Conducción de calor relativista

Modelo compatible con la relatividad especial

La conducción de calor relativista se refiere al modelado de la conducción de calor (y procesos de difusión similares ) de una manera compatible con la relatividad especial . En la relatividad especial (y general ), la ecuación de calor habitual para la conducción de calor no relativista debe modificarse, ya que conduce a una propagación de señales más rápida que la luz. ^{[1] [2]} La conducción de calor relativista, por lo tanto, abarca un conjunto de modelos para la propagación del calor en medios continuos (sólidos, fluidos, gases) que son consistentes con la causalidad relativista , es decir, el principio de que un efecto debe estar dentro del cono de luz asociado a su causa. Cualquier modelo relativista razonable para la conducción de calor también debe ser estable , en el sentido de que las diferencias de temperatura se propagan más lentamente que la luz y se amortiguan con el tiempo (esta propiedad de estabilidad está íntimamente entrelazada con la causalidad relativista ^[3] ).

Modelo parabólico (no relativista)

La conducción de calor en un contexto newtoniano se modela mediante la ecuación de Fourier ^[4] , es decir, una ecuación diferencial parcial parabólica del tipo: donde θ es la temperatura , ^[5] t es el tiempo , α = k /( ρ c ) es la difusividad térmica , k es la conductividad térmica , ρ es la densidad y c es la capacidad calorífica específica . El operador de Laplace , , se define en coordenadas cartesianas como $${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\alpha ~\nabla ^{2}\theta ,}$$ ${\textstyle \nabla ^{2}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}~=~{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

Esta ecuación de Fourier se puede derivar sustituyendo la aproximación lineal de Fourier del vector de flujo de calor, q , como función del gradiente de temperatura, en la primera ley de la termodinámica , donde el operador del , ∇, se define en 3D como $${\displaystyle \mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta ,}$$ $${\displaystyle \rho ~c~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~+~\nabla \cdot \mathbf {q} ~=~0,}$$ $${\displaystyle \nabla ~=~\mathbf {i} ~{\frac {\partial }{\partial x}}~+~\mathbf {j} ~{\frac {\partial }{\partial y}}~+~\mathbf {k} ~{\frac {\partial }{\partial z}}.}$$

Se puede demostrar que esta definición del vector de flujo de calor también satisface la segunda ley de la termodinámica, ^[6] donde s es la entropía específica y σ es la producción de entropía . Este modelo matemático es inconsistente con la relatividad especial: la función de Green asociada a la ecuación del calor (también conocida como núcleo de calor ) tiene un soporte que se extiende fuera del cono de luz , lo que lleva a una propagación de información más rápida que la luz. Por ejemplo, considere un pulso de calor en el origen; entonces, de acuerdo con la ecuación de Fourier, se siente (es decir, cambia de temperatura) en cualquier punto distante, instantáneamente. La velocidad de propagación del calor es más rápida que la velocidad de la luz en el vacío, lo que es inadmisible dentro del marco de la relatividad. $${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{\theta }}\right)~+~\rho ~{\frac {\partial s}{\partial t}}~=~\sigma ,}$$

Modelo hiperbólico (relativista)

El modelo parabólico de conducción de calor que se ha analizado anteriormente muestra que la ecuación de Fourier (y la ley de difusión de Fick , más general ) es incompatible con la teoría de la relatividad ^[7] por al menos una razón: admite una velocidad infinita de propagación del campo continuo (en este caso: calor o gradientes de temperatura). Para superar esta contradicción, investigadores como Carlo Cattaneo ^[2] , Vernotte ^[8] , Chester ^[9] y otros ^[10] propusieron que la ecuación de Fourier debería actualizarse de la forma parabólica a una forma hiperbólica , donde n, el campo de temperatura, está gobernado por: ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{C^{2}}}~{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}~+~{\frac {1}{\alpha }}~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\nabla ^{2}\theta .}$$

En esta ecuación, C se denomina velocidad del segundo sonido (que está relacionada con las excitaciones y las cuasipartículas , como los fonones ). La ecuación se conoce como la ecuación de "conducción de calor hiperbólica " (HHC). ^[11] Matemáticamente, la ecuación anterior se llama "ecuación del telégrafo", ya que es formalmente equivalente a las ecuaciones del telégrafo , que se pueden derivar de las ecuaciones de electrodinámica de Maxwell .

Para que la ecuación HHC siga siendo compatible con la primera ley de la termodinámica, es necesario modificar la definición del vector de flujo de calor, q , a donde es un tiempo de relajación , tal que Esta ecuación para el flujo de calor a menudo se conoce como "ecuación de Maxwell-Cattaneo". La implicación más importante de la ecuación hiperbólica es que al cambiar de una ecuación diferencial parcial parabólica ( disipativa ) a una hiperbólica (incluye un término conservador ) , existe la posibilidad de fenómenos como la resonancia térmica ^{[12] [13] [14]} y las ondas de choque térmico . ^[15] $${\displaystyle \tau _{_{0}}~{\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial t}}~+~\mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta ,}$$ ${\textstyle \tau _{_{0}}}$ ${\textstyle C^{2}~=~\alpha /\tau _{_{0}}.}$

Notas

1. van Kampen, NG (2 de marzo de 1970). "Un modelo para el transporte de calor relativista". Physica . 46 (2): 315–332. Bibcode :1970Phy....46..315V. doi :10.1016/0031-8914(70)90231-4. ISSN  0031-8914.
2. Cattaneo, CR (1958). "Sobre una forma de la ecuación del calor eliminando la paradoja de una propagación instantánea". Cuentas Rendus . 247 (4): 431.
3. Gavassino, L.; Antonelli, M.; Haskell, B. (6 de enero de 2022). "La estabilidad termodinámica implica causalidad". Physical Review Letters . 128 (1): 010606. arXiv : 2105.14621 . Código Bibliográfico :2022PhRvL.128a0606G. doi :10.1103/PhysRevLett.128.010606. PMID  35061457. S2CID  235254457.
4. Carslaw, HS; Jaeger, JC (1959). Conducción de calor en sólidos (segunda edición). Oxford: University Press.
5. Algunos autores también utilizan T , φ ,...
6. Barletta, A.; Zanchini, E. (1997). "Conducción de calor hiperbólica y equilibrio local: un análisis de la segunda ley". Revista internacional de transferencia de calor y masa . 40 (5): 1007–1016. doi :10.1016/0017-9310(96)00211-6.
7. Eckert, ERG; Drake, RM (1972). Análisis de transferencia de calor y masa . Tokio: McGraw-Hill, Kogakusha.
8. Vernotte, P. (1958). "Las paradojas de la teoría continúan con la ecuación del calor". Cuentas Rendus . 246 (22): 3154.
9. Chester, M. (1963). "Segundo sonido en sólidos". Physical Review . 131 (15): 2013–2015. Código Bibliográfico :1963PhRv..131.2013C. doi :10.1103/PhysRev.131.2013.
10. Morse, PM; Feshbach, H. (1953). Métodos de física teórica . Nueva York: McGraw-Hill.
11. Joseph, DD; Preziosi, L. (1989). "Ondas de calor". Reseñas de Física Moderna . 61 (1): 47–71. Bibcode :1989RvMP...61...41J. doi :10.1103/RevModPhys.61.41.
12. Mandrusiak, GD (1997). "Análisis de ondas de conducción no Fourier de una fuente de calor reciprocante". Revista de termofísica y transferencia de calor . 11 (1): 82–89. doi :10.2514/2.6204.
13. Xu, M.; Wang, L. (2002). "Oscilación térmica y resonancia en conducción de calor con retardo de fase dual". Revista internacional de transferencia de calor y masa . 45 (5): 1055–1061. doi :10.1016/S0017-9310(01)00199-5.
14. Barletta, A.; Zanchini, E. (1996). "Conducción de calor hiperbólica y resonancias térmicas en un sólido cilíndrico portador de un campo eléctrico periódico estable". Revista internacional de transferencia de calor y masa . 39 (6): 1307–1315. doi :10.1016/0017-9310(95)00202-2.
15. Tzou, DY (1989). "Formación de ondas de choque alrededor de una fuente de calor en movimiento en un sólido con velocidad finita de propagación del calor". Revista internacional de transferencia de calor y masa . 32 (10): 1979–1987. doi :10.1016/0017-9310(89)90166-X.