Ecuaciones del telegrafista

Mathematical descriptions of transmission line voltage and current

Las ecuaciones del telégrafo (o simplemente ecuaciones del telégrafo ) son un conjunto de dos ecuaciones lineales acopladas que predicen las distribuciones de voltaje y corriente en una línea de transmisión eléctrica lineal . Las ecuaciones son importantes porque permiten analizar las líneas de transmisión utilizando la teoría de circuitos . ^[1] Las ecuaciones y sus soluciones son aplicables desde 0 Hz (es decir, corriente continua) hasta frecuencias en las que la estructura de la línea de transmisión puede soportar modos no TEM de orden superior . ^{[2] : 282–286} Las ecuaciones se pueden expresar tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia . En el dominio del tiempo, las variables independientes son la distancia y el tiempo. Las ecuaciones del dominio del tiempo resultantes son ecuaciones diferenciales parciales tanto del tiempo como de la distancia. En el dominio de la frecuencia, las variables independientes son la distancia y la frecuencia , , o la frecuencia compleja , . Las variables del dominio de la frecuencia se pueden tomar como la transformada de Laplace o la transformada de Fourier de las variables del dominio del tiempo o se pueden tomar como fasores . Las ecuaciones del dominio de la frecuencia resultantes son ecuaciones diferenciales ordinarias de la distancia. Una ventaja del enfoque del dominio de la frecuencia es que los operadores diferenciales en el dominio del tiempo se convierten en operaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle s}$

Las ecuaciones provienen de Oliver Heaviside, quien desarrolló el modelo de línea de transmisión a partir de un artículo de agosto de 1876, On the Extra Current . ^[3] El modelo demuestra que las ondas electromagnéticas pueden reflejarse en el cable y que se pueden formar patrones de ondas a lo largo de la línea. Originalmente desarrollada para describir cables telegráficos , la teoría también se puede aplicar a conductores de radiofrecuencia , audiofrecuencia (como líneas telefónicas ), baja frecuencia (como líneas eléctricas) y pulsos de corriente continua .

Componentes distribuidos

Representación esquemática de los componentes elementales de una línea de transmisión

Las ecuaciones del telégrafo, como todas las demás ecuaciones que describen fenómenos eléctricos, son el resultado de las ecuaciones de Maxwell . En un enfoque más práctico, se supone que los conductores están compuestos por una serie infinita de componentes elementales de dos puertos , cada uno de los cuales representa un segmento infinitesimalmente corto de la línea de transmisión:

• La resistencia distribuida de los conductores se representa mediante una resistencia en serie (expresada en ohmios por unidad de longitud). En los conductores prácticos, a frecuencias más altas, aumenta aproximadamente de forma proporcional a la raíz cuadrada de la frecuencia debido al efecto pelicular . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• La inductancia distribuida (debida al campo magnético alrededor de los cables, autoinducción , etc.) está representada por un inductor en serie ( henries por unidad de longitud). ${\displaystyle L}$
• La capacitancia entre los dos conductores está representada por un condensador shunt ( faradios por unidad de longitud). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• La conductancia del material dieléctrico que separa los dos conductores está representada por una resistencia de derivación entre el cable de señal y el cable de retorno ( siemens por unidad de longitud). Esta resistencia en el modelo tiene una resistencia de . representa tanto la conductividad en masa del dieléctrico como la pérdida dieléctrica . Si el dieléctrico es un vacío ideal, entonces . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R_{\text{shunt}}={\frac {1}{G}}\,\mathrm {ohms} }$ ${\displaystyle \ G\ }$ ${\displaystyle G\equiv 0\,}$

El modelo consta de una serie infinita de los elementos infinitesimales que se muestran en la figura, y los valores de los componentes se especifican por unidad de longitud, por lo que la imagen del componente puede ser engañosa. Una notación alternativa es utilizar , , , y para enfatizar que los valores son derivados con respecto a la longitud y que las unidades de medida se combinan correctamente. Estas cantidades también se pueden conocer como las constantes de línea primarias para distinguirlas de las constantes de línea secundarias derivadas de ellas, siendo estas la impedancia característica , la constante de propagación , la constante de atenuación y la constante de fase . Todas estas constantes son constantes con respecto al tiempo, la tensión y la corriente. Pueden ser funciones no constantes de la frecuencia. ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle L'}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle G'}$

Papel de los diferentes componentes

Esquema que muestra una onda que fluye hacia la derecha por una línea de transmisión sin pérdidas. Los puntos negros representan electrones y las flechas muestran el campo eléctrico.

El papel de los diferentes componentes se puede visualizar basándose en la animación de la derecha.

Inductancia L

La inductancia acopla la corriente a la energía almacenada en el campo magnético. Hace que parezca que la corriente tiene inercia , es decir, con una inductancia grande, es difícil aumentar o disminuir el flujo de corriente en un punto determinado. Una inductancia grande L hace que la onda se mueva más lentamente, de la misma manera que las ondas viajan más lentamente por una cuerda pesada que por una cuerda liviana. Una inductancia grande también aumenta la impedancia de sobretensión de la línea ( se necesita más voltaje para impulsar la misma corriente alterna a través de la línea).

Capacitancia C

La capacitancia acopla el voltaje a la energía almacenada en el campo eléctrico. Controla en qué medida los electrones agrupados dentro de cada conductor repelen, atraen o desvían a los electrones del otro conductor. Al desviar algunos de estos electrones agrupados, se reducen tanto la velocidad de la onda como su intensidad (voltaje). Con una capacitancia mayor, C , hay menos repulsión, porque la otra línea (que siempre tiene la carga opuesta) cancela parcialmente estas fuerzas repulsivas dentro de cada conductor. Una capacitancia mayor equivale a fuerzas de restauración más débiles , lo que hace que la onda se mueva un poco más lento y también le da a la línea de transmisión una impedancia de sobretensión menor ( se necesita menos voltaje para impulsar la misma corriente alterna a través de la línea).

Resistencia R

La resistencia corresponde a la resistencia interior de las dos líneas combinadas. Esa resistencia R acopla la corriente a las pérdidas óhmicas que reducen un poco el voltaje a lo largo de la línea a medida que el calor se deposita en el conductor, dejando la corriente sin cambios. Generalmente, la resistencia de la línea es muy baja, comparada con la reactancia inductiva ωL en frecuencias de radio, y para simplificar se trata como si fuera cero, con cualquier disipación de voltaje o calentamiento del cable contabilizado como correcciones al cálculo de la "línea sin pérdidas", o simplemente ignorado.

Conductancia G

La conductancia entre las líneas representa qué tan bien puede "filtrarse" la corriente de una línea a la otra. La conductancia acopla el voltaje a la pérdida dieléctrica depositada como calor en lo que sirve como aislamiento entre los dos conductores. G reduce la corriente que se propaga desviándola entre los conductores. En general, el aislamiento de los cables (incluido el aire) es bastante bueno y la conductancia es casi nula en comparación con la susceptancia capacitiva ωC , y para simplificar se trata como si fuera cero.

Los cuatro parámetros L , C , R y G dependen del material utilizado para construir el cable o la línea de alimentación. Los cuatro cambian con la frecuencia: R y G tienden a aumentar para frecuencias más altas, y L y C tienden a disminuir a medida que aumenta la frecuencia. La figura de la derecha muestra una línea de transmisión sin pérdidas, donde tanto R como G son cero, que es la forma más simple y, con mucho, la más común de las ecuaciones del telegrafista utilizadas, pero ligeramente irreal (especialmente con respecto a R ).

Valores de los parámetros primarios del cable telefónico

Datos de parámetros representativos para cable telefónico aislado con polietileno (PIC) calibre 24 a 70 °F (294 K)

Estos datos son de Reeve (1995). ^[4] La variación de y se debe principalmente al efecto pelicular y al efecto de proximidad . La constancia de la capacitancia es una consecuencia del diseño intencional. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$

La variación de G se puede inferir de Terman: "El factor de potencia ... tiende a ser independiente de la frecuencia, ya que la fracción de energía perdida durante cada ciclo ... es sustancialmente independiente del número de ciclos por segundo en amplios rangos de frecuencia". ^[5] Una función de la forma con cerca de 1.0 se ajustaría a la afirmación de Terman. Chen ^[6] da una ecuación de forma similar. Mientras que G (·) es la conductividad en función de la frecuencia, , y son todas constantes reales. $${\displaystyle G(f)=G_{1}\cdot \left({\frac {f}{f_{1}}}\right)^{g_{\mathrm {e} }}}$$ ${\displaystyle g_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle G_{1},\,f_{1}}$ ${\displaystyle g_{e}}$

Por lo general, las pérdidas resistivas crecen proporcionalmente a y las pérdidas dieléctricas crecen proporcionalmente a, por lo que a una frecuencia suficientemente alta, las pérdidas dieléctricas superarán las pérdidas resistivas. En la práctica, antes de que se alcance ese punto, se utiliza una línea de transmisión con un dieléctrico mejor. En un cable coaxial rígido de larga distancia , para obtener pérdidas dieléctricas muy bajas, el dieléctrico sólido puede reemplazarse por aire con espaciadores de plástico a intervalos para mantener el conductor central en el eje. ${\displaystyle f^{1/2}}$ ${\displaystyle f^{g_{\mathrm {e} }}}$ ${\displaystyle g_{\mathrm {e} }\approx 1}$

Las ecuaciones

Dominio del tiempo

Las ecuaciones del telegrafista en el dominio del tiempo son: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L\,{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C\,{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)\end{aligned}}}$$

Se pueden combinar para obtener dos ecuaciones diferenciales parciales, cada una con una sola variable dependiente, ya sea : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)+GR\,V(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)+GR\,I(x,t)\end{aligned}}}$$

A excepción de la variable dependiente ( o ) las fórmulas son idénticas. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

Dominio de frecuencia

Las ecuaciones del telegrafista en el dominio de la frecuencia se desarrollan en formas similares en las siguientes referencias: Kraus, ^[7] Hayt, ^[1] Marshall, ^{[8] : 59–378} Sadiku, ^{[9] : 497–505} Harrington, ^[10] Karakash, ^[11] Metzger. ^[12] La primera ecuación significa que , el voltaje de propagación en el punto , se reduce por la pérdida de voltaje producida por , la corriente en ese punto que pasa a través de la impedancia en serie . La segunda ecuación significa que , la corriente de propagación en el punto , se reduce por la pérdida de corriente producida por , el voltaje en ese punto que aparece a través de la admitancia en derivación . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega L_{\omega }+R_{\omega }\right)\mathbf {I} _{\omega }(x),\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega C_{\omega }+G_{\omega }\right)\mathbf {V} _{\omega }(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle R+j\omega L}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle G+j\omega C\,}$

El subíndice ω indica posible dependencia de la frecuencia. y son fasores . ${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)}$

Estas ecuaciones se pueden combinar para producir dos ecuaciones diferenciales parciales de una sola variable . donde ^{[1] : 385} se llama constante de atenuación y se llama constante de fase . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {V} _{\omega }(x)\\[1ex]{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {I} _{\omega }(x)\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \gamma \equiv \alpha +j\beta \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}}}$
${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Soluciones homogéneas

Cada una de las ecuaciones diferenciales parciales anteriores tiene dos soluciones homogéneas en una línea de transmisión infinita.

Para la ecuación de voltaje $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {V} _{\omega ,F}(a)\,e^{+\gamma (a-x)}\,;\\[1ex]\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {V} _{\omega ,R}(b)\,e^{-\gamma (b-x)}\,;\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)=\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)+\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)\,.}$$

Para la ecuación actual $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {I} _{\omega ,F}(a)\,e^{+\gamma (a-x)}\,;\\\mathbf {I} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {I} _{\omega ,R}(b)\,e^{-\gamma (b-x)}\,;\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)=\mathbf {I} _{\omega ,F}(x)-\mathbf {I} _{\omega ,R}(x)\,.}$$

El signo negativo en la ecuación anterior indica que la corriente en la onda inversa viaja en la dirección opuesta.

Nota: donde se cumplen las siguientes definiciones de símbolos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {Z} _{c}\,\mathbf {I} _{\omega ,F}(x),\\[0.4ex]\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {Z} _{c}\,\mathbf {I} _{\omega ,R}(x),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {Z} _{c}={\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}}\,,}$$

Longitud finita

Línea de transmisión coaxial con una fuente y una carga

Johnson da la siguiente solución, ^{[2] : 739–741} donde y es la longitud de la línea de transmisión. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}&=\left[\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}+\mathbf {H} }{2}}\right)\left(1+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)+\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}-\mathbf {H} }{2}}\right)\left({\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {\mathbf {Z} } _{\mathsf {C}}}}+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)\right]^{-1}\\[2ex]&={\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}\right)\cosh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)+\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}^{2}\right)\sinh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {H} \equiv e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x},}$ ${\displaystyle x}$

En el caso especial donde todas las impedancias son iguales, la solución se reduce a . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{\mathsf {L}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {C}},}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}={\frac {1}{2}}e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x}\,}$

Transmisión sin pérdidas

Cuando y , la resistencia del cable y la conductancia del aislamiento pueden despreciarse, y la línea de transmisión se considera como una estructura ideal sin pérdidas. En este caso, el modelo depende solo de los elementos L y C. Las ecuaciones del telégrafo describen entonces la relación entre el voltaje V y la corriente I a lo largo de la línea de transmisión, cada una de las cuales es una función de la posición x y el tiempo t : ${\displaystyle \omega L\gg R}$ ${\displaystyle \omega C\gg G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V(x,t)\\[.5ex]I&=I(x,t)\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones para líneas de transmisión sin pérdidas

Las ecuaciones en sí consisten en un par de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden acopladas . La primera ecuación muestra que el voltaje inducido está relacionado con la tasa de cambio temporal de la corriente a través de la inductancia del cable, mientras que la segunda muestra, de manera similar, que la corriente consumida por la capacitancia del cable está relacionada con la tasa de cambio temporal del voltaje. $${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V}{\partial t}}}$$

Estas ecuaciones pueden combinarse para formar dos ecuaciones de onda exactas , una para el voltaje y otra para la corriente : donde es la velocidad de propagación de las ondas que viajan a través de la línea de transmisión. Para líneas de transmisión formadas por conductores perfectos paralelos con vacío entre ellos, esta velocidad es igual a la velocidad de la luz. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}&=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$$

Estado estable sinusoidal

En el caso de un estado estable sinusoidal (es decir, cuando se aplica un voltaje sinusoidal puro y han cesado los transitorios ), el voltaje y la corriente toman la forma de ondas sinusoidales de un solo tono: donde es la frecuencia angular de la onda de estado estable. En este caso, las ecuaciones del telegrafista se reducen a $${\displaystyle {\begin{aligned}V(x,t)&={\mathcal {R_{e}}}{\bigl \{}V(x)\,e^{j\omega t}{\bigr \}}\,,\\[1ex]I(x,t)&={\mathcal {R_{e}}}{\bigl \{}I(x)\,e^{j\omega t}{\bigr \}}\,,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dx}}=-j\omega LI=-L{\frac {dI}{dt}}\\[1ex]{\frac {dI}{dx}}=-j\omega CV=-C{\frac {dV}{dt}}\end{aligned}}}$$

Del mismo modo, las ecuaciones de onda se reducen a donde k es el número de onda: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+k^{2}V&=0\\[1ex]{\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}+k^{2}I&=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle k\equiv \omega {\sqrt {LC}}={\frac {\omega }{\tilde {v}}}.}$$

Cada una de estas dos ecuaciones tiene la forma de la ecuación de Helmholtz unidimensional .

En el caso sin pérdidas, es posible demostrar que y donde en este caso especial, es una cantidad real que puede depender de la frecuencia y es la impedancia característica de la línea de transmisión, que, para una línea sin pérdidas, está dada por y y son constantes arbitrarias de integración, que están determinadas por las dos condiciones de contorno (una para cada extremo de la línea de transmisión). $${\displaystyle V(x)=V_{1}\,e^{-jkx}+V_{2}\,e^{+jkx}}$$ $${\displaystyle I(x)={\frac {V_{1}}{Z_{\mathsf {o}}}}\,e^{-jkx}-{\frac {V_{2}}{Z_{\mathsf {o}}}}\,e^{+jkx}}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z_{\mathsf {o}}}$ $${\displaystyle Z_{\mathsf {o}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$

Esta impedancia no cambia a lo largo de la línea ya que L y C son constantes en cualquier punto de la línea, siempre que la geometría de la sección transversal de la línea permanezca constante.

La línea sin pérdida y la línea sin distorsión se analizan en Sadiku (1989) ^{[9] : 501–503} y Marshall (1987) ^{[8] : 369–372} . harvp error: no target: CITEREFMarshall1987 (help)

Caso sin pérdidas, solución general

En el caso sin pérdidas ( ), ${\displaystyle R=G=0}$ la solución más general de la ecuación de onda para el voltaje es la suma de una onda que viaja hacia adelante y una onda que viaja hacia atrás: donde $${\displaystyle V(x,t)=f_{1}(x-{\tilde {v}}t)+f_{2}(x+{\tilde {v}}t)}$$

• ${\displaystyle f_{1}}$y pueden ser dos funciones analíticas cualesquiera , y ${\displaystyle f_{2}}$
• ${\displaystyle {\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$es la velocidad de propagación de la forma de onda (también conocida como velocidad de fase ).

Aquí, representa el perfil de amplitud de una onda que viaja de izquierda a derecha (en dirección positiva), mientras que representa el perfil de amplitud de una onda que viaja de derecha a izquierda. Se puede observar que el voltaje instantáneo en cualquier punto de la línea es la suma de los voltajes debidos a ambas ondas. ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle x}$

Usando las relaciones de corriente y voltaje dadas por las ecuaciones del telegrafista, podemos escribir ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle I(x,t)={\frac {1}{Z_{\mathsf {o}}}}{\Bigl [}f_{1}(x-{\tilde {v}}t)-f_{2}(x+{\tilde {v}}t){\Bigr ]}\,.}$$

Línea de transmisión con pérdidas

En presencia de pérdidas, la solución de la ecuación del telegrafista tiene tanto amortiguamiento como dispersión, como es visible cuando se compara con la solución de una ecuación de onda sin pérdidas.

Cuando los elementos de pérdida son demasiado sustanciales para ignorarlos, las ecuaciones diferenciales que describen el segmento elemental de la línea son ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-R\,I(x,t)\,,\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-G\,V(x,t)\,.\end{aligned}}}$$

Al diferenciar ambas ecuaciones con respecto a x y algo de álgebra, obtenemos un par de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas, cada una de las cuales involucra solo una incógnita: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV,\\[6pt]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones se parecen a la ecuación de onda homogénea con términos adicionales en V e I y sus primeras derivadas. Estos términos adicionales hacen que la señal decaiga y se disperse con el tiempo y la distancia. Si la línea de transmisión tiene solo una ligera pérdida ( ${\displaystyle R\ll \omega L}$ y ), la intensidad de la señal decaerá con la distancia como donde . ^[13] ${\displaystyle G\ll \omega C}$ ${\displaystyle e^{-\alpha x}}$ ${\displaystyle \alpha \approx {\frac {R}{2Z_{0}}}+{\frac {GZ_{0}}{2}}~}$

Soluciones de las ecuaciones del telegrafista como componentes del circuito

Circuito equivalente de una línea de transmisión desequilibrada (como un cable coaxial) donde: 2/ Z _o es la transadmitancia de VCCS (fuente de corriente controlada por voltaje), x es la longitud de la línea de transmisión, Z ( s ) ≡ Z _o ( s ) es la impedancia característica, T ( s ) es la función de propagación, γ ( s ) es la "constante" de propagación, s ≡ j ω y j ² ≡ −1 .

Las soluciones de las ecuaciones del telegrafista se pueden insertar directamente en un circuito como componentes. El circuito de la figura implementa las soluciones de las ecuaciones del telegrafista. ^[14]

La solución de las ecuaciones del telegrafista se puede expresar como una red de dos puertos ABCD con las siguientes ecuaciones definitorias ^{[11] : 5–14, 44} donde y tal como en las secciones anteriores. Los parámetros de línea R _ω , L _ω , G _ω y C _ω están subíndices por ω para enfatizar que podrían ser funciones de frecuencia. $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=V_{2}\cosh(\gamma x)+I_{2}Z_{\mathsf {o}}\sinh(\gamma x)\,,\\[1ex]I_{1}&={\frac {V_{2}}{Z_{\mathsf {o}}}}\sinh(\gamma x)+I_{2}\cosh(\gamma x)\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle Z_{\mathsf {o}}\equiv {\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}},}$$ $${\displaystyle \gamma \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}},}$$

El circuito de dos puertos tipo ABCD proporciona y como funciones de y . Las relaciones de voltaje y corriente son simétricas: Ambas ecuaciones que se muestran arriba, cuando se resuelven para y como funciones de y producen exactamente las mismas relaciones, solo que con los subíndices "1" y "2" invertidos y los signos de los términos negativos (la dirección "1" → "2" se invierte "1" ← "2", de ahí el cambio de signo). ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}\,}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \sinh }$

Toda línea de transmisión de dos cables o balanceada tiene un tercer cable implícito (o en algunos casos explícito) que se denomina blindaje , vaina, común, tierra o puesta a tierra. Por lo tanto, toda línea de transmisión balanceada de dos cables tiene dos modos que nominalmente se denominan modo diferencial y modo común . El circuito que se muestra en el diagrama inferior solo puede modelar el modo diferencial.

En el circuito superior, los duplicadores de tensión, los amplificadores diferenciales y las impedancias Z _o ( s ) dan cuenta de la interacción de la línea de transmisión con el circuito externo. Este circuito es un equivalente útil para una línea de transmisión desequilibrada como un cable coaxial .

Estos no son únicos: son posibles otros circuitos equivalentes.

Véase también

• Reflexiones de señales en líneas conductoras
• Ley de los cuadrados , trabajo preliminar de Lord Kelvin sobre este tema

Referencias

1. Hayt, William H. (1989). Ingeniería electromagnética (5.ª ed.). McGraw-Hill. págs. 381–392. ISBN 0070274061– vía Internet Archive (archive.org).
2. Johnson, Howard; Graham, Martin (2003). Propagación de señales a alta velocidad (1.ª ed.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-084408-X.
3. Hunt, Bruce J. (2005). Los maxwellianos . Ithaca, NY, EE. UU.: Cornell University Press . Págs. 66-67. ISBN. 0-80148234-8.
4. Reeve, Whitman D. (1995). Manual de transmisión y señalización de bucle de abonado. IEEE Press . pág. 558. ISBN 0-7803-0440-3.
5. Terman, Frederick Emmons (1943). Manual del ingeniero de radio (1.ª ed.). McGraw-Hill . pág. 112.
6. Chen, Walter Y. (2004). Conceptos básicos de redes domésticas . Prentice Hall . pág. 26. ISBN. 0-13-016511-5.
7. Kraus, John D. (1984). Electromagnetismo (3.ª ed.). McGraw-Hill. pp. 380–419. ISBN 0-07-035423-5.
8. Marshall, Stanley V.; Skitek, Gabriel G. (1987). Conceptos y aplicaciones electromagnéticas (2.ª ed.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-249004-8.
9. Sadiku, Matthew NO (1989). Elementos del electromagnetismo (1.ª ed.). Saunders College Publishing. ISBN 0-03-013484-6.
10. Harrington, Roger F. (1961). Campos electromagnéticos armónicos en el tiempo (1.ª ed.). McGraw-Hill. págs. 61–65. ISBN 0-07-026745-6.
11. Karakash, John J. (1950). Líneas de transmisión y redes de filtrado (1.ª ed.). Macmillan. págs. 5–14.
12. Metzger, Georges; Vabre, Jean-Paul (1969). Líneas de transmisión con excitación por pulsos (1.ª ed.). Academic Press. págs. 1–10. LCCN  69-18342.
13. Miano, Giovanni; Maffucci, Antonio (2001). Líneas de transmisión y circuitos agrupados . Academic Press . pág. 130. ISBN. 0-12-189710-9.El libro utiliza el símbolo μ en lugar de α .
14. McCammon, Roy (junio de 2010). "Simulación SPICE de líneas de transmisión mediante el método del telegrafista" (PDF) . cmpnet.com . RF Design Line . Consultado el 22 de octubre de 2010 ;También "Parte 1 de 3". Simulación SPICE de líneas de transmisión por el método del telegrafista . Diseño de microondas y RF – vía EE Times .