Filtro de partículas

Tipo de algoritmos de Monte Carlo para procesamiento de señales e inferencia estadística.

Los filtros de partículas, o métodos secuenciales de Monte Carlo , son un conjunto de algoritmos de Monte Carlo que se utilizan para encontrar soluciones aproximadas a problemas de filtrado para sistemas de espacio de estados no lineales, como el procesamiento de señales y la inferencia estadística bayesiana . ^[1] El problema de filtrado consiste en estimar los estados internos en sistemas dinámicos cuando se realizan observaciones parciales y existen perturbaciones aleatorias tanto en los sensores como en el sistema dinámico. El objetivo es calcular las distribuciones posteriores de los estados de un proceso de Markov , dadas las observaciones parciales y ruidosas. El término "filtros de partículas" fue acuñado por primera vez en 1996 por Pierre Del Moral sobre los métodos de interacción de partículas de campo medio utilizados en mecánica de fluidos desde principios de los años 1960. ^[2] El término "Monte Carlo secuencial" fue acuñado por Jun S. Liu y Rong Chen en 1998. ^[3]

El filtrado de partículas utiliza un conjunto de partículas (también llamadas muestras) para representar la distribución posterior de un proceso estocástico dadas las observaciones ruidosas y/o parciales. El modelo de espacio de estados puede ser no lineal y el estado inicial y las distribuciones de ruido pueden tomar cualquier forma requerida. Las técnicas de filtrado de partículas proporcionan una metodología bien establecida ^{[2] [4] [5]} para generar muestras a partir de la distribución requerida sin requerir suposiciones sobre el modelo de espacio de estados o las distribuciones de estados. Sin embargo, estos métodos no funcionan bien cuando se aplican a sistemas de muy altas dimensiones.

Los filtros de partículas actualizan su predicción de forma aproximada (estadística). Las muestras de la distribución están representadas por un conjunto de partículas; cada partícula tiene asignado un peso de probabilidad que representa la probabilidad de que esa partícula sea muestreada a partir de la función de densidad de probabilidad . La disparidad de peso que conduce al colapso del peso es un problema común que se encuentra en estos algoritmos de filtrado. Sin embargo, se puede mitigar incluyendo un paso de remuestreo antes de que las ponderaciones se vuelvan desiguales. Se pueden utilizar varios criterios de remuestreo adaptativo, incluida la varianza de los pesos y la entropía relativa con respecto a la distribución uniforme. ^[6] En el paso de remuestreo, las partículas con pesos insignificantes se reemplazan por nuevas partículas en las proximidades de las partículas con pesos más altos.

Desde el punto de vista estadístico y probabilístico, los filtros de partículas pueden interpretarse como interpretaciones de partículas de campo medio de las medidas de probabilidad de Feynman-Kac . ^{[7] [8] [9] [10] [11]} Estas técnicas de integración de partículas fueron desarrolladas en química molecular y física computacional por Theodore E. Harris y Herman Kahn en 1951, Marshall N. Rosenbluth y Arianna W. Rosenbluth en 1955, ^[12] y más recientemente por Jack H. Hetherington en 1984. ^[13] En física computacional, estos métodos de integración de partículas de trayectoria de tipo Feynman-Kac también se utilizan en Quantum Monte Carlo , y más específicamente en los métodos de Difusión Monte Carlo . ^{[14] [15] [16]} Los métodos de partículas interactivas de Feynman-Kac también están fuertemente relacionados con los algoritmos genéticos de selección de mutaciones que se utilizan actualmente en la computación evolutiva para resolver problemas complejos de optimización.

La metodología de filtro de partículas se utiliza para resolver el modelo oculto de Markov (HMM) y problemas de filtrado no lineal . Con la notable excepción de los modelos lineales gaussianos de observación de señales ( filtro de Kalman ) o clases más amplias de modelos (filtro de Benes ^[17] ), Mireille Chaleyat-Maurel y Dominique Michel demostraron en 1984 que la secuencia de distribuciones posteriores de los estados aleatorios de una señal, dadas las observaciones (también conocida como filtro óptimo), no tiene recursividad finita. ^[18] Varios otros métodos numéricos basados ​​en aproximaciones de cuadrícula fija, técnicas de Markov Chain Monte Carlo , linealización convencional, filtros de Kalman extendidos o la determinación del mejor sistema lineal (en el sentido esperado de costo-error) no pueden hacer frente a sistemas a gran escala. , procesos inestables o no linealidades insuficientemente suaves.

Los filtros de partículas y las metodologías de partículas de Feynman-Kac encuentran aplicación en procesamiento de señales e imágenes , inferencia bayesiana , aprendizaje automático , análisis de riesgos y muestreo de eventos raros , ingeniería y robótica , inteligencia artificial , bioinformática , ^[19] filogenética , ciencia computacional , economía y finanzas matemáticas. , química molecular , física computacional , farmacocinética , riesgo cuantitativo y seguros ^{[20] [21]} y otros campos.

Historia

Algoritmos de tipo heurístico

Desde un punto de vista estadístico y probabilístico, los filtros de partículas pertenecen a la clase de algoritmos de tipo ramificado / genético y metodologías de partículas interactivas de tipo campo medio. La interpretación de estos métodos de partículas depende de la disciplina científica. En Computación Evolutiva , las metodologías de partículas de tipo genético de campo medio se utilizan a menudo como algoritmos heurísticos y de búsqueda natural (también conocidos como Metaheurísticos ). En física computacional y química molecular , se utilizan para resolver problemas de integración de trayectorias de Feynman-Kac o para calcular medidas de Boltzmann-Gibbs, valores propios superiores y estados fundamentales de operadores de Schrödinger . En Biología y Genética , representan la evolución de una población de individuos o genes en algún ambiente.

Los orígenes de las técnicas computacionales evolutivas de tipo de campo medio se remontan a 1950 y 1954 con el trabajo de Alan Turing sobre máquinas de aprendizaje de selección de mutaciones de tipo genético ^[22] y los artículos de Nils Aall Barricelli en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva York. Jersey . ^{[23] [24]} El primer rastro de filtros de partículas en la metodología estadística se remonta a mediados de la década de 1950; el 'Monte Carlo del pobre', ^[25] propuesto por Hammersley et al., en 1954, contenía indicios de los métodos de filtrado de partículas de tipo genético que se utilizan hoy en día. En 1963, Nils Aall Barricelli simuló un algoritmo de tipo genético para imitar la capacidad de los individuos para jugar un juego sencillo. ^[26] En la literatura sobre informática evolutiva , los algoritmos de selección de mutaciones de tipo genético se hicieron populares gracias al trabajo fundamental de John Holland a principios de la década de 1970, en particular su libro ^[27] publicado en 1975.

En Biology and Genetics , el genetista australiano Alex Fraser también publicó en 1957 una serie de artículos sobre la simulación del tipo genético de la selección artificial de organismos. ^[28] La simulación por computadora de la evolución realizada por biólogos se hizo más común a principios de la década de 1960, y los métodos fueron descritos en libros de Fraser y Burnell (1970) ^[29] y Crosby (1973). ^[30] Las simulaciones de Fraser incluyeron todos los elementos esenciales de los algoritmos modernos de partículas genéticas de selección de mutaciones.

Desde el punto de vista matemático, la distribución condicional de los estados aleatorios de una señal dadas algunas observaciones parciales y ruidosas se describe mediante una probabilidad de Feynman-Kac sobre las trayectorias aleatorias de la señal ponderada por una secuencia de funciones potenciales de verosimilitud. ^{[7] [8] Los métodos} Quantum Monte Carlo , y más específicamente los métodos de Difusión Monte Carlo, también pueden interpretarse como una aproximación de partículas de tipo genético de campo medio de las integrales de trayectoria de Feynman-Kac. ^{[7] [8] [9] [13] [14] [31] [32]} Los orígenes de los métodos Quantum Monte Carlo a menudo se atribuyen a Enrico Fermi y Robert Richtmyer, quienes desarrollaron en 1948 una interpretación de partículas de campo medio de los neutrones. reacciones en cadena, ^[33] pero el primer algoritmo de partículas de tipo heurístico y genético (también conocido como métodos de Monte Carlo de Reconfiguración o Resampled) para estimar las energías del estado fundamental de sistemas cuánticos (en modelos de matriz reducida) se debe a Jack H. Hetherington en 1984. ^[13] También se pueden citar los trabajos seminales anteriores de Theodore E. Harris y Herman Kahn en física de partículas, publicados en 1951, que utilizan métodos genéticos de campo medio pero de tipo heurístico para estimar las energías de transmisión de partículas. ^[34] En química molecular, el uso de metodologías genéticas de partículas similares a heurísticas (también conocidas como estrategias de poda y enriquecimiento) se remonta a 1955 con el trabajo fundamental de Marshall N. Rosenbluth y Arianna W. Rosenbluth. ^[12]

El uso de algoritmos de partículas genéticas en el procesamiento avanzado de señales y la inferencia bayesiana es más reciente. En enero de 1993, Genshiro Kitagawa desarrolló un "filtro Monte Carlo", ^[35] una versión ligeramente modificada de este artículo apareció en 1996. ^[36] En abril de 1993, Gordon et al., publicaron en su trabajo fundamental ^[37] una aplicación del algoritmo de tipo genético en la inferencia estadística bayesiana. Los autores llamaron a su algoritmo "filtro de arranque" y demostraron que, en comparación con otros métodos de filtrado, su algoritmo de arranque no requiere ninguna suposición sobre ese espacio de estados o el ruido del sistema. Independientemente, los de Pierre Del Moral ^[2] y Himilcon Carvalho, Pierre Del Moral, André Monin y Gérard Salut ^[38] sobre filtros de partículas publicados a mediados de los años 1990. Los filtros de partículas también fueron desarrollados en el procesamiento de señales a principios de 1989-1992 por P. Del Moral, JC Noyer, G. Rigal y G. Salut en el LAAS-CNRS en una serie de informes de investigación restringidos y clasificados con STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), la empresa informática DIGILOG y el LAAS-CNRS (Laboratorio de Análisis y Arquitectura de Sistemas) sobre problemas de procesamiento de señales RADAR/SONAR y GPS. ^{[39] [40] [41] [42] [43] [44]}

Fundamentos matemáticos

De 1950 a 1996, todas las publicaciones sobre filtros de partículas y algoritmos genéticos, incluidos los métodos de Monte Carlo de poda y remuestreo introducidos en la física computacional y la química molecular, presentan algoritmos naturales y de tipo heurístico aplicados a diferentes situaciones sin una sola prueba de su coherencia. , ni una discusión sobre el sesgo de las estimaciones y los algoritmos basados ​​en árboles genealógicos y ancestrales.

Los fundamentos matemáticos y el primer análisis riguroso de estos algoritmos de partículas se deben a Pierre Del Moral ^{[2] [4]} en 1996. El artículo ^{[2] también contiene pruebas de las propiedades insesgadas de una aproximación de partículas de funciones de probabilidad y} probabilidad condicional no normalizada. medidas. El estimador de partículas insesgado de las funciones de verosimilitud presentado en este artículo se utiliza hoy en día en la inferencia estadística bayesiana.

Dan Crisan, Jessica Gaines y Terry Lyons, ^{[45] [46] [47],} así como Dan Crisan, Pierre Del Moral y Terry Lyons, ^[48] crearon técnicas de partículas de tipo ramificado con varios tamaños de población hacia el final de la década de 1990. P. Del Moral, A. Guionnet y L. Miclo ^{[8] [49] [50]} hicieron más avances en este tema en 2000. Pierre Del Moral y Alice Guionnet ^[51] demostraron los primeros teoremas del límite central en 1999, y Pierre Del Moral y Laurent Miclo ^[8] los demostraron en 2000. Los primeros resultados de convergencia uniforme sobre el parámetro de tiempo para filtros de partículas fueron desarrollados a finales de los años 1990 por Pierre Del Moral y Alice Guionnet. ^{[49] [50]} El primer análisis riguroso de los suavizadores de filtros de partículas basados ​​en árboles genealógicos se debe a P. Del Moral y L. Miclo en 2001 ^[52]

La teoría sobre las metodologías de partículas de Feynman-Kac y los algoritmos de filtrado de partículas relacionados se desarrolló en los libros de 2000 y 2004. ^{[8] [5]} Estos modelos probabilísticos abstractos encapsulan algoritmos de tipo genético, filtros de partículas y de arranque, filtros de Kalman interactivos (también conocidos como filtro de partículas Rao-Blackwellized ^[53] ), técnicas de filtrado de partículas de estilo de muestreo y remuestreo de importancia, incluidas las basadas en árboles genealógicos. y metodologías de partículas hacia atrás para resolver problemas de filtrado y suavizado. Otras clases de metodologías de filtrado de partículas incluyen modelos genealógicos basados ​​en árboles, ^{[10] [5] [54]} modelos de partículas de Markov hacia atrás, ^{[10] [55]} modelos adaptativos de partículas de campo medio, ^[6] modelos de partículas tipo isla, ^{[ 56] [57]} metodologías Monte Carlo de cadena de Markov de partículas, ^{[58] [59]} muestreadores secuenciales Monte Carlo ^{[60] [61] [62]} y métodos de cálculo bayesiano aproximado de Monte Carlo secuencial ^[63] y Bootstrap bayesiano secuencial Monte Carlo basado en ABC . ^[64]

El problema del filtrado

Objetivo

El objetivo de un filtro de partículas es estimar la densidad posterior de las variables de estado dadas las variables de observación. El filtro de partículas está diseñado para usarse con un modelo de Markov oculto , en el que el sistema incluye variables tanto ocultas como observables. Las variables observables (proceso de observación) están vinculadas a las variables ocultas (proceso-estado) a través de una forma funcional conocida. Asimismo, se conoce la descripción probabilística del sistema dinámico que define la evolución de las variables de estado.

Un filtro de partículas genérico estima la distribución posterior de los estados ocultos utilizando el proceso de medición de observación. Con respecto a un espacio de estados como el siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccc}X_{0}&\to &X_{1}&\to &X_{2}&\to &X_{3}&\to &\cdots &{\text{signal}}\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &\\Y_{0}&&Y_{1}&&Y_{2}&&Y_{3}&&\cdots &{\text{observation}}\end{array}}}$

el problema de filtrado consiste en estimar secuencialmente los valores de los estados ocultos , dados los valores del proceso de observación en cualquier paso de tiempo k . ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{0},\cdots ,Y_{k},}$

Todas las estimaciones bayesianas se derivan de la densidad posterior . La metodología del filtro de partículas proporciona una aproximación de estas probabilidades condicionales utilizando la medida empírica asociada a un algoritmo de partículas de tipo genético. Por el contrario, la cadena de Markov Monte Carlo o el enfoque de muestreo de importancia modelarían el posterior completo . ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},y_{1},...,y_{k})}$ ${\displaystyle p(x_{0},x_{1},...,x_{k}|y_{0},y_{1},...,y_{k})}$

El modelo de observación de señales.

Los métodos de partículas a menudo suponen y las observaciones se pueden modelar de esta forma: ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$

• ${\displaystyle X_{0},X_{1},\cdots }$Es un proceso de Markov ( para algunos ) que evoluciona según la densidad de probabilidad de transición . Este modelo también suele escribirse de forma sintética como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{x}}}$ ${\displaystyle d_{x}\geqslant 1}$ ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$

  ${\displaystyle X_{k}|X_{k-1}=x_{k}\sim p(x_{k}|x_{k-1})}$

con una densidad de probabilidad inicial . ${\displaystyle p(x_{0})}$

• Las observaciones toman valores en algún espacio de estados (para algunos ) y son condicionalmente independientes siempre que se conozcan. En otras palabras, cada uno sólo depende de . Además, asumimos que las distribuciones condicionales dadas son absolutamente continuas y de forma sintética tenemos ${\displaystyle Y_{0},Y_{1},\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{y}}}$ ${\displaystyle d_{y}\geqslant 1}$ ${\displaystyle X_{0},X_{1},\cdots }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}=x_{k}}$

  ${\displaystyle Y_{k}|X_{k}=y_{k}\sim p(y_{k}|x_{k})}$

Un ejemplo de sistema con estas propiedades es:

${\displaystyle X_{k}=g(X_{k-1})+W_{k-1}}$

${\displaystyle Y_{k}=h(X_{k})+V_{k}}$

donde ambos y son secuencias mutuamente independientes con funciones de densidad de probabilidad conocidas y g y h son funciones conocidas. Estas dos ecuaciones pueden verse como ecuaciones en el espacio de estados y son similares a las ecuaciones en el espacio de estados del filtro de Kalman. Si las funciones g y h en el ejemplo anterior son lineales, y si ambas y son gaussianas , el filtro de Kalman encuentra la distribución de filtrado bayesiana exacta. De lo contrario, los métodos basados ​​en filtros de Kalman son una aproximación de primer orden ( EKF ) o una aproximación de segundo orden ( UKF en general, pero si la distribución de probabilidad es gaussiana es posible una aproximación de tercer orden). ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle V_{k}}$

Se puede relajar el supuesto de que la distribución inicial y las transiciones de la cadena de Markov son continuas para la medida de Lebesgue . Para diseñar un filtro de partículas simplemente debemos asumir que podemos muestrear las transiciones de la cadena de Markov y calcular la función de probabilidad (ver, por ejemplo, la descripción de la mutación de selección genética del filtro de partículas que se proporciona a continuación). El supuesto continuo sobre las transiciones de Markov de sólo se utiliza para derivar de forma informal (y bastante abusiva) diferentes fórmulas entre distribuciones posteriores utilizando la regla de Bayes para densidades condicionales. ${\displaystyle X_{k-1}\to X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k},}$ ${\displaystyle x_{k}\mapsto p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle X_{k}}$

Modelos de cálculo bayesiano aproximados

En ciertos problemas, la distribución condicional de observaciones, dados los estados aleatorios de la señal, puede no tener densidad; este último puede ser imposible o demasiado complejo de calcular. ^[19] En esta situación, se necesita un nivel adicional de aproximación. Una estrategia es sustituir la señal por la cadena de Markov e introducir una observación virtual de la forma ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{k}=\left(X_{k},Y_{k}\right)}$

${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{k}=Y_{k}+\epsilon {\mathcal {V}}_{k}\quad {\mbox{for some parameter}}\quad \epsilon \in [0,1]}$

para alguna secuencia de variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad conocidas . La idea central es observar que ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{k}}$

${\displaystyle {\text{Law}}\left(X_{k}|{\mathcal {Y}}_{0}=y_{0},\cdots ,{\mathcal {Y}}_{k}=y_{k}\right)\approx _{\epsilon \downarrow 0}{\text{Law}}\left(X_{k}|Y_{0}=y_{0},\cdots ,Y_{k}=y_{k}\right)}$

El filtro de partículas asociado con el proceso de Markov dadas las observaciones parciales se define en términos de partículas que evolucionan con una función de probabilidad dada con alguna notación abusiva obvia por . Estas técnicas probabilísticas están estrechamente relacionadas con la Computación Bayesiana Aproximada (ABC). En el contexto de los filtros de partículas, estas técnicas de filtrado de partículas ABC fueron introducidas en 1998 por P. Del Moral, J. Jacod y P. Protter. ^[65] Fueron desarrollados con más detalle por P. Del Moral, A. Doucet y A. Jasra. ^{[66] [67]} ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{k}=\left(X_{k},Y_{k}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{0}=y_{0},\cdots ,{\mathcal {Y}}_{k}=y_{k},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{x}+d_{y}}}$ ${\displaystyle p({\mathcal {Y}}_{k}|{\mathcal {X}}_{k})}$

La ecuación de filtrado no lineal.

La regla de Bayes para la probabilidad condicional da:

${\displaystyle p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})p(x_{0},\cdots ,x_{k})}{p(y_{0},\cdots ,y_{k})}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}p(y_{0},\cdots ,y_{k})&=\int p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})p(x_{0},\cdots ,x_{k})dx_{0}\cdots dx_{k}\\p(y_{0},\cdots ,y_{k}|x_{0},\cdots ,x_{k})&=\prod _{l=0}^{k}p(y_{l}|x_{l})\\p(x_{0},\cdots ,x_{k})&=p_{0}(x_{0})\prod _{l=1}^{k}p(x_{l}|x_{l-1})\end{aligned}}}$

Los filtros de partículas también son una aproximación, pero con suficientes partículas pueden ser mucho más precisos. ^{[2] [4] [5] [49] [50]} La ecuación de filtrado no lineal viene dada por la recursividad

con la convención para k = 0. El problema de filtrado no lineal consiste en calcular estas distribuciones condicionales secuencialmente. ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=p(x_{0})}$

Formulación de Feynman-Kac

Fijamos un horizonte temporal n y una secuencia de observaciones , y para cada k = 0, ..., n fijamos: ${\displaystyle Y_{0}=y_{0},\cdots ,Y_{n}=y_{n}}$

${\displaystyle G_{k}(x_{k})=p(y_{k}|x_{k}).}$

En esta notación, para cualquier función acotada F en el conjunto de trayectorias desde el origen k = 0 hasta el tiempo k = n , tenemos la fórmula de Feynman-Kac ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(x_{0},\cdots ,x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}&={\frac {\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})\left\{\prod \limits _{k=0}^{n}p(y_{k}|x_{k})\right\}p(x_{0},\cdots ,x_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}}{\int \left\{\prod \limits _{k=0}^{n}p(y_{k}|x_{k})\right\}p(x_{0},\cdots ,x_{n})dx_{0}\cdots dx_{n}}}\\&={\frac {E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}{E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}}\end{aligned}}}$

Los modelos de integración de trayectorias de Feynman-Kac surgen en una variedad de disciplinas científicas, incluidas la física computacional, la biología, la teoría de la información y las ciencias de la computación. ^{[8] [10] [5]} Sus interpretaciones dependen del dominio de la aplicación. Por ejemplo, si elegimos la función indicadora de algún subconjunto del espacio de estados, representan la distribución condicional de una cadena de Markov dado que permanece en un tubo determinado; es decir, tenemos: ${\displaystyle G_{n}(x_{n})=1_{A}(x_{n})}$

${\displaystyle E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})|X_{0}\in A,\cdots ,X_{n}\in A\right)={\frac {E\left(F(X_{0},\cdots ,X_{n})\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}{E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}}}$

y

${\displaystyle P\left(X_{0}\in A,\cdots ,X_{n}\in A\right)=E\left(\prod \limits _{k=0}^{n}G_{k}(X_{k})\right)}$

tan pronto como la constante de normalización sea estrictamente positiva.

Filtros de partículas

Un algoritmo de partículas de tipo genético.

Inicialmente, dicho algoritmo comienza con N variables aleatorias independientes con densidad de probabilidad común . Las transiciones de selección-mutación del algoritmo genético ^{[2] [4]} ${\displaystyle \left(\xi _{0}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle p(x_{0})}$

${\displaystyle \xi _{k}:=\left(\xi _{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}{\stackrel {\text{selection}}{\longrightarrow }}{\widehat {\xi }}_{k}:=\left({\widehat {\xi }}_{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}{\stackrel {\text{mutation}}{\longrightarrow }}\xi _{k+1}:=\left(\xi _{k+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

imitar/aproximar las transiciones de actualización-predicción de la evolución óptima del filtro ( Ec. 1 ):

• Durante la transición de selección-actualización tomamos muestras de N variables aleatorias (condicionalmente) independientes con distribución común (condicional) ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}:=\left({\widehat {\xi }}_{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

donde representa la medida de Dirac en un estado dado a. ${\displaystyle \delta _{a}}$

• Durante la transición mutación-predicción, de cada partícula seleccionada tomamos muestras de forma independiente de una transición ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}\longrightarrow \xi _{k+1}^{i}\sim p(x_{k+1}|{\widehat {\xi }}_{k}^{i}),\qquad i=1,\cdots ,N.}$

En las fórmulas mostradas arriba representa la función de probabilidad evaluada en y representa la densidad condicional evaluada en . ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle x_{k}\mapsto p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|{\widehat {\xi }}_{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}={\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

En cada momento k , tenemos las aproximaciones de partículas.

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

y

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

En la comunidad de algoritmos genéticos y computación evolutiva , la cadena de Markov de selección de mutación descrita anteriormente a menudo se denomina algoritmo genético con selección proporcional. En los artículos también se han propuesto varias variantes de ramificación, incluso con tamaños de población aleatorios. ^{[5] [45] [48]}

Principios de Montecarlo

Los métodos de partículas, como todos los enfoques basados ​​en muestreo (por ejemplo, Markov Chain Monte Carlo ), generan un conjunto de muestras que se aproximan a la densidad de filtrado.

${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}).}$

Por ejemplo, podemos tener N muestras de la distribución posterior aproximada de , donde las muestras están etiquetadas con superíndices como: ${\displaystyle X_{k}}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{1},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k}^{N}.}$

Luego, las expectativas con respecto a la distribución de filtrado se aproximan mediante

con

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})}$

donde representa la medida de Dirac en un estado dado a. La función f , de la forma habitual en Montecarlo, puede dar todos los momentos , etc. de la distribución hasta cierto error de aproximación. Cuando la ecuación de aproximación ( Ec. 2 ) se satisface para cualquier función acotada f escribimos ${\displaystyle \delta _{a}}$

${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k}):=p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k}\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{{\widehat {\xi }}_{k}^{i}}(dx_{k})}$

Los filtros de partículas pueden interpretarse como un algoritmo de partículas de tipo genético que evoluciona con transiciones de mutación y selección. Podemos realizar un seguimiento de las líneas ancestrales.

${\displaystyle \left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k-1,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}$

de las partículas . Los estados aleatorios , con los índices más bajos l=0,...,k, representan el antepasado del individuo en el nivel l=0,...,k. En esta situación, tenemos la fórmula de aproximación. ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{l,k}^{i}}$ ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}={\widehat {\xi }}_{k}^{i}}$

con la medida empírica

${\displaystyle {\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))}$

Aquí F representa cualquier función fundada en el espacio de trayectoria de la señal. En una forma más sintética ( Ec. 3 ) es equivalente a

${\displaystyle {\begin{aligned}p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:=p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\,dx_{0}\cdots dx_{k}\\&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\end{aligned}}}$

Los filtros de partículas se pueden interpretar de muchas maneras diferentes. Desde el punto de vista probabilístico coinciden con una interpretación de partículas de campo medio de la ecuación de filtrado no lineal. Las transiciones de actualización-predicción de la evolución óptima del filtro también pueden interpretarse como las transiciones clásicas de selección-mutación del tipo genético de los individuos. La técnica de remuestreo de importancia secuencial proporciona otra interpretación de las transiciones de filtrado que combinan el muestreo de importancia con el paso de remuestreo de arranque. Por último, pero no menos importante, los filtros de partículas pueden verse como una metodología de aceptación-rechazo equipada con un mecanismo de reciclaje. ^{[10] [5]}

Simulación de partículas de campo medio.

El principio probabilístico general.

La evolución del filtrado no lineal se puede interpretar como un sistema dinámico en el conjunto de medidas de probabilidad de la forma donde representa algún mapeo del conjunto de distribución de probabilidad en sí mismo. Por ejemplo, la evolución del predictor óptimo de un paso ${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi _{n+1}\left(\eta _{n}\right)}$ ${\displaystyle \Phi _{n+1}}$ ${\displaystyle \eta _{n}(dx_{n})=p(x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})dx_{n}}$

satisface una evolución no lineal a partir de la distribución de probabilidad . Una de las formas más sencillas de aproximar estas medidas de probabilidad es comenzar con N variables aleatorias independientes con distribución de probabilidad común . Supongamos que hemos definido una secuencia de N variables aleatorias tal que ${\displaystyle \eta _{0}(dx_{0})=p(x_{0})dx_{0}}$ ${\displaystyle \left(\xi _{0}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle \eta _{0}(dx_{0})=p(x_{0})dx_{0}}$ ${\displaystyle \left(\xi _{n}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}(dx_{n})\approx _{N\uparrow \infty }\eta _{n}(dx_{n})}$

En el siguiente paso tomamos muestras de N variables aleatorias (condicionalmente) independientes con ley común. ${\displaystyle \xi _{n+1}:=\left(\xi _{n+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle \Phi _{n+1}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}\right)\approx _{N\uparrow \infty }\Phi _{n+1}\left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}}$

Una interpretación de partículas de la ecuación de filtrado.

Ilustramos este principio de partículas de campo medio en el contexto de la evolución de los predictores óptimos de un paso.

Para k = 0 usamos la convención . ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1}):=p(x_{0})}$

Por la ley de los grandes números, tenemos

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{0})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{0}^{i}}(dx_{0})\approx _{N\uparrow \infty }p(x_{0})dx_{0}}$

en el sentido de que

${\displaystyle \int f(x_{0}){\widehat {p}}(dx_{0})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(\xi _{0}^{i})\approx _{N\uparrow \infty }\int f(x_{0})p(dx_{0})dx_{0}}$

para cualquier función acotada . Suponemos además que hemos construido una secuencia de partículas en algún rango k tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(\xi _{k}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }~p(x_{k}~|~y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

en el sentido de que para cualquier función acotada tenemos ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int f(x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(\xi _{k}^{i})\approx _{N\uparrow \infty }\int f(x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

En esta situación, reemplazando por la medida empírica en la ecuación de evolución del filtro óptimo de un paso establecido en ( Ec. 4 ) encontramos que ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

${\displaystyle p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }\int p(x_{k+1}|x'_{k}){\frac {p(y_{k}|x_{k}'){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x''_{k}){\widehat {p}}(dx''_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}}$

Observe que el lado derecho de la fórmula anterior es una mezcla de probabilidad ponderada

${\displaystyle \int p(x_{k+1}|x'_{k}){\frac {p(y_{k}|x_{k}'){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x''_{k}){\widehat {p}}(dx''_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}p(x_{k+1}|\xi _{k}^{i})=:{\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

donde representa la densidad evaluada en y representa la densidad evaluada en para ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(x_{k+1}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N.}$

Luego, tomamos muestras de N variables aleatorias independientes con densidad de probabilidad común de modo que ${\displaystyle \left(\xi _{k+1}^{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle {\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k+1}^{i}}(dx_{k+1})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {q}}(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k+1}\approx _{N\uparrow \infty }p(x_{k+1}|y_{0},\cdots ,y_{k})dx_{k+1}}$

Iterando este procedimiento, diseñamos una cadena de Markov tal que

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):=p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

Observe que el filtro óptimo se aproxima en cada paso de tiempo k utilizando las fórmulas de Bayes.

${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})\approx _{N\uparrow \infty }{\frac {p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}{\int p(y_{k}|x'_{k}){\widehat {p}}(dx'_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{j})}}~\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})}$

La terminología "aproximación de campo medio" proviene del hecho de que reemplazamos en cada paso de tiempo la medida de probabilidad por la aproximación empírica . La aproximación de partículas de campo medio del problema de filtrado está lejos de ser única. En los libros se desarrollan varias estrategias. ^{[10] [5]} ${\displaystyle p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

Algunos resultados de convergencia

El análisis de la convergencia de los filtros de partículas se inició en 1996 ^{[2] [4]} y en 2000 en el libro ^[8] y la serie de artículos. ^{[48] ​​[49] [50] [51] [52] [68] [69]} Se pueden encontrar desarrollos más recientes en los libros, ^{[10] [5]} Cuando la ecuación de filtrado es estable (en el sentido de que corrige cualquier condición inicial errónea), el sesgo y la varianza de las estimaciones de partículas

${\displaystyle I_{k}(f):=\int f(x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {I}}_{k}(f):=\int f(x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

están controlados por las estimaciones uniformes no asintóticas

${\displaystyle \sup _{k\geqslant 0}\left\vert E\left({\widehat {I}}_{k}(f)\right)-I_{k}(f)\right\vert \leqslant {\frac {c_{1}}{N}}}$

${\displaystyle \sup _{k\geqslant 0}E\left(\left[{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}}{N}}}$

para cualquier función f acotada por 1, y para algunas constantes finitas Además, para cualquier : ${\displaystyle c_{1},c_{2}.}$ ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right|\leqslant c_{1}{\frac {x}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {x}{N}}}\land \sup _{0\leqslant k\leqslant n}\left|{\widehat {I}}_{k}(f)-I_{k}(f)\right|\leqslant c{\sqrt {\frac {x\log(n)}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

para algunas constantes finitas relacionadas con el sesgo asintótico y la varianza de la estimación de partículas, y alguna constante finita c . Se obtienen los mismos resultados si reemplazamos el predictor óptimo de un paso por la aproximación del filtro óptimo. ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Árboles genealógicos y propiedades de imparcialidad.

Suavizado de partículas basado en árboles genealógicos.

Recorriendo el tiempo las líneas ancestrales

${\displaystyle \left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{1,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{k-1,k}^{i},{\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right),\quad \left(\xi _{0,k}^{i},\xi _{1,k}^{i},\cdots ,\xi _{k-1,k}^{i},\xi _{k,k}^{i}\right)}$

de los individuos y en cada paso de tiempo k , también tenemos las aproximaciones de partículas ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{i}\left(={\widehat {\xi }}_{k,k}^{i}\right)}$ ${\displaystyle \xi _{k}^{i}\left(={\xi }_{k,k}^{i}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{0,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\approx _{N\uparrow \infty }p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k,k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k,k}^{j})}}\delta _{\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{0,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\ \\{\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)}(d(x_{0},\cdots ,x_{k}))\\&\approx _{N\uparrow \infty }p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&:=p(x_{0},\cdots ,x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{0},\cdots ,dx_{k}\end{aligned}}}$

Estas aproximaciones empíricas son equivalentes a las aproximaciones integrales de partículas.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int F(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left({\widehat {\xi }}_{0,k}^{i},\cdots ,{\widehat {\xi }}_{0,k}^{i}\right)\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|\xi _{k,k}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k,k}^{j})}}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\\&\ \\\int F(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})&:={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int F(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\end{aligned}}}$

para cualquier función acotada F en las trayectorias aleatorias de la señal. Como se muestra en ^[54], la evolución del árbol genealógico coincide con una interpretación de partículas de campo medio de las ecuaciones de evolución asociadas con las densidades posteriores de las trayectorias de las señales. Para obtener más detalles sobre estos modelos de espacio de caminos, consultamos los libros. ^{[10] [5]}

Estimaciones de partículas insesgadas de funciones de probabilidad.

Usamos la fórmula del producto.

${\displaystyle p(y_{0},\cdots ,y_{n})=\prod _{k=0}^{n}p(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

con

${\displaystyle p(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=\int p(y_{k}|x_{k})p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

y las convenciones y para k = 0. Reemplazando por la aproximación empírica ${\displaystyle p(y_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1})=p(y_{0})}$ ${\displaystyle p(x_{0}|y_{0},\cdots ,y_{-1})=p(x_{0}),}$ ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})dx_{k}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1}):={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k}^{i}}(dx_{k})\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

En la fórmula mostrada arriba, diseñamos la siguiente aproximación de partículas insesgada de la función de probabilidad.

${\displaystyle p(y_{0},\cdots ,y_{n})\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})=\prod _{k=0}^{n}{\widehat {p}}(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})}$

con

${\displaystyle {\widehat {p}}(y_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})=\int p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$

donde representa la densidad evaluada en . El diseño de esta estimación de partículas y la propiedad de insesgación se demostraron en un artículo de 1996. ^[2] Se pueden encontrar estimaciones de varianza refinadas en ^[5] y. ^[10] ${\displaystyle p(y_{k}|\xi _{k}^{i})}$ ${\displaystyle p(y_{k}|x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$

Suavizadores de partículas hacia atrás

Usando la regla de Bayes, tenemos la fórmula

${\displaystyle p(x_{0},\cdots ,x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})=p(x_{n}|y_{0},\cdots ,y_{n-1})p(x_{n-1}|x_{n},y_{0},\cdots ,y_{n-1})\cdots p(x_{1}|x_{2},y_{0},y_{1})p(x_{0}|x_{1},y_{0})}$

Darse cuenta de

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))&\propto p(x_{k}|x_{k-1})p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))\\p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-1})&\propto p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2})\end{aligned}}}$

Esto implica que

${\displaystyle p(x_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))={\frac {p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k}|x_{k-1})p(x_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}{\int p(y_{k-1}|x'_{k-1})p(x_{k}|x'_{k-1})p(x'_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})dx'_{k-1}}}}$

Reemplazo de los predictores óptimos de un paso por medidas empíricas de partículas ${\displaystyle p(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))dx_{k-1}}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{k-1}^{i}}(dx_{k-1})\left(\approx _{N\uparrow \infty }p(dx_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2})):={p}(x_{k-1}|(y_{0},\cdots ,y_{k-2}))dx_{k-1}\right)}$

encontramos eso

${\displaystyle {\begin{aligned}p(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))\\&:={\frac {p(y_{k-1}|x_{k-1})p(x_{k}|x_{k-1}){\widehat {p}}(dx_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}{\int p(y_{k-1}|x'_{k-1})~p(x_{k}|x'_{k-1}){\widehat {p}}(dx'_{k-1}|y_{0},\cdots ,y_{k-2})}}\\&=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{i})p(x_{k}|\xi _{k-1}^{i})}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})p(x_{k}|\xi _{k-1}^{j})}}\delta _{\xi _{k-1}^{i}}(dx_{k-1})\end{aligned}}}$

Concluimos que

${\displaystyle p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

con la aproximación de partículas hacia atrás

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))={\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1})){\widehat {p}}(dx_{n-1}|x_{n},(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\cdots {\widehat {p}}(dx_{1}|x_{2},(y_{0},y_{1})){\widehat {p}}(dx_{0}|x_{1},y_{0})\end{aligned}}}$

La medida de probabilidad

${\displaystyle {\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

es la probabilidad de que los caminos aleatorios de una cadena de Markov retrocedan en el tiempo desde el tiempo k=n hasta el tiempo k=0, y evolucionen en cada paso de tiempo k en el espacio de estados asociado con la población de partículas ${\displaystyle \left(\mathbb {X} _{k,n}^{\flat }\right)_{0\leqslant k\leqslant n}}$ ${\displaystyle \xi _{k}^{i},i=1,\cdots ,N.}$

• Inicialmente (en el momento k=n) la cadena elige aleatoriamente un estado con la distribución ${\displaystyle \mathbb {X} _{n,n}^{\flat }}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{i}}(dx_{n})}$

• Desde el momento k hasta el momento (k-1), la cadena que comienza en algún estado durante algún momento k se mueve en el momento (k-1) a un estado aleatorio elegido con la probabilidad ponderada discreta ${\displaystyle \mathbb {X} _{k,n}^{\flat }=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{k-1,n}^{\flat }}$

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|\xi _{k}^{i},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))=\sum _{j=1}^{N}{\frac {p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})}{\sum _{l=1}^{N}p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{l})p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{l})}}~\delta _{\xi _{k-1}^{j}}(dx_{k-1})}$

En la fórmula mostrada arriba, representa la distribución condicional evaluada en . En la misma línea, y representan las densidades condicionales y evaluadas en y Estos modelos permiten reducir la integración con respecto a las densidades en términos de operaciones matriciales con respecto a las transiciones de Markov de la cadena descritas anteriormente. ^[55] Por ejemplo, para cualquier función tenemos las estimaciones de partículas ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|\xi _{k}^{i},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k-1}|x_{k},(y_{0},\cdots ,y_{k-1}))}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})}$ ${\displaystyle p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})}$ ${\displaystyle p(y_{k-1}|x_{k-1})}$ ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$ ${\displaystyle x_{k}=\xi _{k}^{i}}$ ${\displaystyle x_{k-1}=\xi _{k-1}^{j}.}$ ${\displaystyle p((x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$ ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})&|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))f_{k}(x_{k})\\&\approx _{N\uparrow \infty }\int {\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))f_{k}(x_{k})\\&=\int {\widehat {p}}(dx_{n}|(y_{0},\cdots ,y_{n-1})){\widehat {p}}(dx_{n-1}|x_{n},(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\cdots {\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k+1},(y_{0},\cdots ,y_{k}))f_{k}(x_{k})\\&=\underbrace {\left[{\tfrac {1}{N}},\cdots ,{\tfrac {1}{N}}\right]} _{N{\text{ times}}}\mathbb {M} _{n-1}\cdots \mathbb {M} _{k}{\begin{bmatrix}f_{k}(\xi _{k}^{1})\\\vdots \\f_{k}(\xi _{k}^{N})\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \mathbb {M} _{k}=(\mathbb {M} _{k}(i,j))_{1\leqslant i,j\leqslant N}:\qquad \mathbb {M} _{k}(i,j)={\frac {p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{j})~p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{j})}{\sum \limits _{l=1}^{N}p(\xi _{k}^{i}|\xi _{k-1}^{l})p(y_{k-1}|\xi _{k-1}^{l})}}}$

Esto también muestra que si

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}):={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x_{k})}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n})p(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))&\approx _{N\uparrow \infty }\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))\\&={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\underbrace {\left[{\tfrac {1}{N}},\cdots ,{\tfrac {1}{N}}\right]} _{N{\text{ times}}}\mathbb {M} _{n-1}\mathbb {M} _{n-2}\cdots \mathbb {M} _{k}{\begin{bmatrix}f_{k}(\xi _{k}^{1})\\\vdots \\f_{k}(\xi _{k}^{N})\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Algunos resultados de convergencia

Supondremos que la ecuación de filtrado es estable, en el sentido de que corrige cualquier condición inicial errónea.

En esta situación, las aproximaciones de partículas de las funciones de probabilidad son insesgadas y la varianza relativa está controlada por

${\displaystyle E\left({\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})\right)=p(y_{0},\cdots ,y_{n}),\qquad E\left(\left[{\frac {{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})}{p(y_{0},\cdots ,y_{n})}}-1\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {cn}{N}},}$

para alguna constante finita c . Además, para cualquier : ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\vert {\frac {1}{n}}\log {{\widehat {p}}(y_{0},\cdots ,y_{n})}-{\frac {1}{n}}\log {p(y_{0},\cdots ,y_{n})}\right\vert \leqslant c_{1}{\frac {x}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {x}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

para algunas constantes finitas relacionadas con el sesgo asintótico y la varianza de la estimación de partículas, y para alguna constante finita c . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

El sesgo y la varianza de las estimaciones de partículas basadas en las líneas ancestrales de los árboles genealógicos.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{k}^{path}(F)&:=\int F(x_{0},\cdots ,x_{k})p(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&\approx _{N\uparrow \infty }{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)\\&:=\int F(x_{0},\cdots ,x_{k}){\widehat {p}}(d(x_{0},\cdots ,x_{k})|y_{0},\cdots ,y_{k-1})\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}F\left(\xi _{0,k}^{i},\cdots ,\xi _{k,k}^{i}\right)\end{aligned}}}$

están controlados por las estimaciones uniformes no asintóticas

${\displaystyle \left|E\left({\widehat {I}}_{k}^{path}(F)\right)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant {\frac {c_{1}k}{N}},\qquad E\left(\left[{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}k}{N}},}$

para cualquier función F acotada por 1, y para algunas constantes finitas Además, para cualquier : ${\displaystyle c_{1},c_{2}.}$ ${\displaystyle x\geqslant 0}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left|{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant c_{1}{\frac {kx}{N}}+c_{2}{\sqrt {\frac {kx}{N}}}\land \sup _{0\leqslant k\leqslant n}\left|{\widehat {I}}_{k}^{path}(F)-I_{k}^{path}(F)\right|\leqslant c{\sqrt {\frac {xn\log(n)}{N}}}\right)>1-e^{-x}}$

para algunas constantes finitas relacionadas con el sesgo asintótico y la varianza de la estimación de partículas, y para alguna constante finita c . El mismo tipo de estimaciones de sesgo y varianza se aplican a los suavizadores de partículas hacia atrás. Para funcionales aditivos de la forma ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}):={\frac {1}{n+1}}\sum _{0\leqslant k\leqslant n}f_{k}(x_{k})}$

con

${\displaystyle I_{n}^{path}({\overline {F}})\approx _{N\uparrow \infty }I_{n}^{\flat ,path}({\overline {F}}):=\int {\overline {F}}(x_{0},\cdots ,x_{n}){\widehat {p}}_{backward}(d(x_{0},\cdots ,x_{n})|(y_{0},\cdots ,y_{n-1}))}$

con funciones acotadas por 1, tenemos ${\displaystyle f_{k}}$

${\displaystyle \sup _{n\geqslant 0}{\left\vert E\left({\widehat {I}}_{n}^{\flat ,path}({\overline {F}})\right)-I_{n}^{path}({\overline {F}})\right\vert }\leqslant {\frac {c_{1}}{N}}}$

y

${\displaystyle E\left(\left[{\widehat {I}}_{n}^{\flat ,path}(F)-I_{n}^{path}(F)\right]^{2}\right)\leqslant {\frac {c_{2}}{nN}}+{\frac {c_{3}}{N^{2}}}}$

para algunas constantes finitas se desarrollan estimaciones más refinadas que incluyen probabilidades de errores exponencialmente pequeñas. ^[10] ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}.}$

Remuestreo de importancia secuencial (SIR)

Filtro Monte Carlo y filtro bootstrap

El remuestreo de importancia secuencial (SIR) , el filtrado Monte Carlo (Kitagawa 1993 ^[35] ), el algoritmo de filtrado bootstrap (Gordon et al. 1993 ^[37] ) y el remuestreo de distribución única (Bejuri WMYB et al. 2017 ^[70] ), también son comúnmente utilizados. algoritmos de filtrado aplicados, que aproximan la densidad de probabilidad de filtrado mediante un conjunto ponderado de N muestras ${\displaystyle p(x_{k}|y_{0},\cdots ,y_{k})}$

${\displaystyle \left\{\left(w_{k}^{(i)},x_{k}^{(i)}\right)\ :\ i\in \{1,\cdots ,N\}\right\}.}$

Los pesos de importancia son aproximaciones a las probabilidades (o densidades) posteriores relativas de las muestras, tales que ${\displaystyle w_{k}^{(i)}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{k}^{(i)}=1.}$

El muestreo de importancia secuencial (SIS) es una versión secuencial (es decir, recursiva) del muestreo de importancia . Como en el muestreo de importancia, la expectativa de una función f se puede aproximar como un promedio ponderado

${\displaystyle \int f(x_{k})p(x_{k}|y_{0},\dots ,y_{k})dx_{k}\approx \sum _{i=1}^{N}w_{k}^{(i)}f(x_{k}^{(i)}).}$

Para un conjunto finito de muestras, el rendimiento del algoritmo depende de la elección de la distribución de la propuesta.

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})\,}$.

La distribución de propuesta " óptima" se da como la distribución objetivo.

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})=p(x_{k}|x_{k-1},y_{k})={\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k})p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}}~p(x_{k}|x_{k-1}).}$

Esta elección particular de propuesta de transición ha sido propuesta por P. Del Moral en 1996 y 1998. ^[4] Cuando es difícil muestrear transiciones según la distribución, una estrategia natural es utilizar la siguiente aproximación de partículas ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1},y_{k})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k})p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}}p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}&\simeq _{N\uparrow \infty }{\frac {p(y_{k}|x_{k})}{\int p(y_{k}|x_{k}){\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})}}{\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})\\&=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p(y_{k}|X_{k}^{i}(x_{k-1}))}{\sum _{j=1}^{N}p(y_{k}|X_{k}^{j}(x_{k-1}))}}\delta _{X_{k}^{i}(x_{k-1})}(dx_{k})\end{aligned}}}$

con la aproximación empírica

${\displaystyle {\widehat {p}}(dx_{k}|x_{k-1})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{k}^{i}(x_{k-1})}(dx_{k})~\simeq _{N\uparrow \infty }p(x_{k}|x_{k-1})dx_{k}}$

asociado con N (o cualquier otro gran número de muestras) muestras aleatorias independientes con la distribución condicional del estado aleatorio dado . La consistencia del filtro de partículas resultante de esta aproximación y otras extensiones se desarrolla en ^[4] En la pantalla anterior se representa la medida de Dirac en un estado dado a. ${\displaystyle X_{k}^{i}(x_{k-1}),i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k-1}=x_{k-1}}$ ${\displaystyle \delta _{a}}$

Sin embargo, la distribución de probabilidad previa de transición se utiliza a menudo como función de importancia, ya que es más fácil extraer partículas (o muestras) y realizar cálculos de peso de importancia posteriores:

${\displaystyle \pi (x_{k}|x_{0:k-1},y_{0:k})=p(x_{k}|x_{k-1}).}$

Los filtros de remuestreo de importancia secuencial (SIR) con distribución de probabilidad previa de transición como función de importancia se conocen comúnmente como filtro de arranque y algoritmo de condensación .

El remuestreo se utiliza para evitar el problema de la degeneración del algoritmo, es decir, evitar la situación en la que todos los pesos de importancia menos uno sean cercanos a cero. El rendimiento del algoritmo también puede verse afectado por la elección adecuada del método de remuestreo. El muestreo estratificado propuesto por Kitagawa (1993 ^[35] ) es óptimo en términos de varianza.

Un único paso de remuestreo de importancia secuencial es el siguiente:

1) Para extraer muestras de la distribución de la propuesta. ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle x_{k}^{(i)}\sim \pi (x_{k}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})}$

2) Para actualizar los pesos de importancia hasta una constante de normalización: ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}{\frac {p(y_{k}|x_{k}^{(i)})p(x_{k}^{(i)}|x_{k-1}^{(i)})}{\pi (x_{k}^{(i)}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})}}.}$

Tenga en cuenta que cuando utilizamos la distribución de probabilidad previa de transición como función de importancia,

${\displaystyle \pi (x_{k}^{(i)}|x_{0:k-1}^{(i)},y_{0:k})=p(x_{k}^{(i)}|x_{k-1}^{(i)}),}$

esto se simplifica a lo siguiente:

${\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}p(y_{k}|x_{k}^{(i)}),}$

3) Para calcular las ponderaciones de importancia normalizadas: ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$

${\displaystyle w_{k}^{(i)}={\frac {{\hat {w}}_{k}^{(i)}}{\sum _{j=1}^{N}{\hat {w}}_{k}^{(j)}}}}$

4) Calcule una estimación del número efectivo de partículas como

${\displaystyle {\hat {N}}_{\mathit {eff}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{N}\left(w_{k}^{(i)}\right)^{2}}}}$

Este criterio refleja la varianza de las ponderaciones. Se pueden encontrar otros criterios en el artículo ^[6] , incluido su análisis riguroso y los teoremas del límite central.

5) Si el número efectivo de partículas es menor que un umbral determinado , realice un nuevo muestreo: ${\displaystyle {\hat {N}}_{\mathit {eff}}<N_{thr}}$

a) Extraiga N partículas del conjunto de partículas actual con probabilidades proporcionales a sus pesos. Reemplace el conjunto de partículas actual con este nuevo.

b) Para el conjunto ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$ ${\displaystyle w_{k}^{(i)}=1/N.}$

El término "Remuestreo de importancia de muestreo" también se utiliza a veces cuando se hace referencia a filtros SIR, pero el término Remuestreo de importancia es más preciso porque la palabra "resmuestreo" implica que el muestreo inicial ya se ha realizado. ^[71]

Muestreo de importancia secuencial (SIS)

• Es lo mismo que el remuestreo de importancia secuencial, pero sin la etapa de remuestreo.

Algoritmo de "versión directa"

El algoritmo de "versión directa" ^{[ cita necesaria ]} es bastante simple (en comparación con otros algoritmos de filtrado de partículas) y utiliza composición y rechazo. Para generar una única muestra x en k a partir de : ${\displaystyle p_{x_{k}|y_{1:k}}(x|y_{1:k})}$

1) Establezca n = 0 (Esto contará la cantidad de partículas generadas hasta el momento)

2) Elija uniformemente un índice i del rango ${\displaystyle \{1,...,N\}}$

3) Generar una prueba a partir de la distribución con ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle p(x_{k}|x_{k-1})}$ ${\displaystyle x_{k-1}=x_{k-1|k-1}^{(i)}}$

4) Generar la probabilidad de utilizar de dónde es el valor medido. ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle p(y_{k}|x_{k}),~{\mbox{with}}~x_{k}={\hat {x}}}$ ${\displaystyle y_{k}}$

5) Generar otro uniforme u desde donde ${\displaystyle [0,m_{k}]}$ ${\displaystyle m_{k}=\sup _{x_{k}}p(y_{k}|x_{k})}$

6) Compara tu y ${\displaystyle p\left({\hat {y}}\right)}$

6a) Si u es mayor, repita desde el paso 2

6b) Si u es menor, guárdelo como e incremente n ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x_{k|k}^{(i)}}$

7) Si n == N entonces salga

El objetivo es generar P "partículas" en k utilizando sólo las partículas de . Esto requiere que se pueda escribir (y calcular) una ecuación de Markov para generar una basada únicamente en . Este algoritmo utiliza la composición de las partículas P para generar una partícula en k y se repite (pasos 2 a 6) hasta que se generan partículas P en k . ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k-1}}$ ${\displaystyle k-1}$

Esto se puede visualizar más fácilmente si x se ve como una matriz bidimensional. Una dimensión es k y la otra dimensión es el número de partículas. Por ejemplo, sería la i- ^ésima partícula en y también se puede escribir (como se hizo anteriormente en el algoritmo). El paso 3 genera un potencial basado en una partícula elegida aleatoriamente ( ) en un momento y la rechaza o acepta en el paso 6. En otras palabras, los valores se generan utilizando los generados previamente . ${\displaystyle x(k,i)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}^{(i)}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k-1}^{(i)}}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k-1}}$

Aplicaciones

Los filtros de partículas y las metodologías de partículas de Feynman-Kac encuentran aplicación en varios contextos, como un medio eficaz para abordar observaciones ruidosas o no linealidades fuertes, como:

• Inferencia bayesiana , aprendizaje automático , análisis de riesgos y muestreo de eventos raros
• Bioinformática ^[19]
• Ciencia computacional
• Economía , matemáticas financieras y finanzas matemáticas : los filtros de partículas pueden realizar simulaciones necesarias para calcular integrales de alta dimensión y/o complejas relacionadas con problemas como los modelos dinámicos estocásticos de equilibrio general en macroeconomía y fijación de precios de opciones ^[72]
• Ingeniería
• Epidemiología de enfermedades infecciosas , donde se han aplicado a una serie de problemas de pronóstico de epidemias, por ejemplo, la predicción de epidemias de influenza estacional ^[73]
• Detección y aislamiento de fallas : en esquemas basados ​​en observadores, un filtro de partículas puede pronosticar la salida esperada de los sensores, lo que permite el aislamiento de fallas ^{[74] [75] [76]}
• Química molecular y física computacional.
• Farmacocinética ^[77]
• filogenética
• Robótica , inteligencia artificial : la localización Monte Carlo es un estándar de facto en la localización de robots móviles ^{[78] [79] [80]}
• Procesamiento de señales e imágenes : localización visual, seguimiento, reconocimiento de características ^[81]

Otros filtros de partículas

• Filtro de partículas auxiliar ^[82]
• Filtro de partículas de referencia de coste
• Filtro de partículas naturales exponencial ^[83]
• Feynman-Kac y metodologías de partículas de campo medio ^{[2] [10] [5]}
• filtro de partículas gaussiano
• Filtro de partículas Gauss-Hermite
• Filtro de partículas jerárquico/escalable ^[84]
• Filtro de partículas empujado ^[85]
• Partícula Markov-Chain Monte-Carlo, véase, por ejemplo, el algoritmo pseudomarginal de Metropolis-Hastings .
• Filtro de partículas Rao-Blackwellized ^[53]
• Filtro auxiliar de partículas regularizado ^[86]
• Filtro de partículas óptimo basado en muestreo de rechazo ^{[87] [88]}
• Filtro de partículas sin perfume

Ver también

• Filtro de conjunto Kalman
• Filtrado generalizado
• Algoritmo genético
• Métodos de partículas de campo medio.
• Localización de Montecarlo
• Estimación de horizonte móvil
• Estimación bayesiana recursiva

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enlaces externos

• Modelos de Feynman-Kac y algoritmos de partículas interactivas (también conocidos como filtrado de partículas) Aspectos teóricos y una lista de dominios de aplicación de filtros de partículas
• Página de inicio de los métodos secuenciales de Monte Carlo (filtrado de partículas) en la Universidad de Cambridge
• Animaciones MCL de Dieter Fox
• El software libre de Rob Hess
• SMCTC: una clase de plantilla para implementar algoritmos SMC en C++
• Subprograma de Java sobre filtrado de partículas
• vSMC: Monte Carlo secuencial vectorizado
• El filtro de partículas explicado en el contexto del vehículo autónomo