conjetura de Arnold

Conjetura matemática

La conjetura de Arnold , llamada así en honor al matemático Vladimir Arnold , es una conjetura matemática en el campo de la geometría simpléctica , una rama de la geometría diferencial . ^[1]

Fuerte conjetura de Arnold

Sea una variedad simpléctica cerrada (compacta sin límite) . Para cualquier función suave , la forma simpléctica induce un campo vectorial hamiltoniano definido por la fórmula ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle H:M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \omega (X_{H},\cdot )=dH.}$

La función se llama función hamiltoniana . ${\displaystyle H}$

Supongamos que existe una familia uniforme de funciones hamiltonianas de 1 parámetro . Esta familia induce una familia de 1 parámetro de campos vectoriales hamiltonianos en . La familia de campos vectoriales se integra a una familia de difeomorfismos de 1 parámetro . Cada individuo tiene un llamado difeomorfismo hamiltoniano . ${\displaystyle H_{t}\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle X_{H_{t}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:M\to M}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$ ${\displaystyle M}$

La conjetura fuerte de Arnold establece que el número de puntos fijos de un difeomorfismo hamiltoniano de es mayor o igual al número de puntos críticos de una función suave en . ^{[2] [3]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Conjetura de Arnold débil

Un difeomorfismo hamiltoniano se llama no degenerado si su gráfica corta la diagonal de transversalmente. Para los difeomorfismos hamiltonianos no degenerados, una variante de la conjetura de Arnold dice que el número de puntos fijos es al menos igual al número mínimo de puntos críticos de una función Morse en , llamado número Morse de . ${\displaystyle \varphi :M\to M}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

En vista de la desigualdad de Morse , el número de Morse también es mayor o igual a un invariante homológico de , por ejemplo, la suma de los números de Betti sobre un campo , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2n}\dim H_{i}(M;{\mathbb {F} }).}$

La conjetura débil de Arnold dice que el número entero anterior es un límite inferior del número de puntos fijos de un difeomorfismo hamiltoniano no degenerado de . ^{[2] [3]} La conjetura débil de Arnold es un caso especial de la conjetura de Arnold-Givental . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Ver también

• Conjetura de Arnold-Givenal
• Simplectomorfismo # Conjetura de Arnold
• Homología de flor
• Invariantes espectrales
• Teorema de Conley-Zehnder

Referencias

1. Asselle, L.; Izydorek, M.; Staróstka, M. (2022). "La conjetura de Arnold y el índice de Conley". arXiv : 2202.00422 [matemáticas.DS]. ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$
2. Rizell, Georgios Dimitroglou; Golovko, romano (5 de enero de 2017). "El número de puntos fijos hamiltonianos en variedades simplécticamente asféricas". arXiv : 1609.04776 [matemáticas.SG].
3. Arnold, Vladimir I., ed. (2005). Los problemas de Arnold. Springer Berlín , Heidelberg. págs. 284–288. doi :10.1007/b138219. ISBN 978-3-540-20748-1.