La desigualdad de Hadamard

Teorema

En matemáticas , la desigualdad de Hadamard (también conocida como teorema de Hadamard sobre los determinantes ^[1] ) es un resultado publicado por primera vez por Jacques Hadamard en 1893. ^[2] Es una cota del determinante de una matriz cuyas entradas son números complejos en términos de longitudes de sus vectores columna. En términos geométricos , cuando se restringe a números reales , limita el volumen en el espacio euclidiano de n dimensiones marcadas por n vectores v _i para 1 ≤ i ≤ n en términos de las longitudes de estos vectores || v _yo  ||.

Específicamente, la desigualdad de Hadamard establece que si N es la matriz que tiene columnas ^[3] vi , _entonces

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

Si los n vectores son distintos de cero, la igualdad en la desigualdad de Hadamard se logra si y sólo si los vectores son ortogonales .

Formas alternativas y corolarios

Un corolario es que si las entradas de una matriz N de n por n están acotadas por B , entonces | Nij  |_​ ≤ B para todo i y j , entonces

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}.}$

En particular, si las entradas de N son +1 y −1 solamente, entonces ^[4]

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}.}$

En combinatoria , las matrices N para las cuales se cumple la igualdad, es decir, aquellas con columnas ortogonales, se denominan matrices de Hadamard .

De manera más general, supongamos que N es una matriz compleja de orden n , cuyas entradas están acotadas por | Nij  |_​ ≤ 1, para cada i , j entre 1 y n . Entonces la desigualdad de Hadamard establece que

${\displaystyle |\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}.}$

La igualdad en este límite se logra para una matriz real N si y sólo si N es una matriz de Hadamard.

Una matriz P semidefinida positiva se puede escribir como N ^* N , donde N ^* denota la transpuesta conjugada de N (ver Descomposición de una matriz semidefinida ). Entonces

${\displaystyle \det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}.}$

Entonces, el determinante de una matriz definida positiva es menor o igual al producto de sus entradas diagonales. A veces esto también se conoce como desigualdad de Hadamard. ^{[2] [5]}

Prueba

El resultado es trivial si la matriz N es singular , así que supongamos que las columnas de N son linealmente independientes . Al dividir cada columna por su longitud, se puede ver que el resultado es equivalente al caso especial donde cada columna tiene longitud 1, es decir, si e _i son vectores unitarios y M es la matriz que tiene a e _i como columnas entonces

y la igualdad se logra si y sólo si los vectores son un conjunto ortogonal . El resultado general ahora es el siguiente:

${\displaystyle \left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

Para probar (1) , considere P = M ^* M donde M ^* es la transpuesta conjugada de M , y sean los valores propios de P λ ₁ , λ ₂ ,… λ _n . Dado que la longitud de cada columna de M es 1, cada entrada en la diagonal de P es 1, por lo que la traza de P es n . Aplicando la desigualdad de medias aritméticas y geométricas ,

${\displaystyle \det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq {\bigg (}{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )}^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1,}$

entonces

${\displaystyle \left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1.}$

Si hay igualdad entonces cada una de las λ _i deben ser todas iguales y su suma es n , por lo que todas deben ser 1. La matriz P es hermitiana , por lo tanto diagonalizable , por lo que es la matriz identidad ; en otras palabras, las columnas. de M son un conjunto ortonormal y las columnas de N son un conjunto ortogonal. ^[6] Se pueden encontrar muchas otras pruebas en la literatura.

Ver también

• La desigualdad de Fischer

Notas

1. "Teorema de Hadamard - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 15 de junio de 2020 .
2. Maz'ya y Shaposhnikova
3. El resultado a veces se expresa en términos de vectores de fila. Que esto es equivalente se ve aplicando la transpuesta.
4. Garling
5. Różański, Michał; Witula, romano; Hetmaniok, Edyta (2017). "Versiones más sutiles de la desigualdad de Hadamard". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 532 : 500–511. doi : 10.1016/j.laa.2017.07.003 .
6. La prueba sigue, con modificaciones menores, la segunda prueba dada en Maz'ya & Shaposhnikova.

Referencias

• Mazya, Vladimir; Shaposhnikova, TO (1999). Jacques Hadamard: un matemático universal . AMS. págs. 383 y siguientes. ISBN 0-8218-1923-2.
• Garling, DJH (2007). Desigualdades: un viaje hacia el análisis lineal . Cambridge. pag. 233.ISBN​ 978-0-521-69973-0.
• Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Análisis funcional . Dover. pag. 176.ISBN​ 0-486-66289-6.
• Weisstein, Eric W. "La desigualdad de Hadamard". MundoMatemático .

Otras lecturas

• Beckenbach, Edwin F; Bellman, Richard Ernest (1965). Desigualdades . Saltador. pag. 64.