualdad de Muirhead). Lo transformamos en notación de suma simétrica:

${\displaystyle \sum _{\mathrm {sym} }x^{2}y^{0}\geq \sum _{\mathrm {sym} }x^{1}y^{1}.}$

La secuencia (2, 0) mayoriza la secuencia (1, 1), por lo que la desigualdad se cumple mediante agrupación.

De manera similar, podemos probar la desigualdad

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 3xyz}$

escribiéndolo usando la notación de suma simétrica como

${\displaystyle \sum _{\mathrm {sym} }x^{3}y^{0}z^{0}\geq \sum _{\mathrm {sym} }x^{1}y^{1}z^{1},}$

que es lo mismo que

${\displaystyle 2x^{3}+2y^{3}+2z^{3}\geq 6xyz.}$

Dado que la secuencia (3, 0, 0) mayoriza la secuencia (1, 1, 1), la desigualdad se cumple mediante agrupación.

Ver también

• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas.
• Matriz doblemente estocástica
• Polinomio simétrico monomio

Notas

1. Bullen, PS Manual de medios y sus desigualdades. Grupo de editores académicos de Kluwer, Dordrecht, 2003. ISBN  1-4020-1522-4

Referencias

• Teoría combinatoria de John N. Guidi, basada en conferencias impartidas por Gian-Carlo Rota en 1998, MIT Copy Technology Center, 2002.
• Kiran Kedlaya, A < B (A menos que B), una guía para resolver desigualdades
• Teorema de Muirhead en PlanetMath .
• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952), Desigualdades, Cambridge Mathematical Library (2. ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-05206-8 , MR 0046395, Zbl  0047.05302, Sección 2.18, Teorema 45.